登录
1. 某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛,他们成绩的平均数和方差如下：
$\overline{x}_甲=\overline{x}_丁=5.75,\overline{x}_乙=\overline{x}_丙=6.15,s^2_甲=s^2_丙=0.02,s^2_乙=s^2_丁=0.45,$则应选择的运动员是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
$\overline{x}_甲=\overline{x}_丁=5.75,\overline{x}_乙=\overline{x}_丙=6.15,s^2_甲=s^2_丙=0.02,s^2_乙=s^2_丁=0.45,$则应选择的运动员是（
C
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C
解析
【分析】
要选取成绩优异且发挥稳定的运动员，需明确两个判断依据：①成绩优异看平均数，平均数越大，成绩越好；②发挥稳定看方差，方差越小，成绩波动越小、越稳定。先通过平均数筛选出成绩优异的运动员，再在其中通过方差选出发挥稳定的，即可确定最终人选。
【解析】
1. 比较平均数：甲、丁的平均数为5.75，乙、丙的平均数为6.15，由于6.15＞5.75，因此乙和丙的成绩更优异，排除甲、丁。
2. 比较方差：乙的方差为0.45，丙的方差为0.02，由于0.02＜0.45，因此丙的成绩更稳定。
综上，应选择丙运动员。
【答案】
C
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际问题中的应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映稳定性的意义，属于基础题型，侧重对概念的基础运用。
【难度系数】
0.8
要选取成绩优异且发挥稳定的运动员，需明确两个判断依据：①成绩优异看平均数，平均数越大，成绩越好；②发挥稳定看方差，方差越小，成绩波动越小、越稳定。先通过平均数筛选出成绩优异的运动员，再在其中通过方差选出发挥稳定的，即可确定最终人选。
【解析】
1. 比较平均数：甲、丁的平均数为5.75，乙、丙的平均数为6.15，由于6.15＞5.75，因此乙和丙的成绩更优异，排除甲、丁。
2. 比较方差：乙的方差为0.45，丙的方差为0.02，由于0.02＜0.45，因此丙的成绩更稳定。
综上，应选择丙运动员。
【答案】
C
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际问题中的应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映稳定性的意义，属于基础题型，侧重对概念的基础运用。
【难度系数】
0.8
2. 已知一组数据 3 ,$a$ ,4 ,6 ,7 的平均数是 5 ,那么这组数据的方差是（
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{10}$
D.10
B
）A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{10}$
D.10
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据平均数的定义求出未知数据$a$的值，再利用方差的计算公式计算该组数据的方差，最后对比选项得出答案。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，已知数据$3,a,4,6,7$的平均数为$5$，数据个数$n=5$，则：
$\frac{3+a+4+6+7}{5}=5$
计算分子：$3+4+6+7=20$，因此$\frac{20+a}{5}=5$，解得$a=5×5 -20=5$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据$3,5,4,6,7$和平均数$\bar{x}=5$：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(3-5)^2+(5-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2+0^2+(-1)^2+1^2+2^2]\\&=\frac{1}{5}[4+0+1+1+4]\\&=\frac{10}{5}=2\end{aligned}$
因此方差为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、方差计算
【点评】
本题是统计板块的基础计算题，核心考查平均数和方差的公式应用，步骤明确，只要牢记公式即可顺利解答，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先根据平均数的定义求出未知数据$a$的值，再利用方差的计算公式计算该组数据的方差，最后对比选项得出答案。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，已知数据$3,a,4,6,7$的平均数为$5$，数据个数$n=5$，则：
$\frac{3+a+4+6+7}{5}=5$
计算分子：$3+4+6+7=20$，因此$\frac{20+a}{5}=5$，解得$a=5×5 -20=5$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据$3,5,4,6,7$和平均数$\bar{x}=5$：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(3-5)^2+(5-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2+0^2+(-1)^2+1^2+2^2]\\&=\frac{1}{5}[4+0+1+1+4]\\&=\frac{10}{5}=2\end{aligned}$
因此方差为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、方差计算
【点评】
本题是统计板块的基础计算题，核心考查平均数和方差的公式应用，步骤明确，只要牢记公式即可顺利解答，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
3. 某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是:180,184,188,190,192,194.现用一名身高为188 cm的队员换下场上身高为194 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高（
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
A
）A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
答案
A
解析
【分析】要判断换队员前后身高的平均数和方差变化，需分别计算换人前、换后的平均数与方差，再对比结果。先通过总和除以人数计算平均数，再利用方差公式计算方差，最后根据两者的变化确定选项。
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
换人前6名队员身高总和为：$180 + 184 + 188 + 190 + 192 + 194 = 1128$（cm），
换人前的平均数：$\bar{x}_前 = \frac{1128}{6} = 188$（cm）。
2. 计算换后的平均数：
换后队员身高总和为：$1128 - 194 + 188 = 1122$（cm），
换后的平均数：$\bar{x}_后 = \frac{1122}{6} = 187$（cm），
因此平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，
换人前的方差：
$s^2_前 = \frac{1}{6}[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}[64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36] = \frac{136}{6}$。
4. 计算换后的方差：
换后的方差：
$s^2_后 = \frac{1}{6}[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (192-187)^2]$
$= \frac{1}{6}[49 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25] = \frac{94}{6}$，
因此方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】A
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查统计中平均数与方差的基础计算，只需掌握公式即可解答，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
换人前6名队员身高总和为：$180 + 184 + 188 + 190 + 192 + 194 = 1128$（cm），
换人前的平均数：$\bar{x}_前 = \frac{1128}{6} = 188$（cm）。
2. 计算换后的平均数：
换后队员身高总和为：$1128 - 194 + 188 = 1122$（cm），
换后的平均数：$\bar{x}_后 = \frac{1122}{6} = 187$（cm），
因此平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，
换人前的方差：
$s^2_前 = \frac{1}{6}[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}[64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36] = \frac{136}{6}$。
4. 计算换后的方差：
换后的方差：
$s^2_后 = \frac{1}{6}[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (192-187)^2]$
$= \frac{1}{6}[49 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25] = \frac{94}{6}$，
因此方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】A
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查统计中平均数与方差的基础计算，只需掌握公式即可解答，属于基础题型。
【难度系数】0.7
4. 八年级(1)班的学生升九年级时,下列有关
年龄的统计量不变的是
（
A.平均年龄
B.年龄的方差
C.年龄的众数
D.年龄的中位数
年龄的统计量不变的是
（
B
）A.平均年龄
B.年龄的方差
C.年龄的众数
D.年龄的中位数
答案
B
解析
【分析】
本题需先明确：八年级升九年级时，每个学生的年龄均增加1岁。再结合平均数、方差、众数、中位数的定义，逐一分析各选项中统计量的变化情况，即可得出答案。
【解析】
八年级学生升九年级时，所有学生的年龄都增加1岁，据此分析各统计量：
1. 平均年龄：平均年龄等于总年龄除以学生数，总年龄增加了学生总数×1，因此平均年龄增加1，故A选项错误；
2. 方差：方差反映数据的波动程度，公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。当每个数据增加1时，对应的平均数也增加1，数据与平均数的差值不变，因此方差不变，故B选项正确；
3. 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，原众数增加1，因此众数发生改变，故C选项错误；
4. 中位数：中位数是将数据排序后中间位置的数，原中位数增加1，因此中位数发生改变，故D选项错误。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
平均数、方差、统计量性质
【点评】
本题考查统计量的基本性质，核心规律是：一组数据同时加上一个常数时，平均数、众数、中位数均增加该常数，方差不变。题目难度较低，属于基础题，需熟练掌握各统计量的定义与变化规律。
【难度系数】
0.5
本题需先明确：八年级升九年级时，每个学生的年龄均增加1岁。再结合平均数、方差、众数、中位数的定义，逐一分析各选项中统计量的变化情况，即可得出答案。
【解析】
八年级学生升九年级时，所有学生的年龄都增加1岁，据此分析各统计量：
1. 平均年龄：平均年龄等于总年龄除以学生数，总年龄增加了学生总数×1，因此平均年龄增加1，故A选项错误；
2. 方差：方差反映数据的波动程度，公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。当每个数据增加1时，对应的平均数也增加1，数据与平均数的差值不变，因此方差不变，故B选项正确；
3. 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，原众数增加1，因此众数发生改变，故C选项错误；
4. 中位数：中位数是将数据排序后中间位置的数，原中位数增加1，因此中位数发生改变，故D选项错误。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
平均数、方差、统计量性质
【点评】
本题考查统计量的基本性质，核心规律是：一组数据同时加上一个常数时，平均数、众数、中位数均增加该常数，方差不变。题目难度较低，属于基础题，需熟练掌握各统计量的定义与变化规律。
【难度系数】
0.5
5. 已知一组数据的离差平方和 $S^{2}=(x_{1}-\overline{x})^{2}+$ $(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+(x_{4}-\overline{x})^{2}=20$, 则这组数据的方差 $s^{2}$ 的值是
5
.答案
5
解析
【分析】
要解决这道题，需明确方差与离差平方和的关系：方差是离差平方和除以数据的个数。首先确定这组数据的个数，再代入公式计算即可。
【解析】
已知这组数据有4个（即$x_1,x_2,x_3,x_4$），离差平方和为20。根据方差公式：方差$s^2=\frac{离差平方和}{数据个数}$，代入得$s^2=\frac{20}{4}=5$。
【答案】
5
【知识点】
方差、离差平方和
【点评】
本题考查方差的基本概念，属于基础题型，只要掌握方差的计算公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需明确方差与离差平方和的关系：方差是离差平方和除以数据的个数。首先确定这组数据的个数，再代入公式计算即可。
【解析】
已知这组数据有4个（即$x_1,x_2,x_3,x_4$），离差平方和为20。根据方差公式：方差$s^2=\frac{离差平方和}{数据个数}$，代入得$s^2=\frac{20}{4}=5$。
【答案】
5
【知识点】
方差、离差平方和
【点评】
本题考查方差的基本概念，属于基础题型，只要掌握方差的计算公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20 m，方差是$s_1^2\ \mathrm{m}^2$。若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是$s_2^2\ \mathrm{m}^2$，则$s_1^2\_\_\_\_\_\_s_2^2$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
＞ 提示:由题意可得,前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同,均为20 m. 因为第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上,所以$s_2^2=\frac{9}{10}s_1^2$,所以$s_1^2＞s_2^2$.
解析
【分析】首先明确前9次成绩的平均数为20 m，第10次落点在20 m线上，因此第10次成绩为20 m，且10次成绩的平均数仍为20 m。接下来根据方差的定义，分别表示前9次和10次的方差，通过对比两者的表达式判断大小关系。
【解析】
1. 由题意，前9次成绩的平均数为20 m，第10次成绩为20 m，因此10次成绩的平均数仍为20 m。
2. 根据方差公式，前9次的方差：$ s_1^2 = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^9 (x_i - 20)^2 $，变形得$ \sum_{i=1}^9 (x_i - 20)^2 = 9s_1^2 $。
3. 第10次成绩为20，其与平均数的差为0，因此10次的方差：
$ s_2^2 = \frac{1}{10}[\sum_{i=1}^9 (x_i -20)^2 + (20 -20)^2] = \frac{1}{10}(9s_1^2 + 0) = \frac{9}{10}s_1^2 $。
4. 因为$ \frac{9}{10}s_1^2 ＜ s_1^2 $，所以$ s_1^2 ＞ s_2^2 $。
【答案】＞
【知识点】方差、平均数
【点评】本题考查方差的计算，核心是利用方差的定义，结合加入新数据后平均数不变的特点，对比前后方差的大小，属于基础题型，需熟练掌握方差公式。
【难度系数】0.3
【解析】
1. 由题意，前9次成绩的平均数为20 m，第10次成绩为20 m，因此10次成绩的平均数仍为20 m。
2. 根据方差公式，前9次的方差：$ s_1^2 = \frac{1}{9}\sum_{i=1}^9 (x_i - 20)^2 $，变形得$ \sum_{i=1}^9 (x_i - 20)^2 = 9s_1^2 $。
3. 第10次成绩为20，其与平均数的差为0，因此10次的方差：
$ s_2^2 = \frac{1}{10}[\sum_{i=1}^9 (x_i -20)^2 + (20 -20)^2] = \frac{1}{10}(9s_1^2 + 0) = \frac{9}{10}s_1^2 $。
4. 因为$ \frac{9}{10}s_1^2 ＜ s_1^2 $，所以$ s_1^2 ＞ s_2^2 $。
【答案】＞
【知识点】方差、平均数
【点评】本题考查方差的计算，核心是利用方差的定义，结合加入新数据后平均数不变的特点，对比前后方差的大小，属于基础题型，需熟练掌握方差公式。
【难度系数】0.3
7. (2025 常州市中考)甲、乙两人在相同条件下 10 次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析,绘制成下表：
(1) 填空: $\overline{x_{甲}}=$
(2) 根据以上数据,评价甲、乙两人射击成绩的稳定性,并说明理由.
对以上数据进行分析,绘制成下表：
(1) 填空: $\overline{x_{甲}}=$
7
,$m=$6
,$n=$7
.(2) 根据以上数据,评价甲、乙两人射击成绩的稳定性,并说明理由.
答案
(1) 7 6 7
(2) 甲的射击成绩比较稳定,理由如下:
样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩比较稳定.
(2) 甲的射击成绩比较稳定,理由如下:
样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩比较稳定.
解析
【分析】
要解决本题，需明确各统计量的定义与意义：平均数是数据总和除以数据个数；中位数是排序后偶数个数据的中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数据；方差反映数据波动，方差越小成绩越稳定。第(1)问分别计算甲的平均数、乙的中位数和众数；第(2)问利用方差的意义评价稳定性。
【解析】
(1) 甲的平均数：$\overline{x_{甲}} = \frac{1}{10} × (甲10次射击成绩总和) = 7$；
乙的10次射击成绩排序后，第5、6个数据均为6，故中位数$m = \frac{6+6}{2} = 6$；
乙的成绩中7出现次数最多，故众数$n =7$；
(2) 评价稳定性需比较方差：甲的射击成绩方差小于乙的，方差越小数据波动越小，因此甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1) 7，6，7；(2) 甲的射击成绩比较稳定，理由：甲的射击成绩的方差较小，成绩波动小，更稳定。
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计基本量的计算与应用，为中考基础题型，需熟练掌握各统计量的定义及意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需明确各统计量的定义与意义：平均数是数据总和除以数据个数；中位数是排序后偶数个数据的中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数据；方差反映数据波动，方差越小成绩越稳定。第(1)问分别计算甲的平均数、乙的中位数和众数；第(2)问利用方差的意义评价稳定性。
【解析】
(1) 甲的平均数：$\overline{x_{甲}} = \frac{1}{10} × (甲10次射击成绩总和) = 7$；
乙的10次射击成绩排序后，第5、6个数据均为6，故中位数$m = \frac{6+6}{2} = 6$；
乙的成绩中7出现次数最多，故众数$n =7$；
(2) 评价稳定性需比较方差：甲的射击成绩方差小于乙的，方差越小数据波动越小，因此甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1) 7，6，7；(2) 甲的射击成绩比较稳定，理由：甲的射击成绩的方差较小，成绩波动小，更稳定。
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计基本量的计算与应用，为中考基础题型，需熟练掌握各统计量的定义及意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
