登录
8. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别是E、F.已知$AB=2AC$,则DE与DF的长度之比是 （
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:3$
D.$3:2$
A
）A.$1:2$
B.$2:1$
C.$2:3$
D.$3:2$
答案
8. A 解析:$\because AD$是边 BC 上的中线,$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}. \because DE⊥AB,DF⊥AC,AB=2AC$,
$\therefore \frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$,即$2AC· DE=AC· DF,\therefore 2DE=DF,\therefore DE:DF=1:2.$
$\therefore \frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$,即$2AC· DE=AC· DF,\therefore 2DE=DF,\therefore DE:DF=1:2.$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，因此△ABD和△ACD的面积相等。接下来可以分别用底乘高的形式表示两个三角形的面积，其中DE是△ABD中AB边上的高，DF是△ACD中AC边上的高，再结合已知AB=2AC的条件，代入面积相等的等式中化简，即可求出DE与DF的长度之比。
【解析】
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$。
∴$\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$，化简得$AB·DE=AC·DF$。
将$AB=2AC$代入上式，得$2AC·DE=AC·DF$，
∵AC为三角形边长，$AC≠0$，两边同时除以AC，得$2DE=DF$，
∴$DE:DF=1:2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是利用面积法求解线段比值的典型题型，核心在于灵活运用三角形中线等分面积的性质，将线段长度关系和面积关系结合推导，解题时需注意区分所求比值的前后项，避免写反比例。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，因此△ABD和△ACD的面积相等。接下来可以分别用底乘高的形式表示两个三角形的面积，其中DE是△ABD中AB边上的高，DF是△ACD中AC边上的高，再结合已知AB=2AC的条件，代入面积相等的等式中化简，即可求出DE与DF的长度之比。
【解析】
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$。
∴$\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$，化简得$AB·DE=AC·DF$。
将$AB=2AC$代入上式，得$2AC·DE=AC·DF$，
∵AC为三角形边长，$AC≠0$，两边同时除以AC，得$2DE=DF$，
∴$DE:DF=1:2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是利用面积法求解线段比值的典型题型，核心在于灵活运用三角形中线等分面积的性质，将线段长度关系和面积关系结合推导，解题时需注意区分所求比值的前后项，避免写反比例。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是高,$CE$是角平分线,$BC＞AC$.若$∠ BAC=α$,$∠ B=β$,则$∠ DCE$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.(用含有$α$、$β$的式子表示)
答案
9. $\frac{1}{2}(α-β)$ 解析:$\because CE$是$∠ACB$的平分线,$\therefore ∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}[180°-(∠BAC+∠B)]=\frac{1}{2}[180°-(α+β)]=90°-\frac{1}{2}(α+β). \because CD$是高线,
$\therefore ∠ADC=90°,\therefore ∠ACD=90°-∠BAC=90°-α,\therefore ∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-\frac{1}{2}(α+β)-(90°-α)=\frac{1}{2}(α-β).$
$\therefore ∠ADC=90°,\therefore ∠ACD=90°-∠BAC=90°-α,\therefore ∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-\frac{1}{2}(α+β)-(90°-α)=\frac{1}{2}(α-β).$
解析
【分析】
要求∠DCE的度数，首先观察角的位置关系，可得∠DCE=∠ACE-∠ACD，因此只需要分别求出∠ACE和∠ACD的度数即可。首先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合角平分线的性质求出∠ACE；然后根据三角形高的定义得到△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后代入作差化简就能得到结果。
【解析】
解：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=α$，$∠ B=β$，
∴$∠ ACB=180°-(∠ BAC+∠ B)=180°-(α+β)$，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}[180°-(α+β)]=90°-\frac{1}{2}(α+β)$。
∵CD是△ABC的高，
∴$∠ ADC=90°$，即△ACD是直角三角形，
∴$∠ ACD=90°-∠ BAC=90°-α$，
∴$∠ DCE=∠ ACE-∠ ACD$
$=90°-\frac{1}{2}(α+β)-(90°-α)$
$=\frac{1}{2}(α-β)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(α-β)$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查三角形中角的相关计算，解题的关键是理清所求角与已知角之间的数量关系，结合角平分线、高的性质以及三角形内角和定理逐步推导，这类题型是三角形相关性质的基础应用，需要熟练掌握角的和差计算方法。
【难度系数】
0.7
要求∠DCE的度数，首先观察角的位置关系，可得∠DCE=∠ACE-∠ACD，因此只需要分别求出∠ACE和∠ACD的度数即可。首先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合角平分线的性质求出∠ACE；然后根据三角形高的定义得到△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后代入作差化简就能得到结果。
【解析】
解：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=α$，$∠ B=β$，
∴$∠ ACB=180°-(∠ BAC+∠ B)=180°-(α+β)$，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}[180°-(α+β)]=90°-\frac{1}{2}(α+β)$。
∵CD是△ABC的高，
∴$∠ ADC=90°$，即△ACD是直角三角形，
∴$∠ ACD=90°-∠ BAC=90°-α$，
∴$∠ DCE=∠ ACE-∠ ACD$
$=90°-\frac{1}{2}(α+β)-(90°-α)$
$=\frac{1}{2}(α-β)$。
【答案】
$\frac{1}{2}(α-β)$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查三角形中角的相关计算，解题的关键是理清所求角与已知角之间的数量关系，结合角平分线、高的性质以及三角形内角和定理逐步推导，这类题型是三角形相关性质的基础应用，需要熟练掌握角的和差计算方法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD的中点，连接BE、CE。如果$△ ABC$的面积是16，那么图中阴影部分的面积为________。
答案
10. 8 解析:$\because AD$是$△ ABC$的中线,$S_{△ ABC}=16,\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=8. \because E$是AD的中点,$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=4,S_{△ DCE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=4,\therefore S_{阴影}=S_{△ ABE}+S_{△ DCE}=8.$
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，可将△ABC的面积平分为两份，得到△ABD和△ACD的面积；再根据E是AD的中点，可知BE、CE分别是△ABD和△ACD的中线，可将这两个三角形的面积再次平分，最后将两个阴影三角形的面积相加即可得到结果。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=16$，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=8$，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=4$，$S_{△DCE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=4$，
∴$S_{阴影}=S_{△ABE}+S_{△DCE}=4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的常见基础题型，主要考查三角形中线分三角形为面积相等的两部分的性质，多次运用该性质即可快速求解，解题时注意理清中线对应的三角形即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，可将△ABC的面积平分为两份，得到△ABD和△ACD的面积；再根据E是AD的中点，可知BE、CE分别是△ABD和△ACD的中线，可将这两个三角形的面积再次平分，最后将两个阴影三角形的面积相加即可得到结果。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=16$，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=8$，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=4$，$S_{△DCE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=4$，
∴$S_{阴影}=S_{△ABE}+S_{△DCE}=4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的常见基础题型，主要考查三角形中线分三角形为面积相等的两部分的性质，多次运用该性质即可快速求解，解题时注意理清中线对应的三角形即可。
【难度系数】
0.8
11. 我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若$△ ABC$ 的三条内角平分线相交于点$I$，过点$I$作$DE ⊥ AI$分别交$AB$、$AC$于点$D$、$E$. 探究$∠ BIC$与$∠ BDI$之间的数量关系，并说明理由.
答案
11. $∠BIC=∠BDI$.理由如下:$\because △ ABC$的三条内角平分线相交于点$I$,$\therefore ∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=90°+\frac{1}{2}∠BAC. \because AI$平分$∠BAC$,$\therefore ∠DAI=\frac{1}{2}∠DAE. \because DE⊥AI$,$\therefore ∠AID=90°$,$\therefore ∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+\frac{1}{2}∠BAC$,$\therefore ∠BIC=∠BDI.$
解析
【分析】
要探究∠BIC与∠BDI的数量关系，可分别推导两个角的表达式，通过公共关联量建立联系：首先利用三角形角平分线的性质和内角和定理，将∠BIC用∠BAC表示；再结合角平分线定义、垂直的性质和三角形外角的性质，将∠BDI也用∠BAC表示，对比两个表达式即可得出结论。
【解析】
∵ △ABC的三条内角平分线相交于点I
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵ 在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，代入上式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ AI平分∠BAC，
∴ $∠ DAI=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ DE⊥AI，
∴ $∠ AID=90°$
∠BDI是△AID的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ BDI=∠ AID+∠ DAI=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∴ $∠ BIC=∠ BDI$
【答案】
$∠ BIC=∠ BDI$
【知识点】
三角形角平分线性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题核心是通过“公共中间量”建立两个未知角的联系，解题时要熟练运用三角形角平分线、内角和、外角的相关性质，推导过程逻辑清晰即可得到结论。
【难度系数】
0.7
要探究∠BIC与∠BDI的数量关系，可分别推导两个角的表达式，通过公共关联量建立联系：首先利用三角形角平分线的性质和内角和定理，将∠BIC用∠BAC表示；再结合角平分线定义、垂直的性质和三角形外角的性质，将∠BDI也用∠BAC表示，对比两个表达式即可得出结论。
【解析】
∵ △ABC的三条内角平分线相交于点I
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵ 在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，代入上式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ AI平分∠BAC，
∴ $∠ DAI=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ DE⊥AI，
∴ $∠ AID=90°$
∠BDI是△AID的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ BDI=∠ AID+∠ DAI=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∴ $∠ BIC=∠ BDI$
【答案】
$∠ BIC=∠ BDI$
【知识点】
三角形角平分线性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题核心是通过“公共中间量”建立两个未知角的联系，解题时要熟练运用三角形角平分线、内角和、外角的相关性质，推导过程逻辑清晰即可得到结论。
【难度系数】
0.7
12. 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点. 请应用这个结论解决以下问题.
(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,则$△ ABC$的三条高所在的直线交于点
(2)请仅用无刻度直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹.(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果)
如图2,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞90°$,已知两条高$CD$、$AE$,请你画出$△ ABC$的第三条高$BF$.
(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,则$△ ABC$的三条高所在的直线交于点
A
.(2)请仅用无刻度直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹.(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果)
如图2,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞90°$,已知两条高$CD$、$AE$,请你画出$△ ABC$的第三条高$BF$.
答案
12. (1)A (2)如图,BF即为所求作。
解析
【分析】
(1) 思考直角三角形高的特征：直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，二者交点为直角顶点，同时斜边上的高也经过该顶点，因此三条高所在直线的交点就是直角顶点。本题中∠A为直角，直接可判断交点为点A。
(2) 利用题目给出的“三角形3条高所在直线交于同一点”的结论解题：先找到已知两条高AE、CD的交点，过该交点和顶点B作直线，与AC的延长线交于F，所得线段BF就是第三条高。
【解析】
(1) 在$△ABC$中，$∠A=90°$，则AB边上的高是AC，AC边上的高是AB，两条高交于点A，且BC边上的高也过点A，因此$△ABC$三条高所在直线的交点为A。
(2) 首先延长AE和CD，两线交于公共点，再连接该公共点与点B并延长，交AC的延长线于点F，BF就是$△ABC$的第三条高。
【答案】
(1) A
(2) 如图，BF即为所求作。
【知识点】
三角形的高；三角形高共点性质；无刻度直尺作图
【点评】
本题围绕三角形高的相关性质设计，既考查了直角三角形高的交点特征，又考查了对给定性质的应用作图能力，侧重基础概念的理解与运用，是三角形高相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 思考直角三角形高的特征：直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，二者交点为直角顶点，同时斜边上的高也经过该顶点，因此三条高所在直线的交点就是直角顶点。本题中∠A为直角，直接可判断交点为点A。
(2) 利用题目给出的“三角形3条高所在直线交于同一点”的结论解题：先找到已知两条高AE、CD的交点，过该交点和顶点B作直线，与AC的延长线交于F，所得线段BF就是第三条高。
【解析】
(1) 在$△ABC$中，$∠A=90°$，则AB边上的高是AC，AC边上的高是AB，两条高交于点A，且BC边上的高也过点A，因此$△ABC$三条高所在直线的交点为A。
(2) 首先延长AE和CD，两线交于公共点，再连接该公共点与点B并延长，交AC的延长线于点F，BF就是$△ABC$的第三条高。
【答案】
(1) A
(2) 如图，BF即为所求作。
【知识点】
三角形的高；三角形高共点性质；无刻度直尺作图
【点评】
本题围绕三角形高的相关性质设计，既考查了直角三角形高的交点特征，又考查了对给定性质的应用作图能力，侧重基础概念的理解与运用，是三角形高相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
