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1. 下列实数中,为无理数的是()
A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
答案
C
解析
根据有理数和无理数的定义判断：有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数。
选项A：$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
选项B：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项C：$\sqrt{15}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
选项D：$\sqrt[3]{64}=4$，是整数，属于有理数。
综上，只有C是无理数。
选项A：$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
选项B：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项C：$\sqrt{15}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
选项D：$\sqrt[3]{64}=4$，是整数，属于有理数。
综上，只有C是无理数。
2. 如图,面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为-1.若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为()
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$-\sqrt{3}+1$
D.$\sqrt{3}$
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$-\sqrt{3}+1$
D.$\sqrt{3}$
答案
A
解析
1. 已知正方形ABCD面积为3，可得正方形边长$AD=\sqrt{3}$；2. 由条件$AD=AE$，可知线段AE的长度为$\sqrt{3}$；3. 点A在数轴上表示的数是-1，点E在点A右侧，因此点E表示的数为$-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$。
3.若实数 $ a,b,c $ 在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是()
A.$ b+c＞3 $
B.$ a-c＜0 $
C.$ |a|＞|c| $
D.$ -2a＜-2b $
A.$ b+c＞3 $
B.$ a-c＜0 $
C.$ |a|＞|c| $
D.$ -2a＜-2b $
答案
B
解析
由数轴可得各数的取值范围：$-3 ＜ a ＜ -2$，$-2 ＜ b ＜ -1$，$3 ＜ c ＜ 4$，逐一分析选项：
1. 选项A：由$-2 ＜ b ＜ -1$，$3 ＜ c ＜ 4$，可得$1 ＜ b+c ＜ 3$，即$b+c＜3$，A错误；
2. 选项B：因为$a ＜ c$，根据不等式性质，两边减$c$得$a-c ＜ 0$，B正确；
3. 选项C：$|a|$是$a$到原点的距离，满足$2＜|a|＜3$，$|c|$是$c$到原点的距离，满足$3＜|c|＜4$，因此$|a|＜|c|$，C错误；
4. 选项D：已知$a ＜ b$，不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2a ＞ -2b$，D错误。
1. 选项A：由$-2 ＜ b ＜ -1$，$3 ＜ c ＜ 4$，可得$1 ＜ b+c ＜ 3$，即$b+c＜3$，A错误；
2. 选项B：因为$a ＜ c$，根据不等式性质，两边减$c$得$a-c ＜ 0$，B正确；
3. 选项C：$|a|$是$a$到原点的距离，满足$2＜|a|＜3$，$|c|$是$c$到原点的距离，满足$3＜|c|＜4$，因此$|a|＜|c|$，C错误；
4. 选项D：已知$a ＜ b$，不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2a ＞ -2b$，D错误。
4. 比较 $3$，$\sqrt{10}$，$\sqrt[3]{25}$ 的大小：$\underline{\hspace{10cm}}$（用“＜”连接）。
答案
$\sqrt[3]{25}＜3＜\sqrt{10}$
解析
我们可以通过乘方比较法来判断三个数的大小：
1. 比较3和$\sqrt{10}$：
计算平方可得$3^2=9$，$(\sqrt{10})^2=10$，因为$9＜10$，所以$3＜\sqrt{10}$。
2. 比较3和$\sqrt[3]{25}$：
计算立方可得$3^3=27$，$(\sqrt[3]{25})^3=25$，因为$25＜27$，所以$\sqrt[3]{25}＜3$。
结合两个结论，即可得到三者的大小关系。
1. 比较3和$\sqrt{10}$：
计算平方可得$3^2=9$，$(\sqrt{10})^2=10$，因为$9＜10$，所以$3＜\sqrt{10}$。
2. 比较3和$\sqrt[3]{25}$：
计算立方可得$3^3=27$，$(\sqrt[3]{25})^3=25$，因为$25＜27$，所以$\sqrt[3]{25}＜3$。
结合两个结论，即可得到三者的大小关系。
5.若$\sqrt[3]{2a-3}+\sqrt[3]{7-3a}=0$，则$\sqrt{a+5}$的算术平方根为________.
答案
$\sqrt{3}$
解析
根据立方根的性质：若两个数的立方根之和为0，则这两个数的被开方数互为相反数。
由$\sqrt[3]{2a-3}+\sqrt[3]{7-3a}=0$，可得：
$2a-3 + 7 - 3a = 0$
合并同类项得：$-a +4 =0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$\sqrt{a+5}$，得$\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$。
再求3的算术平方根，最终结果为$\sqrt{3}$。
由$\sqrt[3]{2a-3}+\sqrt[3]{7-3a}=0$，可得：
$2a-3 + 7 - 3a = 0$
合并同类项得：$-a +4 =0$，解得$a=4$。
将$a=4$代入$\sqrt{a+5}$，得$\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$。
再求3的算术平方根，最终结果为$\sqrt{3}$。
6.在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当n=2时，只有(1,2)一种取法，即k=1；当n=3时，有(1,3)和(2,3)两种取法，即k=2；当n=4时，可得k=4；….若n=6，则k的值为；若n=24，则k的值为.
答案
9；144
解析
先计算n=6时的符合条件的取法种数：
从1~6中任取两个不同的数，满足两数之和大于6的无序取法：
① 当其中一个数为1时，仅能搭配6，共1种取法；
② 当其中一个数为2时，可搭配5、6，共2种取法；
③ 当其中一个数为3时，可搭配4、5、6，共3种取法；
④ 当其中一个数为4时，可搭配5、6（4与小于4的数的组合已在前面计数），共2种取法；
⑤ 当其中一个数为5时，仅能搭配6（5与小于5的数的组合已在前面计数），共1种取法；
总取法k=1+2+3+2+1=9。
再推导偶数n的通用规律：若n为偶数，设n=2m，满足条件的取法总数k=1+2+…+m+(m-1)+…+1=m²。
当n=24时，m=24÷2=12，因此k=12²=144。
从1~6中任取两个不同的数，满足两数之和大于6的无序取法：
① 当其中一个数为1时，仅能搭配6，共1种取法；
② 当其中一个数为2时，可搭配5、6，共2种取法；
③ 当其中一个数为3时，可搭配4、5、6，共3种取法；
④ 当其中一个数为4时，可搭配5、6（4与小于4的数的组合已在前面计数），共2种取法；
⑤ 当其中一个数为5时，仅能搭配6（5与小于5的数的组合已在前面计数），共1种取法；
总取法k=1+2+3+2+1=9。
再推导偶数n的通用规律：若n为偶数，设n=2m，满足条件的取法总数k=1+2+…+m+(m-1)+…+1=m²。
当n=24时，m=24÷2=12，因此k=12²=144。
7.解方程:(1)$(x+5)^2 - 16 = 0$; (2)$(5x - 1)^3 = -0.027$.
答案
(1) $x_1=-1，x_2=-9$；(2) $x=0.14$
解析
(1) 解第一个方程：
先移项，将常数项移到等号右侧，得到$(x+5)^2 = 16$，根据平方根的定义，对等式两边直接开平方可得$x+5 = \pm4$：
当$x+5=4$时，解得$x=-1$；
当$x+5=-4$时，解得$x=-9$。
(2) 解第二个方程：
根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，可得$5x - 1 = -0.3$，移项计算得$5x = 0.7$，将系数化为1，解得$x=0.14$。
先移项，将常数项移到等号右侧，得到$(x+5)^2 = 16$，根据平方根的定义，对等式两边直接开平方可得$x+5 = \pm4$：
当$x+5=4$时，解得$x=-1$；
当$x+5=-4$时，解得$x=-9$。
(2) 解第二个方程：
根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，可得$5x - 1 = -0.3$，移项计算得$5x = 0.7$，将系数化为1，解得$x=0.14$。
8.一个长与宽均为$3\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$且高是4 cm的长方体容器中装满了水,现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中,恰好装满,则这个正方体容器的棱长是多少？
答案
这个正方体容器的棱长是$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$。
解析
根据题意可知，水的体积保持不变，水的体积等于原长方体容器的容积，也等于正方体容器的容积。
1. 计算长方体容器的容积：
长方体体积公式为$V_{\mathrm{长}}=长×宽×高$，代入已知条件数值：
$\begin{aligned}V_{\mathrm{长}}&=3\sqrt{6} × 3\sqrt{6} × 4\\&=9× (\sqrt{6})^2 × 4\\&=9×6×4\\&=216\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
2. 设正方体容器的棱长为$a$，正方体体积公式为$V_{\mathrm{正}}=a^3$，由题意得$V_{\mathrm{正}}=V_{\mathrm{长}}=216\ \mathrm{cm}^3$，即$a^3=216$，对等式两边开立方可得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$。
1. 计算长方体容器的容积：
长方体体积公式为$V_{\mathrm{长}}=长×宽×高$，代入已知条件数值：
$\begin{aligned}V_{\mathrm{长}}&=3\sqrt{6} × 3\sqrt{6} × 4\\&=9× (\sqrt{6})^2 × 4\\&=9×6×4\\&=216\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
2. 设正方体容器的棱长为$a$，正方体体积公式为$V_{\mathrm{正}}=a^3$，由题意得$V_{\mathrm{正}}=V_{\mathrm{长}}=216\ \mathrm{cm}^3$，即$a^3=216$，对等式两边开立方可得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$。
