1. 半径为$R$的圆内接正六边形的面积为。

1. $\frac{3\sqrt{3}}{2}R^{2}$

【分析】
要计算半径为$R$的圆内接正六边形的面积，需利用圆内接正六边形的性质：圆的半径等于正六边形的边长，且正六边形可被圆心与各顶点的连线分割为6个全等的等边三角形。因此，只需先求出单个等边三角形的面积，再乘以6即可得到正六边形的面积。
【解析】
圆内接正六边形的中心与各顶点的连线将正六边形分成6个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长等于圆的半径$R$。
根据等边三角形面积公式$S_{\mathrm{等边}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），单个等边三角形的面积为：
$S_{\mathrm{单}} = \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$
则正六边形的面积为6个等边三角形面积之和：
$S_{\mathrm{正六边形}} = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^{2}$
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的面积计算
【点评】
本题考查圆内接正六边形的面积计算，核心是利用正六边形的分割性质，将不规则图形转化为熟悉的等边三角形求解，属于基础几何题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在正六边形$ABCDEF$内作正方形$BCGH$,连接$AH$,则$∠ FAH=$。

2. $45°$

【分析】
要解决本题，需利用正六边形和正方形的性质推导角度关系：首先明确正六边形的内角及边长特点，再结合正方形的边长和内角性质得到等腰三角形，最后通过等腰三角形的角度计算求出目标角。步骤为：1. 确定正六边形的内角与边长相等关系；2. 结合正方形性质得到等腰三角形；3. 计算等腰三角形的底角；4. 用正六边形内角减去底角得到所求角度。
【解析】
解：
∵六边形$ABCDEF$是正六边形，
∴$∠ FAB=∠ ABC=120°$，且$AB=BC=AF$。
∵四边形$BCGH$是正方形，
∴$BC=BH$，$∠ CBH=90°$，
∴$AB=BH$，即$△ ABH$为等腰三角形，
则$∠ ABH=∠ ABC-∠ CBH=120°-90°=30°$，
∴等腰$△ ABH$的底角$∠ BAH=\frac{180°-∠ ABH}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
因此$∠ FAH=∠ FAB-∠ BAH=120°-75°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形内角、正方形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查正多边形与正方形的性质，关键是通过边长相等构造等腰三角形，利用等腰三角形的角度关系求解，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.5

3. 若扇形的圆心角为$150°$,半径为4,则该扇形的面积为。

3. $\frac{20}{3}π$

【分析】要计算扇形的面积，需运用扇形面积公式。题目已给出圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可，核心是牢记公式并准确运算。
【解析】扇形面积公式为$ S = \frac{nπ r^2}{360} $（$ n $为圆心角度数，$ r $为半径）。将$ n=150° $，$ r=4 $代入公式：
$ S = \frac{150 × π × 4^2}{360} = \frac{150 × 16π}{360} = \frac{2400π}{360} = \frac{20}{3}π $
【答案】$\frac{20}{3}π$
【知识点】扇形面积计算
【点评】本题是基础题，直接考查扇形面积公式的应用，只要牢记公式、代入数值准确计算就能得出结果，侧重对基础知识的掌握。
【难度系数】0.8

4. 如图,四边形$ABCD$为平行四边形,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$BC$边于点$E$,连接$AE$,$AB=1$,$∠ D=60°$,则$\overset{\frown}{BE}$的长$l=$(结果保留$π$).

4. $\frac{1}{3}π$

【分析】
首先利用平行四边形对角相等的性质得到∠B的度数，再结合同圆半径相等得出AB=AE，进而判断△ABE为等边三角形，得到弧BE对应的圆心角，最后用弧长公式计算弧长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B = ∠D = 60°（平行四边形的对角相等）。
由作图可知，AB = AE（同圆的半径相等），
∴ △ABE是等腰三角形，又
∵ ∠B=60°，
∴ △ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠BAE = 60°。
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $（n为圆心角度数，r为半径），这里n=60°，r=AB=1，
代入得：$ l = \frac{60π × 1}{180} = \frac{1}{3}π $。
【答案】
$\frac{1}{3}π$
【知识点】
平行四边形性质、等边三角形判定、弧长计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、等边三角形判定及弧长公式的应用，属于基础几何计算题，需掌握相关几何性质和公式即可求解。
【难度系数】
0.5

5. 如图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形$AOB$的圆心角为$90°$,$OA=1$ m,点$C,D$分别为$OA,OB$的中点,则花窗的面积为$\mathrm{m}^{2}$.

5. $(\frac{π}{4}-\frac{1}{8})$

【分析】
要计算花窗的面积，观察图形可知，花窗（阴影部分）的面积等于扇形AOB的面积减去直角三角形OCD的面积。先利用扇形面积公式计算扇形AOB的面积，再根据中点性质和直角三角形面积公式计算三角形OCD的面积，最后作差得到结果。
【解析】
1. 计算扇形AOB的面积：
扇形面积公式为 $ S_{\mathrm{扇}} = \frac{nπ r^2}{360} $，已知圆心角 $ n=90° $，半径 $ OA=r=1\ \mathrm{m} $，代入得：
$ S_{\mathrm{扇}AOB} = \frac{90π × 1^2}{360} = \frac{π}{4}\ (\mathrm{m}^2) $。
2. 计算直角三角形OCD的面积：
因为点C、D分别为OA、OB的中点，所以 $ OC = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}\ \mathrm{m} $，$ OD = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}\ \mathrm{m} $，且 $ ∠ COD=90° $，直角三角形面积公式为 $ S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2}ab $，代入得：
$ S_{△ OCD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\ (\mathrm{m}^2) $。
3. 计算花窗的面积：
花窗面积 = 扇形AOB面积 - 三角形OCD面积，即：
$ S = \frac{π}{4} - \frac{1}{8}\ (\mathrm{m}^2) $。
【答案】
$ \frac{π}{4} - \frac{1}{8} $
【知识点】
扇形面积计算、直角三角形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的基础题，通过“整体减部分”的思路，将阴影面积转化为扇形与直角三角形的面积差，考查了基本面积公式的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

6. 如图,$△ ABC$三个顶点的坐标分别是$A(1,3)$,$B(3,4)$,$C(1,4)$.
(1) 将$△ ABC$向下平移2个单位长度得$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,画出平移后的图形,并直接写出点$B_{1}$的坐标;
(2) 将$△ A_{1}B_{1}C_{1}$绕点$B_{1}$逆时针旋转$90°$得$△ A_{2}B_{1}C_{2}$.画出旋转后的图形,并求点$C_{1}$运动到点$C_{2}$所经过的路径长.

6. (1) 解:$△ A_{1}B_{1}C_{1}$如图所示:

由图可知:$B_{1}(3,2)$;
(2) 解:$△ A_{2}B_{1}C_{2}$如图所示:
点$C_{1}$运动到点$C_{2}$所经过的路径长为$\frac{π× B_{1}C_{1}×90}{180}=$
$\frac{π×2×90}{180}=π$.

【分析】
本题分为两个小问，第一问是图形的平移，根据平移的性质：向下平移时，各点横坐标不变，纵坐标减平移的单位数，即可得到平移后各点坐标，进而画出图形；第二问是图形的旋转，需确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，再利用弧长公式计算点运动的路径长，路径为以旋转中心为圆心，旋转点到旋转中心的距离为半径，圆心角为旋转角度的圆弧。
【解析】
(1) 根据平移的性质，将$△ ABC$各顶点向下平移2个单位，即各点坐标变化为$(x,y) \to (x, y-2)$：
已知$A(1,3)$，$B(3,4)$，$C(1,4)$，则平移后$A_1(1,1)$，$B_1(3,4-2)=(3,2)$，$C_1(1,4-2)=(1,2)$，画出$△ A_1B_1C_1$，故点$B_1$的坐标为$(3,2)$。
(2) 将$△ A_1B_1C_1$绕点$B_1$逆时针旋转$90°$，画出旋转后的$△ A_2B_1C_2$。
点$C_1$运动的路径是以$B_1$为圆心，$B_1C_1$的长度为半径，圆心角为$90°$的圆弧。
计算$B_1C_1$的长度：$B_1(3,2)$，$C_1(1,2)$，故$B_1C_1=|3-1|=2$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=90°$，$r=2$，得：
$l=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
(1) $△ A_{1}B_{1}C_{1}$如图所示：，$B_{1}(3,2)$；
(2) $△ A_{2}B_{1}C_{2}$如图所示：，点$C_{1}$运动到点$C_{2}$所经过的路径长为$π$。
【知识点】
图形的平移、图形的旋转、弧长的计算
【点评】
本题考查图形平移、旋转的坐标变换及弧长公式的应用，属于基础题型，需掌握平移和旋转的坐标变化规律，以及弧长公式的正确运用。
【难度系数】
0.5

7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$D$是$\odot O$上一点,过点$A$的切线与弦$BD$的延长线交于点$C$,过点$D$的直线与线段$AC$交于点$E$,且$DE=CE$.
(1) 猜想直线$DE$与$\odot O$的位置关系,并证明;
(2) 若$\odot O$的半径是3,$∠ B=30°$,求阴影部分的面积.

7. (1) 证明略 (2) $3\sqrt{3}-\frac{3}{2}π$

【分析】
(1) 要判断直线DE与⊙O的位置关系，需连接OD，证明OD⊥DE。利用切线性质得OA⊥AC，结合等腰三角形性质和直角三角形角度关系，推导∠ODE=90°，即可得DE是⊙O的切线。
(2) 求阴影面积时，先利用圆周角定理求扇形OAD的圆心角，计算扇形面积；再结合直角三角形性质求出相关线段长度，得到四边形OAED的面积，用四边形面积减去扇形面积即为阴影部分面积。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴ OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∴ ∠C + ∠B = 90°。
∵ DE=CE，
∴ ∠C=∠CDE。
∵ OB=OD，
∴ ∠B=∠ODB。
∴ ∠CDE + ∠ODB = ∠C + ∠B = 90°，
∴ ∠ODE = 180° - (∠CDE + ∠ODB) = 90°，
即 OD⊥DE。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ 直线DE与⊙O相切。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，⊙O半径为3，
∴ AB=6。
∵ ∠B=30°，由圆周角定理得∠AOD=2∠B=60°，
∴ 扇形OAD的面积：$S_{扇形OAD}=\frac{60°}{360°}×π×3^2=\frac{3}{2}π$。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，AB=6，
∴ $AC=AB×tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$BC=\frac{AB}{cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$。
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴ $BD=AB×cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$CD=BC - BD=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∵ DE=CE，∠C=90°-∠B=60°，
∴ △CDE是等边三角形，CE=CD=√3，
∴ $AE=AC - CE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∵ OA⊥AC，OD⊥DE，
∴ 四边形OAED的面积为$S_{△OAE}+S_{△ODE}$。
在Rt△OAE中，OA=3，AE=√3，
$S_{△OAE}=\frac{1}{2}×OA×AE=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△ODE中，OD=3，DE=CE=√3，
$S_{△ODE}=\frac{1}{2}×OD×DE=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∴ $S_{四边形OAED}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
∴ 阴影部分面积为$S_{四边形OAED}-S_{扇形OAD}=3\sqrt{3}-\frac{3}{2}π$。
【答案】
(1) 直线DE与⊙O相切；(2) $3\sqrt{3}-\frac{3}{2}π$
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角性质及扇形面积计算，需熟练运用切线判定定理，结合直角三角形、等边三角形的性质推导，第二问需准确计算线段长度，区分图形面积的差，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5