1. 一列按规律排列的数：$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{5},\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5},\dots,$则第 100 个数是。

1. $\dfrac{9}{15}$ 解析:因为 14×13÷2=91,100-91=9,所以第 100 个数的分母为 14+1=15,分子为 9,故第 100 个数是$\dfrac{9}{15}$.

2. 若将被3除余数为1的正整数按如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是.

2. 625 解析:由题图可得,第 1 行有 1 个数,第 2 行有 2 个数,第 3 行有 3 个数,……,则前 20 行共有 1+2+3+…+19+20=210(个)数,所以第 20 行第 20 个数是 1+3×(210-1)=628,所以第 20 行第 19 个数是 628-3=625.

3. 如图是一根起点为1的数轴，现将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第5个数是.

3. 145 解析:观察数字的变化可知,第 1 个数是 1,第 2 个数是 1+3×4=13,第 3 个数是 1+5×8=41,第 4 个数是 1+7×12=85,第 5 个数是 1+9×16=145.

4. 已知 $2+\dfrac{2}{3}=2^{2}×\dfrac{2}{3},3+\dfrac{3}{8}=3^{2}×\dfrac{3}{8},4+\dfrac{4}{15}=4^{2}×\dfrac{4}{15},···,$ 若 $10+\dfrac{a}{b}=10^{2}×\dfrac{a}{b}$（$a$、$b$ 为正整数），则 $a=$ ,$b=$ .

4. 10 99 解析:由题意可知,$a=10,b=a^2-1=10^2-1=99$.

5. 观察下列等式：$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},2-\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{5},3-\dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{10},4-\dfrac{4}{17}=\dfrac{64}{17},\dots,$ 根据你发现的规律，请写出第$n$个等式：.

5. $n-\dfrac{n}{n^2+1}=\dfrac{n^3}{n^2+1}$

6. 观察下列等式：$1^{2}=\dfrac{1× 2× 3}{6},1^{2}+2^{2}=\dfrac{2× 3× 5}{6},1^{2}+2^{2}+3^{2}=\dfrac{3× 4× 7}{6},1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\dfrac{4× 5× 9}{6},\dots,$ 请用字母 $n$ 表示数，将你发现的一般规律用等式表示出来：
.

6. $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

7. 观察下列等式：$1^{3}=1^{2},1^{3}+2^{3}=3^{2},1^{3}+2^{3}+3^{3}=6^{2},1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=10^{2},...,$ 根据等式左边各项幂的底数与等式右边幂的底数的关系，写出第$n$个等式：。

7. $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$ 解析:通过观察给出的等式,可知左边各项幂的底数之和等于等式右边幂的底数,所以第 $n$ 个等式为$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$.

8. 观察下列图形变化的规律,我们发现每一个图形都分为上、下两层,下层都是由黑色正方形构成的,且下层黑色正方形的数量与图形的编号相同,上层都是由黑色正方形和白色正方形构成的(第1个图形除外),则在第2027个图形中,上层黑色正方形的数量是 （）


A.1011 个
B.1012 个
C.1013 个
D.1014 个

8. D 解析:根据图形变化规律可知,第 1 个图形中黑色正方形的数量为 2 个,则上层黑色正方形的数量为 2-1=1(个);第 2 个图形中黑色正方形的数量为 3 个,则上层黑色正方形的数量为 3-2=1(个);第 3 个图形中黑色正方形的数量为 5 个,则上层黑色正方形的数量为 5-3=2(个);第 4 个图形中黑色正方形的数量为 6 个,则上层黑色正方形的数量为 6-4=2(个);…;当 $n$ 为奇数时,黑色正方形的数量为 $[3×\dfrac{1}{2}(n+1)-1]$ 个,则上层黑色正方形的数量为 $3×\dfrac{1}{2}(n+1)-1-n=\dfrac{1}{2}(n+1)$(个);当 $n$ 为偶数时,黑色正方形的数量为 $(3×\dfrac{1}{2}n)$ 个,则上层黑色正方形的数量为 $3×\dfrac{1}{2}n-n=\dfrac{1}{2}n$(个),所以第 2 027 个图形中,上层黑色正方形的数量是 $\dfrac{1}{2}×(2\ 027+1)=1\ 014$(个).