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8. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ DAB=60°$,$AB=BC=2AD=2$.以点$A$为圆心,$AD$为半径作$\overset{\frown}{DE}$交$AB$于点$E$,以点$B$为圆心,$BE$为半径作$\overset{\frown}{EF}$交$BC$于点$F$,连接$FD$交$\overset{\frown}{EF}$于另一点$G$,连接$CG$.
(1) 求证:$CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线;
(2) 求图中涂色部分的面积.
(1) 求证:$CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线;
(2) 求图中涂色部分的面积.
答案
8. (1) 证明略 (2) $\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{π}{3}$
解析
【分析】
本题分为两小问，(1) 需证明CG是$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线，核心是证明CG与圆B的半径BG垂直，即$∠ BGC=90°$；(2) 求涂色部分面积，需利用割补法，结合已知的边长、角度，计算相关图形的面积差。首先根据$AD// BC$，$AB=BC=2AD=2$，可得$AD=1$，进而得到$BE=BF=1$，再通过平行四边形的判定推导各边和角度关系，完成证明与面积计算。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$AB=2AD=2$，$\therefore AD=1$。
$\because$ 以A为圆心，AD为半径作$\overset{\frown}{DE}$，$\therefore AE=AD=1$，故$BE=AB - AE=2 - 1=1$。
又$\because$ 以B为圆心，BE为半径作$\overset{\frown}{EF}$，$\therefore BF=BE=1$，即$BF=1$。
$\because BC=2$，$\therefore FC=BC - BF=1$，因此$AD=FC=1$，且$AD// BC$（即$AD// FC$），故四边形ADCF是平行四边形，得$DF=AC$，且$AD// FC$。
又$\because AD// BC$，$AD=BF=1$，$\therefore$ 四边形ABFD是平行四边形，故$DF=AB=2$，且$∠ ABC=180° - ∠ DAB=120°$，由$AB// DF$得$∠ DFB=180° - ∠ ABC=60°$。
$\because BG=BF=1$，结合$DF=2$及$AD// FG$，得$FG=1$，因此$BG=BF=FG=1$，$△ BFG$为等边三角形，$∠ GBF=60°$，则$∠ GBC=∠ ABC - ∠ GBF=120° - 60°=60°$。
在$△ BGC$中，$BG=1$，$BC=2$，$∠ GBC=60°$，由余弦定理：
$CG^2=BG^2 + BC^2 - 2· BG· BC· \cos60°=1 + 4 - 2×1×2×\frac{1}{2}=3$，
故$BG^2 + CG^2=1 + 3=4=BC^2$，$△ BGC$为直角三角形，$∠ BGC=90°$，即$CG⊥ BG$。
$\because BG$是$\overset{\frown}{EF}$所在圆的半径，$\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。
(2) 解：
通过割补法计算，结合平行四边形、三角形及扇形面积公式，最终得涂色部分面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{3}$。
【答案】
(1) 证明略；(2) $\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{π}{3}$
【知识点】
切线的判定、扇形面积计算、平行四边形性质
【点评】
本题综合考查几何证明与面积计算，需熟练运用切线判定定理、扇形面积公式及平行四边形性质，对图形分析能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，(1) 需证明CG是$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线，核心是证明CG与圆B的半径BG垂直，即$∠ BGC=90°$；(2) 求涂色部分面积，需利用割补法，结合已知的边长、角度，计算相关图形的面积差。首先根据$AD// BC$，$AB=BC=2AD=2$，可得$AD=1$，进而得到$BE=BF=1$，再通过平行四边形的判定推导各边和角度关系，完成证明与面积计算。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$AB=2AD=2$，$\therefore AD=1$。
$\because$ 以A为圆心，AD为半径作$\overset{\frown}{DE}$，$\therefore AE=AD=1$，故$BE=AB - AE=2 - 1=1$。
又$\because$ 以B为圆心，BE为半径作$\overset{\frown}{EF}$，$\therefore BF=BE=1$，即$BF=1$。
$\because BC=2$，$\therefore FC=BC - BF=1$，因此$AD=FC=1$，且$AD// BC$（即$AD// FC$），故四边形ADCF是平行四边形，得$DF=AC$，且$AD// FC$。
又$\because AD// BC$，$AD=BF=1$，$\therefore$ 四边形ABFD是平行四边形，故$DF=AB=2$，且$∠ ABC=180° - ∠ DAB=120°$，由$AB// DF$得$∠ DFB=180° - ∠ ABC=60°$。
$\because BG=BF=1$，结合$DF=2$及$AD// FG$，得$FG=1$，因此$BG=BF=FG=1$，$△ BFG$为等边三角形，$∠ GBF=60°$，则$∠ GBC=∠ ABC - ∠ GBF=120° - 60°=60°$。
在$△ BGC$中，$BG=1$，$BC=2$，$∠ GBC=60°$，由余弦定理：
$CG^2=BG^2 + BC^2 - 2· BG· BC· \cos60°=1 + 4 - 2×1×2×\frac{1}{2}=3$，
故$BG^2 + CG^2=1 + 3=4=BC^2$，$△ BGC$为直角三角形，$∠ BGC=90°$，即$CG⊥ BG$。
$\because BG$是$\overset{\frown}{EF}$所在圆的半径，$\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。
(2) 解：
通过割补法计算，结合平行四边形、三角形及扇形面积公式，最终得涂色部分面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{3}$。
【答案】
(1) 证明略；(2) $\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{π}{3}$
【知识点】
切线的判定、扇形面积计算、平行四边形性质
【点评】
本题综合考查几何证明与面积计算，需熟练运用切线判定定理、扇形面积公式及平行四边形性质，对图形分析能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
9. "启智"数学兴趣小组对图形的旋转展开进一步探究,总结了一些方法和规律,请你完成相关问题.(画图工具不限,不写画法)
(1) 动中有定:
如图1,$△ ABC$是边长为2的等边三角形.
①将点$A$绕点$C$顺时针旋转一周,点$A$的对应点为$A'$,请在图1中画出点$A'$的运动路径,当点$A'$不与点$A$、$B$重合时,可得$∠ AA'B=$
②将边$AB$绕点$C$顺时针旋转一周,请在图1中画出线段$AB$扫过的区域(用阴影表示,画出必要的辅助线),并求出该区域的面积.
(2) 以静制动:
如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,将$△ ABC$绕点$C$旋转得到$△ A'B'C$,$P$是线段$A'B'$上的一个动点,$M$是$AC$的中点.
①线段$PM$的最小值是
②点$P$到直线$BC$的距离为$h$,当$PB=PC$时,求$h$的取值范围.
(1) 动中有定:
如图1,$△ ABC$是边长为2的等边三角形.
①将点$A$绕点$C$顺时针旋转一周,点$A$的对应点为$A'$,请在图1中画出点$A'$的运动路径,当点$A'$不与点$A$、$B$重合时,可得$∠ AA'B=$
30
°或150
°;②将边$AB$绕点$C$顺时针旋转一周,请在图1中画出线段$AB$扫过的区域(用阴影表示,画出必要的辅助线),并求出该区域的面积.
(2) 以静制动:
如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,将$△ ABC$绕点$C$旋转得到$△ A'B'C$,$P$是线段$A'B'$上的一个动点,$M$是$AC$的中点.
①线段$PM$的最小值是
2.3
,最大值是8.5
;②点$P$到直线$BC$的距离为$h$,当$PB=PC$时,求$h$的取值范围.
答案
9. (1) ①作图略.30 150 ②作图略.该区域的面积为$π$.
(2) ①2.3 8.5 ②$h$的取值范围是$\frac{3\sqrt{39}}{5}≤ h≤3\sqrt{3}$.
(2) ①2.3 8.5 ②$h$的取值范围是$\frac{3\sqrt{39}}{5}≤ h≤3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题是图形旋转的几何综合题，分为两部分：(1)围绕等边三角形的旋转，①需利用圆周角定理确定∠AA'B的度数，②需明确线段旋转扫过的区域为圆环，通过面积公式计算；(2)围绕等腰三角形的旋转，①需结合点到直线的距离、线段最值规律求解PM的最值，②需结合垂直平分线性质确定P的位置，进而计算到直线BC的距离范围。
【解析】
(1) ① 点A绕点C旋转的路径是以C为圆心、CA为半径的圆，因△ABC是等边三角形，故CA=CB，A、B均在该圆上。根据圆周角定理，同弧所对圆周角为圆心角的一半，弧AB对应的圆心角为60°，当A'在弧AB的优弧侧时，∠AA'B=30°；当A'在弧AB的劣弧侧时，∠AA'B=180°-30°=150°。
② 线段AB绕点C旋转时，AB上各点到C的最小距离为等边△ABC的高$\sqrt{3}$，最大距离为CA=2，扫过区域是半径为2和$\sqrt{3}$的圆环，面积为$π×2^2 - π×(\sqrt{3})^2=π$。
(2) ① △ABC旋转后△A'B'C≌△ABC，故A'B'=5，B'C=6，M是AC中点，CM=2.5。点P在A'B'上，PM最小值为点M到直线A'B'的距离，计算得2.3；最大值为CM+B'C=2.5+6=8.5（P与B'重合时取最大值）。
② 当PB=PC时，P在BC的垂直平分线上，结合P在A'B'上，通过几何关系推导得P到BC的距离h的范围为$\frac{3\sqrt{39}}{5}≤h≤3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ① 30；150 ② 面积为π；(2) ① 2.3；8.5 ② $\frac{3\sqrt{39}}{5}≤h≤3\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质、圆周角定理、扇形面积计算、线段最值
【点评】
本题综合考查旋转相关的几何知识，需掌握旋转扫过区域的面积计算、动点最值分析及垂直平分线性质的应用，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是图形旋转的几何综合题，分为两部分：(1)围绕等边三角形的旋转，①需利用圆周角定理确定∠AA'B的度数，②需明确线段旋转扫过的区域为圆环，通过面积公式计算；(2)围绕等腰三角形的旋转，①需结合点到直线的距离、线段最值规律求解PM的最值，②需结合垂直平分线性质确定P的位置，进而计算到直线BC的距离范围。
【解析】
(1) ① 点A绕点C旋转的路径是以C为圆心、CA为半径的圆，因△ABC是等边三角形，故CA=CB，A、B均在该圆上。根据圆周角定理，同弧所对圆周角为圆心角的一半，弧AB对应的圆心角为60°，当A'在弧AB的优弧侧时，∠AA'B=30°；当A'在弧AB的劣弧侧时，∠AA'B=180°-30°=150°。
② 线段AB绕点C旋转时，AB上各点到C的最小距离为等边△ABC的高$\sqrt{3}$，最大距离为CA=2，扫过区域是半径为2和$\sqrt{3}$的圆环，面积为$π×2^2 - π×(\sqrt{3})^2=π$。
(2) ① △ABC旋转后△A'B'C≌△ABC，故A'B'=5，B'C=6，M是AC中点，CM=2.5。点P在A'B'上，PM最小值为点M到直线A'B'的距离，计算得2.3；最大值为CM+B'C=2.5+6=8.5（P与B'重合时取最大值）。
② 当PB=PC时，P在BC的垂直平分线上，结合P在A'B'上，通过几何关系推导得P到BC的距离h的范围为$\frac{3\sqrt{39}}{5}≤h≤3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) ① 30；150 ② 面积为π；(2) ① 2.3；8.5 ② $\frac{3\sqrt{39}}{5}≤h≤3\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质、圆周角定理、扇形面积计算、线段最值
【点评】
本题综合考查旋转相关的几何知识，需掌握旋转扫过区域的面积计算、动点最值分析及垂直平分线性质的应用，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
