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1. 计算$-2x(5x+2)$的结果是 （）
A.$-10x^2 - 2$
B.$10x^2 + 4x$
C.$10x^2 - 4x$
D.$-10x^2 - 4x$
A.$-10x^2 - 2$
B.$10x^2 + 4x$
C.$10x^2 - 4x$
D.$-10x^2 - 4x$
答案
D
解析
根据单项式乘多项式法则，用单项式$-2x$分别乘多项式$5x+2$的每一项，再把所得的积相加：$-2x·5x + (-2x)·2 = -10x^2 -4x$，故选D。
2. 如图,下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是
()
A.$a^2 + b(a + c)$
B.$a(a + b) + bc$
C.$a(a + b) + c(a + b)$
D.$(a + b)(a + c) - ac$
()
A.$a^2 + b(a + c)$
B.$a(a + b) + bc$
C.$a(a + b) + c(a + b)$
D.$(a + b)(a + c) - ac$
答案
C
解析
先计算阴影部分面积：阴影部分可分为三部分，面积和为$a^2 + ab + bc$；或大长方形面积$(a+b)(a+c)$减去空白部分面积$ac$，即$(a+b)(a+c)-ac = a^2 + ab + bc$。
选项A：$a^2 + b(a+c)=a^2 + ab + bc$，符合；
选项B：$a(a+b)+bc=a^2 + ab + bc$，符合；
选项C：$a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)=a^2 + ab + bc + ac$，与阴影面积不符；
选项D：$(a+b)(a+c)-ac=a^2 + ab + bc$，符合。
选项A：$a^2 + b(a+c)=a^2 + ab + bc$，符合；
选项B：$a(a+b)+bc=a^2 + ab + bc$，符合；
选项C：$a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)=a^2 + ab + bc + ac$，与阴影面积不符；
选项D：$(a+b)(a+c)-ac=a^2 + ab + bc$，符合。
3. 下列多项式相乘的结果是$x^2 - x - 6$的为
（）
A.$(x-2)(x+3)$
B.$(x+2)(x-3)$
C.$(x-6)(x+1)$
D.$(x+6)(x-1)$
（）
A.$(x-2)(x+3)$
B.$(x+2)(x-3)$
C.$(x-6)(x+1)$
D.$(x+6)(x-1)$
答案
B
解析
根据多项式乘多项式法则，分别计算各选项：
A. $(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，不符合；
B. $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，符合；
C. $(x-6)(x+1)=x^2+x-6x-6=x^2-5x-6$，不符合；
D. $(x+6)(x-1)=x^2-x+6x-6=x^2+5x-6$，不符合。
A. $(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，不符合；
B. $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，符合；
C. $(x-6)(x+1)=x^2+x-6x-6=x^2-5x-6$，不符合；
D. $(x+6)(x-1)=x^2-x+6x-6=x^2+5x-6$，不符合。
4. 已知三角形的一边长为$(2a - 4b)$，这边上的高是$(3a + 2b)$，则这个三角形的面积是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$3a² - 4ab - 4b²$
解析
根据三角形面积公式，三角形面积=1/2×底×高，将底为$(2a - 4b)$、高为$(3a + 2b)$代入计算：
1. 代入公式得：面积=$\frac{1}{2}×(2a - 4b)(3a + 2b)$；
2. 展开多项式：$(2a - 4b)(3a + 2b)=2a·3a + 2a·2b - 4b·3a - 4b·2b=6a² + 4ab - 12ab - 8b²=6a² - 8ab - 8b²$；
3. 化简得：面积=$\frac{1}{2}×(6a² - 8ab - 8b²)=3a² - 4ab - 4b²$。
1. 代入公式得：面积=$\frac{1}{2}×(2a - 4b)(3a + 2b)$；
2. 展开多项式：$(2a - 4b)(3a + 2b)=2a·3a + 2a·2b - 4b·3a - 4b·2b=6a² + 4ab - 12ab - 8b²=6a² - 8ab - 8b²$；
3. 化简得：面积=$\frac{1}{2}×(6a² - 8ab - 8b²)=3a² - 4ab - 4b²$。
5. 如图,有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片以及长为a、宽为b的C类长方形纸片若干张,要拼一个边长为$a+b$的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形,则需要C类纸片张.
答案
8
解析
先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形面积，根据长方形面积公式得：$(3a+b)(2a+2b)=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b = 6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2 = 6a^2 + 8ab + 2b^2$。已知A类纸片面积为$a^2$，B类纸片面积为$b^2$，C类纸片面积为$ab$，因此面积中$ab$项的系数就是需要C类纸片的数量，即8张。
6. 计算：
(1) $(-\dfrac{2}{5}x^{2}y^{3})· (\dfrac{5}{8}xyz)$；
(2) $(\dfrac{2}{3}x^{2}y - 6xy)· \dfrac{1}{2}xy^{2}$；
(3) $(x - y)(x^{2} + xy + y^{2})$。
(1) $(-\dfrac{2}{5}x^{2}y^{3})· (\dfrac{5}{8}xyz)$；
(2) $(\dfrac{2}{3}x^{2}y - 6xy)· \dfrac{1}{2}xy^{2}$；
(3) $(x - y)(x^{2} + xy + y^{2})$。
答案
(1) $-\frac{1}{4}x^3y^4z$；(2) $\frac{1}{3}x^3y^3 -3x^2y^3$；(3) $x^3 - y^3$
解析
(1) 根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂的指数相加：$(-\frac{2}{5}x^2y^3)·(\frac{5}{8}xyz)=(-\frac{2}{5}×\frac{5}{8})x^{2+1}y^{3+1}z=-\frac{1}{4}x^3y^4z$；(2) 根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加：$(\frac{2}{3}x^2y -6xy)·\frac{1}{2}xy^2=\frac{2}{3}x^2y·\frac{1}{2}xy^2 -6xy·\frac{1}{2}xy^2=\frac{1}{3}x^3y^3 -3x^2y^3$；(3) 根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再合并同类项：$(x - y)(x^2 + xy + y^2)=x·x^2 +x·xy +x·y^2 -y·x^2 -y·xy -y·y^2=x^3 +x^2y +xy^2 -x^2y -xy^2 -y^3=x^3 -y^3$。
7. 先化简,再求值:
$(x+2)(x-3)-x(2x-1)-4$,其中
$x=1.$
$(x+2)(x-3)-x(2x-1)-4$,其中
$x=1.$
答案
$-11$
解析
先根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则展开式子：
$(x+2)(x-3)=x^2 -3x +2x -6=x^2 -x -6$，$x(2x-1)=2x^2 -x$；
再代入原式去括号、合并同类项化简：
原式$=x^2 -x -6 -2x^2 +x -4=-x^2 -10$；
最后将$x=1$代入化简后的式子计算：
当$x=1$时，原式$=-1^2 -10=-1 -10=-11$。
$(x+2)(x-3)=x^2 -3x +2x -6=x^2 -x -6$，$x(2x-1)=2x^2 -x$；
再代入原式去括号、合并同类项化简：
原式$=x^2 -x -6 -2x^2 +x -4=-x^2 -10$；
最后将$x=1$代入化简后的式子计算：
当$x=1$时，原式$=-1^2 -10=-1 -10=-11$。
8. 解方程：
$(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)-1.$
$(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)-1.$
答案
$x=1$
解析
先展开方程两边的多项式：
左边：$(3x-2)(2x-3)=6x^2 -9x -4x +6=6x^2 -13x +6$；
右边：$(6x+5)(x-1)-1=6x^2 -6x +5x -5 -1=6x^2 -x -6$；
将左右两边代入原方程得：$6x^2 -13x +6=6x^2 -x -6$；
移项合并同类项：$-13x +x = -6 -6$，即$-12x=-12$；
系数化为1：$x=1$。
左边：$(3x-2)(2x-3)=6x^2 -9x -4x +6=6x^2 -13x +6$；
右边：$(6x+5)(x-1)-1=6x^2 -6x +5x -5 -1=6x^2 -x -6$；
将左右两边代入原方程得：$6x^2 -13x +6=6x^2 -x -6$；
移项合并同类项：$-13x +x = -6 -6$，即$-12x=-12$；
系数化为1：$x=1$。
9. 若$(2x-1)(4x+a)$的结果中不含$x$的一次项,则实数$a$的值为________。
答案
2
解析
先根据多项式乘多项式法则展开式子：$(2x-1)(4x+a)=8x^2 + 2ax -4x -a=8x^2 + (2a -4)x -a$。因为结果中不含$x$的一次项，所以一次项的系数为0，即$2a -4=0$，解得$a=2$。
10. (1) 已知$ m + n = mn $，则$ (m - 1)(n - 1) $的值为________；
(2) 已知$ x^2 + 3x + 1 = 0 $，则代数式$ (x - 1)(x + 4) $的值为________。
(2) 已知$ x^2 + 3x + 1 = 0 $，则代数式$ (x - 1)(x + 4) $的值为________。
答案
（1）1；（2）-5
解析
（1）先将$(m-1)(n-1)$展开，根据多项式乘多项式法则得：$mn - m - n + 1$。已知$m + n = mn$，将$mn$替换为$m + n$，代入得：$(m + n) - (m + n) + 1 = 1$；（2）先将$(x - 1)(x + 4)$展开，根据多项式乘多项式法则得：$x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$。已知$x^2 + 3x + 1 = 0$，移项得$x^2 + 3x = -1$，代入上式得：$-1 - 4 = -5$。
11. 如图,在某住房小区的建设中,为了改善业主的宜居环境,小区准备在一个长为
$(4a+3b)\mathrm{m}$、宽为$(2a+3b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的通道.
（1）剩余草坪的面积是多少？
（2）当$a=3,b=3$时,求剩余草坪的面积.
$(4a+3b)\mathrm{m}$、宽为$(2a+3b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的通道.
（1）剩余草坪的面积是多少？
（2）当$a=3,b=3$时,求剩余草坪的面积.
答案
（1）$(8a^2 + 12ab + 4b^2)\ \mathrm{m}^2$；（2）$216\ \mathrm{m}^2$
解析
（1）把剩余的草坪向中间平移，可拼接成一个新的长方形，新长方形的长为$(4a + 3b - b) = (4a + 2b)\ \mathrm{m}$，宽为$(2a + 3b - b) = (2a + 2b)\ \mathrm{m}$。根据长方形面积公式，剩余草坪面积为：$(4a + 2b)(2a + 2b) = 8a^2 + 8ab + 4ab + 4b^2 = (8a^2 + 12ab + 4b^2)\ \mathrm{m}^2$。
（2）将$a = 3$，$b = 3$代入（1）中的代数式：$8×3^2 + 12×3×3 + 4×3^2 = 8×9 + 108 + 4×9 = 72 + 108 + 36 = 216\ (\mathrm{m}^2)$。
（2）将$a = 3$，$b = 3$代入（1）中的代数式：$8×3^2 + 12×3×3 + 4×3^2 = 8×9 + 108 + 4×9 = 72 + 108 + 36 = 216\ (\mathrm{m}^2)$。
