1. 下面四个图形中,线段 BD 是$△ ABC$的高的是 （）

1. D

【分析】
解题的核心是明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。要判断线段BD是否是△ABC的高，需同时满足两个条件：一是BD的一个端点为顶点B，另一个端点D在AC边所在的直线上；二是BD与AC所在直线互相垂直。接下来按此标准逐一排查四个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形高的定义，对各选项逐一判断：
1. 选项A：BD垂直于BC，未与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除；
2. 选项B：BD垂直于BC，未与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除；
3. 选项C：BD与AC不垂直，不符合高的定义，排除；
4. 选项D：BD垂直于AC所在的直线，垂足D落在AC的延长线上，满足三角形高的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误认为三角形的高只能在三角形内部，实际钝角三角形的两条高会落在三角形的外部，只要满足顶点向对边所在直线作垂线的要求，就是三角形的高。
【难度系数】
0.8

2. 如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是 （）




A.$AB=2BF$
B.$AE=BE$
C.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CD\bot AB$

2. B

【分析】
解答本题需先明确三角形的高、角平分线、中线的定义，再逐一对应各选项判断正误：①三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，可得中点对应边的两倍关系；②三角形的角平分线是将内角平分为两个相等角的线段，仅保证角相等，不保证平分对边；③三角形的高是顶点向对边作的垂线段，满足垂直关系。结合以上性质即可找出错误选项。
【解析】
我们根据三类线段的定义逐一分析选项：
选项A：
∵CF是△ABC的中线，
∴F是AB的中点，
∴AB=2BF，该式正确，不符合题意；
选项B：CE是△ABC的角平分线，仅能说明CE平分∠ACB，无法说明E是AB的中点，因此不一定有AE=BE，该式错误，符合题意；
选项C：
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE=½∠ACB，该式正确，不符合题意；
选项D：
∵CD是△ABC的高，根据高的定义可得CD⊥AB，该式正确，不符合题意。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题重点考查三角形三类重要线段的基本性质，解题关键是准确区分中线、角平分线、高的不同作用，避免混淆角平分线和中线的性质。
【难度系数】
0.8

3. 如图,已知$AB⊥BC,EF⊥BC,CD⊥AD$.
(1)在$△ ABC$中,$BC$边上的高是________.
(2)在$△ AEC$中,$AE$边上的高是________.
(3)在$△ FEC$中,$EC$边上的高是________.

3. (1)AB (2)CD (3)EF

【分析】
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。解决每一问时，先确定要找高的对应边，再找到该边相对的顶点，结合题目给出的垂直条件，判断从该顶点向对应边所作的垂线段即可。
1. 第一问找△ABC中BC边上的高：对应边是BC，对顶点为A，已知AB⊥BC，符合高的定义；
2. 第二问找△AEC中AE边上的高：对应边是AE，对顶点为C，已知CD⊥AD，而AE在直线AD上，因此CD⊥AE，符合高的定义；
3. 第三问找△FEC中EC边上的高：对应边是EC，对顶点为F，已知EF⊥BC，而EC在直线BC上，因此EF⊥EC，符合高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
(1) 在△ABC中，边BC的对顶点是A，且AB⊥BC，因此BC边上的高是AB；
(2) 在△AEC中，边AE的对顶点是C，且CD⊥AD（即CD⊥AE），因此AE边上的高是CD；
(3) 在△FEC中，边EC的对顶点是F，且EF⊥BC（即EF⊥EC），因此EC边上的高是EF。
【答案】
(1)AB (2)CD (3)EF
【知识点】
三角形高的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对三角形高的定义的理解与运用，解题时要注意明确对应的三角形、对应边以及对顶点，结合已知垂直关系即可快速判断，避免混淆不同三角形的对应元素。
【难度系数】
0.85

4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，若$S_{△ ABC}=2$，则$S_{△ ACD}=$.

4. 1

【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义与相关面积特性：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，会将对边分为长度相等的两段。由此可知中线分割出的两个小三角形等底，且它们的高均为原三角形对应底边上的高，即两个小三角形同高。根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，因此只需用原三角形面积除以2即可得到△ACD的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴点D是BC的中点，即$CD = \frac{1}{2}BC$
又
∵△ACD和△ABC在边CD、BC上的高相同，均为点A到BC所在直线的距离
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$
已知$S_{△ABC}=2$，代入得：
$S_{△ACD} = \frac{1}{2}×2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是三角形中线相关的基础面积计算题，解题核心是掌握“三角形的中线将原三角形分为两个面积相等的小三角形”这一结论，熟练运用该结论可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.9

5. 如图,已知 CM 是$△ ABC$的中线,$△ BCM$的周长比$△ ACM$的周长大3 cm,$BC=8$ cm,则$AC=$ cm.

5. 5
解析:$\because CM$是$△ ABC$的中线,$\therefore AM=BM. \because △ BCM$的周长比$△ ACM$的周长大3 cm,$\therefore (CM+BM+BC)-(AC+AM+CM)=3$ cm,即$BC-AC=3$ cm.$\because BC=8$ cm,$\therefore AC=5$ cm.

【分析】
首先根据题目给出的“CM是△ABC的中线”，回忆三角形中线的定义，可知中线会将对边AB分成相等的两条线段，即AM=BM。再结合两个三角形的周长差条件，先分别写出两个三角形的周长表达式，作差后会发现公共边CM、等长线段AM和BM都可以抵消，周长差实际就是BC与AC的长度差，最后代入已知的BC长度即可求出AC的长。
【解析】
∵ CM是△ABC的中线，
∴ AM=BM。
∵ △BCM的周长比△ACM的周长大3 cm，
∴ $(CM + BM + BC) - (AC + AM + CM) = 3\ \mathrm{cm}$，
化简得：$BC - AC = 3\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $BC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = BC - 3 = 8 - 3 = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义，周长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用三角形中线的性质得到等长线段，通过作差消去公共边和等长线段简化计算，主要考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图,已知$△ ABC$,按下列要求作图.
(1)画出$∠ABC$的平分线,并指出相等的角.
(2)画出边$AC$上的中线,并指出相等的线段.
(3)画出边$BC$上的高,并指出图中所有的直角三角形.

6. (1)如图,BD 是$∠ABC$的平分线,$∠ABD=∠CBD$.
(2)如图,BE是边 AC 上的中线,$AE=CE$. (3)如图,延长CB,过点 A 作$AF⊥CB$,垂足为 F,线段 AF 为边 BC 上的高,$\because AF⊥BC,\therefore ∠AFC=90°$,
∴图中的直角三角形有$△AFB$和$△AFC$,共2个。

【分析】
本题考查三角形的角平分线、中线、高的作图及相关性质，解题思路如下：
1. 作角平分线：根据角平分线的定义，从∠ABC的顶点B出发作射线，交AC于点D，使BD将∠ABC分成两个大小相等的角即可，相等的角就是被平分的两个角。
2. 作AC边上的中线：根据中线定义，先找到AC边的中点E，再连接顶点B和中点E，所得线段就是AC边上的中线，中点分对边为两条相等的线段。
3. 作BC边上的高：根据高的定义，要从顶点A向BC边所在的直线作垂线，观察△ABC可知∠ABC是钝角，垂足会落在CB的延长线上，因此先延长CB，再过A作延长线的垂线，垂足为F，AF就是BC边上的高；直角三角形是含90°角的三角形，找出所有含直角∠AFC的三角形即可。
【解析】
(1) 测量∠ABC的度数，以B为顶点、BC为一边，在∠ABC内部作角等于∠ABC的一半，角的边交AC于D，BD即为∠ABC的平分线，根据角平分线定义可得$∠ABD=∠CBD$。
(2) 测量AC的长度找到AC的中点E，连接BE，BE即为AC边上的中线，根据中点定义可得$AE=CE$。
(3) 延长CB，将三角板的直角边与直线CB重合，平移三角板使另一条直角边过点A，作垂线交CB的延长线于F，AF即为BC边上的高；由$AF⊥FC$得$∠AFC=90°$，因此含该直角的$△AFB$和$△AFC$都是直角三角形。
【答案】
6. (1)如图,BD 是$∠ABC$的平分线,$∠ABD=∠CBD$.
(2)如图,BE是边 AC 上的中线,$AE=CE$. (3)如图,延长CB,过点 A 作$AF⊥CB$,垂足为 F,线段 AF 为边 BC 上的高,$\because AF⊥BC,\therefore ∠AFC=90°$,
∴图中的直角三角形有$△AFB$和$△AFC$,共2个。
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查对三角形三类重要线段定义的理解，要注意钝角三角形的钝角边上的高会落在三角形外，作图时不要忽略延长对应边的步骤，熟练掌握三类线段的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.85

7. 如图,在$△ ABC$中,E是边BC上的一点,$EC=2BE$,D是AC的中点,设$△ ABC$、$△ ADF$、$△ BEF$的面积分别为$S_{△ ABC}$、$S_{△ ADF}$、$S_{△ BEF}$,且$S_{△ ABC}=24$,则$S_{△ ADF}-S_{△ BEF}$的值为 （）

A.6.5
B.6
C.5
D.4

7. D 解析:$\because D$是AC 的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AC. \because S_{△ ABC}=24$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12. \because EC=2BE, \therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=8, \therefore S_{△ ADF}-S_{△ BEF}=(S_{△ ABD}-S_{△ ABF})-(S_{△ ABE}-S_{△ ABF})=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}=12-8=4.$

【分析】
本题无法直接求出$S_{△ADF}$和$S_{△BEF}$的具体值，因此考虑用转化思想求解：首先利用三角形中线平分三角形面积、同高三角形面积比等于底边长的比，分别求出$△ABD$和$△ABE$的面积，再将两个小三角形的面积差转化为这两个大三角形的面积差，消去公共部分$△ABF$的面积即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ D是AC的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC$，$△ABD$和$△ABC$同高，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12$。
$\because EC=2BE$，即$BE=\frac{1}{3}BC$，$△ABE$和$△ABC$同高，
$\therefore S_{△ABE}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=\frac{1}{3}×24=8$。
又$\because S_{△ADF}=S_{△ABD}-S_{△ABF}$，$S_{△BEF}=S_{△ABE}-S_{△ABF}$，
$\therefore S_{△ADF}-S_{△BEF}=(S_{△ABD}-S_{△ABF})-(S_{△ABE}-S_{△ABF})=S_{△ABD}-S_{△ABE}=12-8=4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是利用转化思想，通过引入公共部分的面积作差消元，避免了求解未知的中间量，大幅简化了计算过程，需要熟练掌握这种面积转化的技巧。
【难度系数】
0.6