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1. 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)
(
A.10 m
B.6 m
C.15 m
D.17 m
(
D
)A.10 m
B.6 m
C.15 m
D.17 m
答案
1. D 解析:如图
,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. 根据题意,得AC=AB,CE=BD=8 m,BE=CD=2 m. 设旗杆高 x m,则AC=AB=x m,AE=(x−2)m. 在Rt△AEC中,AE²+CE²=AC²,即(x−2)²+8²=x²,解得 x=17,∴旗杆的高度为 17 m.
解析
【分析】
首先将实际问题转化为几何问题：旗杆AB垂直于地面BD，绳子长度与旗杆高度相等，即AC=AB。我们可以过点C作CE⊥AB构造直角三角形，根据垂直关系可得到CE=BD=8m、BE=CD=2m。接下来设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△AEC的各边长度，再利用勾股定理列方程求解，即可得到旗杆的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得：AC=AB，CE=BD=8 m，BE=CD=2 m。
设旗杆高x m，则AC=AB=x m，AE=AB-BE=(x−2)m。
在Rt△AEC中，由勾股定理得AE²+CE²=AC²，
代入数据列方程得：$(x-2)^2+8^2=x^2$
展开计算：$x^2-4x+4+64=x^2$
化简得：$-4x+68=0$，解得$x=17$。
所以旗杆的高度为17 m。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是抓住绳子长度与旗杆高度相等这一隐含条件，通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，考查了转化思想和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先将实际问题转化为几何问题：旗杆AB垂直于地面BD，绳子长度与旗杆高度相等，即AC=AB。我们可以过点C作CE⊥AB构造直角三角形，根据垂直关系可得到CE=BD=8m、BE=CD=2m。接下来设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△AEC的各边长度，再利用勾股定理列方程求解，即可得到旗杆的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得：AC=AB，CE=BD=8 m，BE=CD=2 m。
设旗杆高x m，则AC=AB=x m，AE=AB-BE=(x−2)m。
在Rt△AEC中，由勾股定理得AE²+CE²=AC²，
代入数据列方程得：$(x-2)^2+8^2=x^2$
展开计算：$x^2-4x+4+64=x^2$
化简得：$-4x+68=0$，解得$x=17$。
所以旗杆的高度为17 m。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是抓住绳子长度与旗杆高度相等这一隐含条件，通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，考查了转化思想和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 在《九章算术》中有一个问题:如图,今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?它的意思是:一根竹子原高一丈(10 尺),中部一处折断,竹梢触地面处离竹根 3 尺,则折断处离地面
（
A.4尺
B.3.6尺
C.4.5尺
D.4.55尺
（
D
）A.4尺
B.3.6尺
C.4.5尺
D.4.55尺
答案
2. D 解析:如图
,由题意,得∠ACB=90°,BC=3 尺,AC+AB=10 尺,设折断处离地面 x 尺,即 AC=x 尺,则 AB=(10−x)尺. 在Rt△ABC 中,AC²+BC²=AB²,即 x²+3²=(10−x)²,解得 x=4.55,∴折断处离地面 4.55 尺.
解析
【分析】
首先将实际问题转化为直角三角形模型：竹子根部C、折断处A、竹梢触地点B构成直角三角形，∠C为直角。已知BC长度为3尺，折断处到地面的高度AC与折断部分的长度AB之和为10尺，我们可以设AC为未知数x，用含x的式子表示AB的长度，再根据勾股定理列方程求解，即可得到折断处离地面的高度。
【解析】
由题意可知∠ACB=90°，BC=3尺，AC+AB=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，即AC=x尺，则AB=(10-x)尺。
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$
代入边长得：$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
展开计算：$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$后整理得：$20x=91$
解得：$x=4.55$
即折断处离地面4.55尺。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用，一元一次方程求解，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的经典题型，解题关键是将生活场景转化为直角三角形的几何问题，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，能有效考查学生的模型建构能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先将实际问题转化为直角三角形模型：竹子根部C、折断处A、竹梢触地点B构成直角三角形，∠C为直角。已知BC长度为3尺，折断处到地面的高度AC与折断部分的长度AB之和为10尺，我们可以设AC为未知数x，用含x的式子表示AB的长度，再根据勾股定理列方程求解，即可得到折断处离地面的高度。
【解析】
由题意可知∠ACB=90°，BC=3尺，AC+AB=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，即AC=x尺，则AB=(10-x)尺。
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$
代入边长得：$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
展开计算：$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$后整理得：$20x=91$
解得：$x=4.55$
即折断处离地面4.55尺。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用，一元一次方程求解，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的经典题型，解题关键是将生活场景转化为直角三角形的几何问题，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，能有效考查学生的模型建构能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,有一个透明的圆柱状的玻璃杯,测得其内径$CD=6\ \mathrm{cm}$,高$BC=8\ \mathrm{cm}$.现有一支长$12\ \mathrm{cm}$的吸管随意放于杯中,若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度最小为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$,最大为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
3. 2 4 解析:当吸管垂直于底面放置时,露出杯口外的长度最大,为12−8=4(cm);当吸管底端与 D 重合,另一端靠在 B 处,即如题图放置时,BD 最长,露出杯口外的长度最小,在Rt△BCD中,BD=√(BC²+CD²)=√(8²+6²)=10(cm),
∴吸管露在外面的长度为 12−10=2(cm).
∴吸管露在外面的长度为 12−10=2(cm).
解析
【分析】
要计算吸管露出杯口的长度，首先明确数量关系：露出长度=吸管总长度-吸管在杯内的长度。因此求露出长度的最小值，需要先找到吸管在杯内的最大长度；求露出长度的最大值，需要先找到吸管在杯内的最小长度。两种极端情况分别是：吸管垂直底面放置时，杯内长度等于杯子高度，为最短杯内长度；吸管斜放卡在杯底一侧边缘与对面杯口边缘时，杯内长度是底面直径与杯高组成的直角三角形的斜边，为最长杯内长度，再用勾股定理计算斜边长度即可求解。
【解析】
1. 求露出的最大长度：
当吸管垂直于杯子底面放置时，吸管在杯内的长度最短，等于杯子的高$BC=8\ \mathrm{cm}$，
此时露出长度为：$12-8=4\ \mathrm{cm}$。
2. 求露出的最小长度：
当吸管斜放，底端在D点、顶端靠在B点时，吸管在杯内的长度最长，为线段$BD$的长度。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$CD=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
此时露出长度为：$12-10=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2；4
【知识点】
勾股定理的应用；最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型应用题，解题核心是准确识别两种极端放置情况，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
要计算吸管露出杯口的长度，首先明确数量关系：露出长度=吸管总长度-吸管在杯内的长度。因此求露出长度的最小值，需要先找到吸管在杯内的最大长度；求露出长度的最大值，需要先找到吸管在杯内的最小长度。两种极端情况分别是：吸管垂直底面放置时，杯内长度等于杯子高度，为最短杯内长度；吸管斜放卡在杯底一侧边缘与对面杯口边缘时，杯内长度是底面直径与杯高组成的直角三角形的斜边，为最长杯内长度，再用勾股定理计算斜边长度即可求解。
【解析】
1. 求露出的最大长度：
当吸管垂直于杯子底面放置时，吸管在杯内的长度最短，等于杯子的高$BC=8\ \mathrm{cm}$，
此时露出长度为：$12-8=4\ \mathrm{cm}$。
2. 求露出的最小长度：
当吸管斜放，底端在D点、顶端靠在B点时，吸管在杯内的长度最长，为线段$BD$的长度。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$CD=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
此时露出长度为：$12-10=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2；4
【知识点】
勾股定理的应用；最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型应用题，解题核心是准确识别两种极端放置情况，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地高度AB=2.5 m,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6 m的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC=1.2 m),感应门自动打开,则AD=
1.5
m.答案
4. 1.5 解析:如图
,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AB=2.5 m,BE=CD=1.6 m,ED=BC=1.2 m,则 AE=AB−BE=2.5−1.6=0.9(m). 在Rt△ADE中,AD=√(AE²+DE²)=√(0.9²+1.2²)=1.5(m).
解析
【分析】
要求AD的长度，我们可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先观察图形，已知AB、CD、BC的长度，过点D作DE⊥AB于点E，此时四边形BCDE为矩形，可得DE=BC=1.2m，BE=CD=1.6m，进而可求出AE的长度，最后在Rt△ADE中，代入勾股定理公式即可算出AD的长度。
【解析】
如图，过点D作DE⊥AB于点E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=1.6m，DE=BC=1.2m，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(m)。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{0.9^2+1.2^2}=\sqrt{0.81+1.44}=\sqrt{2.25}=1.5(\mathrm{m})$
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类问题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要求AD的长度，我们可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先观察图形，已知AB、CD、BC的长度，过点D作DE⊥AB于点E，此时四边形BCDE为矩形，可得DE=BC=1.2m，BE=CD=1.6m，进而可求出AE的长度，最后在Rt△ADE中，代入勾股定理公式即可算出AD的长度。
【解析】
如图
，过点D作DE⊥AB于点E。∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=1.6m，DE=BC=1.2m，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(m)。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{0.9^2+1.2^2}=\sqrt{0.81+1.44}=\sqrt{2.25}=1.5(\mathrm{m})$
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类问题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图，长7.5 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5 m.
(1)求梯子的顶端到地面的距离.
(2)由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5 m，则梯子顶端向下滑动多少米？
(1)求梯子的顶端到地面的距离.
(2)由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5 m，则梯子顶端向下滑动多少米？
答案
5. (1)如图
,在Rt△ABC中,AB=7.5 m,BC=4.5 m,∴AC=√(AB²−BC²)=√(7.5²−4.5²)=6(m). 答:梯子的顶端到地面的距离为 6 m.
(2)如图
,由题意得 BF=1.5 m,∴CF=BC+BF=4.5+1.5=6(m),
∴CE=√(EF²−FC²)=√(7.5²−6²)=4.5(m),
∴AE=AC−CE=6−4.5=1.5(m). 答:梯子顶端向下滑动 1.5 m.
解析
【分析】
这道题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路清晰：
(1) 墙面和地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面刚好围成直角三角形，已知直角三角形的斜边（梯子长度）和一条直角边（梯子底部到墙的距离），直接利用勾股定理即可求出另一条直角边，也就是梯子顶端到地面的距离。
(2) 梯子滑动过程中总长度保持不变，底部向右滑动1.5m后，先计算出此时梯子底部到墙的距离，再在新形成的直角三角形中用勾股定理计算此时梯子顶端到地面的高度，用原来的高度减去滑动后的高度，就能得到梯子顶端向下滑动的距离。
【解析】
(1) 由题意可得∠C=90°，在$Rt△ ABC$中，斜边$AB=7.5\mathrm{m}$，直角边$BC=4.5\mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{(7.5+4.5)×(7.5-4.5)}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$
(2) 梯子底部向右滑动$1.5\mathrm{m}$，即$BF=1.5\mathrm{m}$，此时梯子底部到墙的距离$CF=BC+BF=4.5+1.5=6(\mathrm{m})$，梯子长度不变，即$EF=AB=7.5\mathrm{m}$，在$Rt△ ECF$中，根据勾股定理：
$CE=\sqrt{EF^2-CF^2}=\sqrt{7.5^2-6^2}=\sqrt{(7.5+6)×(7.5-6)}=\sqrt{20.25}=4.5(\mathrm{m})$
因此梯子顶端下滑的距离$AE=AC-CE=6-4.5=1.5(\mathrm{m})$
【答案】
(1) 如图,在Rt△ABC中,AB=7.5 m,BC=4.5 m,
∴AC=√(AB²−BC²)=√(7.5²−4.5²)=6(m). 答:梯子的顶端到地面的距离为 6 m.
(2) 如图,由题意得 BF=1.5 m,
∴CF=BC+BF=4.5+1.5=6(m),
∴CE=√(EF²−FC²)=√(7.5²−6²)=4.5(m),
∴AE=AC−CE=6−4.5=1.5(m). 答:梯子顶端向下滑动 1.5 m.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题的关键是抓住梯子滑动前后长度不变、墙面与地面垂直形成直角三角形的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可求解。
【难度系数】
0.8
这道题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路清晰：
(1) 墙面和地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面刚好围成直角三角形，已知直角三角形的斜边（梯子长度）和一条直角边（梯子底部到墙的距离），直接利用勾股定理即可求出另一条直角边，也就是梯子顶端到地面的距离。
(2) 梯子滑动过程中总长度保持不变，底部向右滑动1.5m后，先计算出此时梯子底部到墙的距离，再在新形成的直角三角形中用勾股定理计算此时梯子顶端到地面的高度，用原来的高度减去滑动后的高度，就能得到梯子顶端向下滑动的距离。
【解析】
(1) 由题意可得∠C=90°，在$Rt△ ABC$中，斜边$AB=7.5\mathrm{m}$，直角边$BC=4.5\mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{(7.5+4.5)×(7.5-4.5)}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$
(2) 梯子底部向右滑动$1.5\mathrm{m}$，即$BF=1.5\mathrm{m}$，此时梯子底部到墙的距离$CF=BC+BF=4.5+1.5=6(\mathrm{m})$，梯子长度不变，即$EF=AB=7.5\mathrm{m}$，在$Rt△ ECF$中，根据勾股定理：
$CE=\sqrt{EF^2-CF^2}=\sqrt{7.5^2-6^2}=\sqrt{(7.5+6)×(7.5-6)}=\sqrt{20.25}=4.5(\mathrm{m})$
因此梯子顶端下滑的距离$AE=AC-CE=6-4.5=1.5(\mathrm{m})$
【答案】
(1) 如图
,在Rt△ABC中,AB=7.5 m,BC=4.5 m,∴AC=√(AB²−BC²)=√(7.5²−4.5²)=6(m). 答:梯子的顶端到地面的距离为 6 m.
(2) 如图
,由题意得 BF=1.5 m,∴CF=BC+BF=4.5+1.5=6(m),
∴CE=√(EF²−FC²)=√(7.5²−6²)=4.5(m),
∴AE=AC−CE=6−4.5=1.5(m). 答:梯子顶端向下滑动 1.5 m.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题的关键是抓住梯子滑动前后长度不变、墙面与地面垂直形成直角三角形的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可求解。
【难度系数】
0.8
