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六、解决问题。
1. 甲、乙两个组同一时间内制造同一种机器。甲组10人制造了3台机器，乙组15人制造了4台机器。哪个组的工作效率高？
1. 甲、乙两个组同一时间内制造同一种机器。甲组10人制造了3台机器，乙组15人制造了4台机器。哪个组的工作效率高？
答案
1. 甲组的工作效率高。
解析
【分析】
要判断哪个组的工作效率更高，由于两组人数不同，不能直接比较制造的机器总台数，需要先分别计算出两组平均每人制造的机器数量（即人均工作效率），人均制造的机器数量越多，说明工作效率越高。计算人均工作效率用各组制造的机器总数除以各组人数，得到两个分数后，通过通分转化为同分母分数再比较大小即可。
【解析】
首先计算甲组的人均工作效率：
甲组10人制造3台，人均效率为 $3÷10=\frac{3}{10}$（台）
再计算乙组的人均工作效率：
乙组15人制造4台，人均效率为 $4÷15=\frac{4}{15}$（台）
接下来比较两个分数的大小，先找分母10和15的最小公倍数是30，通分：
$\frac{3}{10}=\frac{3×3}{10×3}=\frac{9}{30}$
$\frac{4}{15}=\frac{4×2}{15×2}=\frac{8}{30}$
因为 $\frac{9}{30}＞\frac{8}{30}$，所以 $\frac{3}{10}＞\frac{4}{15}$，即甲组的人均工作效率更高。
【答案】
甲组的工作效率高。
【知识点】
工作效率计算、分数与除法的关系、异分母分数比较大小
【点评】
本题是工作效率相关的实际应用问题，解题核心是明确需对比人均工作量而非总工作量，结合分数计算和大小比较的知识就能顺利解决，计算时注意通分步骤不要出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个组的工作效率更高，由于两组人数不同，不能直接比较制造的机器总台数，需要先分别计算出两组平均每人制造的机器数量（即人均工作效率），人均制造的机器数量越多，说明工作效率越高。计算人均工作效率用各组制造的机器总数除以各组人数，得到两个分数后，通过通分转化为同分母分数再比较大小即可。
【解析】
首先计算甲组的人均工作效率：
甲组10人制造3台，人均效率为 $3÷10=\frac{3}{10}$（台）
再计算乙组的人均工作效率：
乙组15人制造4台，人均效率为 $4÷15=\frac{4}{15}$（台）
接下来比较两个分数的大小，先找分母10和15的最小公倍数是30，通分：
$\frac{3}{10}=\frac{3×3}{10×3}=\frac{9}{30}$
$\frac{4}{15}=\frac{4×2}{15×2}=\frac{8}{30}$
因为 $\frac{9}{30}＞\frac{8}{30}$，所以 $\frac{3}{10}＞\frac{4}{15}$，即甲组的人均工作效率更高。
【答案】
甲组的工作效率高。
【知识点】
工作效率计算、分数与除法的关系、异分母分数比较大小
【点评】
本题是工作效率相关的实际应用问题，解题核心是明确需对比人均工作量而非总工作量，结合分数计算和大小比较的知识就能顺利解决，计算时注意通分步骤不要出错。
【难度系数】
0.8
2.一个长方体的抽纸盒(如下图所示),在它的上面有一个长方形小洞,这个抽纸盒的表面积是多少平方厘米？
答案
2. 1114 cm²
解析
【分析】
要求带小洞的抽纸盒的表面积，首先计算无破损的完整长方体的表面积，再减去上面小洞占的面积即可。首先明确长方体的长为24cm、宽为13cm、高为7cm，小洞是长14cm、宽2cm的长方形，按照这个思路分步计算即可。
【解析】
步骤1：计算完整长方体的表面积，长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高。
代入数值：
$(24×13 + 24×7 + 13×7)×2$
$=(312 + 168 + 91)×2$
$=571×2$
$=1142$（平方厘米）
步骤2：计算小洞的面积，长方形面积公式为$S=长×宽$
代入数值：
$14×2=28$（平方厘米）
步骤3：抽纸盒的表面积=完整长方体表面积-小洞面积
$1142 - 28 = 1114$（平方厘米）
【答案】
$1114\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
长方体表面积计算；长方形面积计算；实际物体表面积求解
【点评】
本题结合生活中的抽纸盒场景考查表面积计算，解题时要注意物体有破损的情况，需要减去破损部分对应的面积，不要直接照搬完整立体图形的表面积公式。
【难度系数】
0.7
要求带小洞的抽纸盒的表面积，首先计算无破损的完整长方体的表面积，再减去上面小洞占的面积即可。首先明确长方体的长为24cm、宽为13cm、高为7cm，小洞是长14cm、宽2cm的长方形，按照这个思路分步计算即可。
【解析】
步骤1：计算完整长方体的表面积，长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高。
代入数值：
$(24×13 + 24×7 + 13×7)×2$
$=(312 + 168 + 91)×2$
$=571×2$
$=1142$（平方厘米）
步骤2：计算小洞的面积，长方形面积公式为$S=长×宽$
代入数值：
$14×2=28$（平方厘米）
步骤3：抽纸盒的表面积=完整长方体表面积-小洞面积
$1142 - 28 = 1114$（平方厘米）
【答案】
$1114\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
长方体表面积计算；长方形面积计算；实际物体表面积求解
【点评】
本题结合生活中的抽纸盒场景考查表面积计算，解题时要注意物体有破损的情况，需要减去破损部分对应的面积，不要直接照搬完整立体图形的表面积公式。
【难度系数】
0.7
3.五(1)班的李江同学调查了本班同学在母亲节送妈妈礼物的情况，得知送妈妈鲜花的同学占全班的$\frac{4}{5}$，比送贺卡的同学多占全班的$\frac{3}{4}$。送妈妈鲜花和贺卡的同学一共占全班的几分之几？
答案
3. $\frac{17}{20}$
解析
【分析】
要计算送鲜花和贺卡的同学一共占全班的几分之几，首先需要明确已知条件：送鲜花的占全班的$\frac{4}{5}$，且送鲜花的比送贺卡的多占全班的$\frac{3}{4}$。第一步要先求出送贺卡的同学占全班的分率，因为送鲜花的占比 = 送贺卡的占比 + $\frac{3}{4}$，所以送贺卡的占比 = 送鲜花的占比 - $\frac{3}{4}$；第二步再把送鲜花和送贺卡的占比相加，就能得到总共的占比，计算异分母分数加减法时要先通分再计算。
【解析】
1. 先求送贺卡的同学占全班的分率：
$\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{1}{20}$
2. 再求送鲜花和贺卡的同学一共占全班的分率：
$\frac{4}{5} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} + \frac{1}{20} = \frac{17}{20}$
【答案】
$\frac{17}{20}$
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数实际应用
【点评】
本题属于基础的分数加减应用题，解题的核心是找准数量关系，先求出未知的送贺卡的同学对应的分率，再求和，计算异分母分数加减时注意先统一分母后再运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
要计算送鲜花和贺卡的同学一共占全班的几分之几，首先需要明确已知条件：送鲜花的占全班的$\frac{4}{5}$，且送鲜花的比送贺卡的多占全班的$\frac{3}{4}$。第一步要先求出送贺卡的同学占全班的分率，因为送鲜花的占比 = 送贺卡的占比 + $\frac{3}{4}$，所以送贺卡的占比 = 送鲜花的占比 - $\frac{3}{4}$；第二步再把送鲜花和送贺卡的占比相加，就能得到总共的占比，计算异分母分数加减法时要先通分再计算。
【解析】
1. 先求送贺卡的同学占全班的分率：
$\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{1}{20}$
2. 再求送鲜花和贺卡的同学一共占全班的分率：
$\frac{4}{5} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} + \frac{1}{20} = \frac{17}{20}$
【答案】
$\frac{17}{20}$
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数实际应用
【点评】
本题属于基础的分数加减应用题，解题的核心是找准数量关系，先求出未知的送贺卡的同学对应的分率，再求和，计算异分母分数加减时注意先统一分母后再运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
4.一个长方体的体积是990立方厘米,有趣的是这个长方体的长、宽、高分别相差1厘米。你知道这个长方体的长、宽、高分别是多少吗？
答案
4. 长11厘米,宽10厘米,高9厘米。
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高。已知体积是990立方厘米，且长、宽、高是依次相差1厘米的三个连续自然数，因此我们可以先把990分解质因数，再将分解得到的质因数重新组合，凑出三个连续的自然数，就能得到对应的长、宽、高，注意长度中数值最大的为长，其次为宽，最小的为高。
【解析】
1. 根据长方体体积公式可得：长×宽×高=990立方厘米，且长、宽、高是三个连续自然数。
2. 对990分解质因数：
$990=2×3×3×5×11$
3. 把质因数组合成三个连续的自然数：
观察质因数中11是质数，无法拆分，和11相邻的自然数是10和9，其中$10=2×5$，$9=3×3$，刚好对应所有质因数。
4. 验证乘积：$9×10×11=990$，符合体积要求，按照长度大小排序，可得长11厘米，宽10厘米，高9厘米。
【答案】
长11厘米,宽10厘米,高9厘米。
【知识点】
长方体体积计算；分解质因数
【点评】
本题将长方体体积公式与分解质因数的知识点相结合，解题核心是抓住“长、宽、高依次相差1厘米”的特点，通过分解质因数凑出连续自然数即可，能有效锻炼学生的数感和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高。已知体积是990立方厘米，且长、宽、高是依次相差1厘米的三个连续自然数，因此我们可以先把990分解质因数，再将分解得到的质因数重新组合，凑出三个连续的自然数，就能得到对应的长、宽、高，注意长度中数值最大的为长，其次为宽，最小的为高。
【解析】
1. 根据长方体体积公式可得：长×宽×高=990立方厘米，且长、宽、高是三个连续自然数。
2. 对990分解质因数：
$990=2×3×3×5×11$
3. 把质因数组合成三个连续的自然数：
观察质因数中11是质数，无法拆分，和11相邻的自然数是10和9，其中$10=2×5$，$9=3×3$，刚好对应所有质因数。
4. 验证乘积：$9×10×11=990$，符合体积要求，按照长度大小排序，可得长11厘米，宽10厘米，高9厘米。
【答案】
长11厘米,宽10厘米,高9厘米。
【知识点】
长方体体积计算；分解质因数
【点评】
本题将长方体体积公式与分解质因数的知识点相结合，解题核心是抓住“长、宽、高依次相差1厘米”的特点，通过分解质因数凑出连续自然数即可，能有效锻炼学生的数感和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
