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三、解答题
经实验,一个物体从高处自由下落时,下落距离h（m）和下落时间t（s）可以用公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$来估计。
(1)一个物体从125 m高的塔顶自由下落,落到地面需要几秒?
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2 s,问物体下落前离地面高多少米?
经实验,一个物体从高处自由下落时,下落距离h（m）和下落时间t（s）可以用公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$来估计。
(1)一个物体从125 m高的塔顶自由下落,落到地面需要几秒?
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2 s,问物体下落前离地面高多少米?
答案
(1)5 s
(2)20 m
(2)20 m
解析
【分析】
本题为公式应用类题型，解题思路清晰：(1)第1小问已知下落高度h，直接将h的数值代入给定公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到下落时间；(2)第2小问已知下落时间t，将t代入公式后，利用等式两边同时平方去掉根号，再变形求解即可得到下落高度，计算时注意结果取符合实际意义的正值。
【解析】
(1) 由题意可知下落高度$h=125\mathrm{m}$，将$h=125$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25} = 5(\mathrm{s})$
(2) 由题意可知下落时间$t=2\mathrm{s}$，将$t=2$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$2 = \sqrt{\frac{h}{5}}$
等式两边同时平方得：$4 = \frac{h}{5}$
解得：$h = 4×5 = 20(\mathrm{m})$
【答案】
(1)5 s
(2)20 m
【知识点】
代数式求值；二次根式计算；等式变形
【点评】
本题是数学公式在实际场景中的基础应用，侧重考查对公式的灵活运用能力，计算时注意运算顺序，平方去根号后要验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题为公式应用类题型，解题思路清晰：(1)第1小问已知下落高度h，直接将h的数值代入给定公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到下落时间；(2)第2小问已知下落时间t，将t代入公式后，利用等式两边同时平方去掉根号，再变形求解即可得到下落高度，计算时注意结果取符合实际意义的正值。
【解析】
(1) 由题意可知下落高度$h=125\mathrm{m}$，将$h=125$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25} = 5(\mathrm{s})$
(2) 由题意可知下落时间$t=2\mathrm{s}$，将$t=2$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$2 = \sqrt{\frac{h}{5}}$
等式两边同时平方得：$4 = \frac{h}{5}$
解得：$h = 4×5 = 20(\mathrm{m})$
【答案】
(1)5 s
(2)20 m
【知识点】
代数式求值；二次根式计算；等式变形
【点评】
本题是数学公式在实际场景中的基础应用，侧重考查对公式的灵活运用能力，计算时注意运算顺序，平方去根号后要验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
四、综合实践活动
先阅读下列材料，再解答问题。在进行代数式化简时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简。
示例1：$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{5}{3}\sqrt{3}$；
示例2：$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2 × (\sqrt{3} -1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1} = \sqrt{3} -1$。
这种化简的方法叫分母有理化。
(1)参照示例1化简$\frac{3}{\sqrt{5}} =$
(2)参照示例2化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} =$
(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$。
先阅读下列材料，再解答问题。在进行代数式化简时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简。
示例1：$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{5}{3}\sqrt{3}$；
示例2：$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2 × (\sqrt{3} -1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1} = \sqrt{3} -1$。
这种化简的方法叫分母有理化。
(1)参照示例1化简$\frac{3}{\sqrt{5}} =$
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
；(2)参照示例2化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} =$
$\sqrt{5} - \sqrt{3}$
；(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$。
答案
(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sqrt{5} - \sqrt{3}$
(3)$\frac{3\sqrt{11} - 1}{2}$
(2)$\sqrt{5} - \sqrt{3}$
(3)$\frac{3\sqrt{11} - 1}{2}$
解析
【分析】
本题围绕分母有理化的方法展开考查，解题思路如下：
(1) 第一问分母为单个二次根式，参照示例1的方法，给分子、分母同时乘分母中的二次根式，即可消去分母的根号完成化简；
(2) 第二问分母为两个二次根式的和，参照示例2的方法，利用平方差公式，给分子、分母同时乘分母的共轭根式（将加号变为减号得到的式子），消去分母的根号完成化简；
(3) 第三问是多个二次根式分式的和，先按照第二问的方法将每一项分母有理化，可发现每一项拆分后相邻项能相互抵消，用裂项相消的方法即可快速算出结果，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 给$\frac{3}{\sqrt{5}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{5}$：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2) 给$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3) 先对每一项进行分母有理化，可得规律：$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} = \frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$（$n$为正整数）
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}\\=&\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{99}-\sqrt{97})]\\=&\frac{1}{2}×(\sqrt{99}-1)\\=&\frac{1}{2}×(3\sqrt{11}-1)\\=&\frac{3\sqrt{11}-1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sqrt{5} - \sqrt{3}$
(3)$\frac{3\sqrt{11} - 1}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题重点考查二次根式的分母有理化技巧，以及裂项相消法在规律型运算中的应用，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，通过观察式子的共性找到简便运算的方法，避免逐一计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
本题围绕分母有理化的方法展开考查，解题思路如下：
(1) 第一问分母为单个二次根式，参照示例1的方法，给分子、分母同时乘分母中的二次根式，即可消去分母的根号完成化简；
(2) 第二问分母为两个二次根式的和，参照示例2的方法，利用平方差公式，给分子、分母同时乘分母的共轭根式（将加号变为减号得到的式子），消去分母的根号完成化简；
(3) 第三问是多个二次根式分式的和，先按照第二问的方法将每一项分母有理化，可发现每一项拆分后相邻项能相互抵消，用裂项相消的方法即可快速算出结果，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 给$\frac{3}{\sqrt{5}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{5}$：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2) 给$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$
(3) 先对每一项进行分母有理化，可得规律：$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} = \frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$（$n$为正整数）
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}\\=&\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{99}-\sqrt{97})]\\=&\frac{1}{2}×(\sqrt{99}-1)\\=&\frac{1}{2}×(3\sqrt{11}-1)\\=&\frac{3\sqrt{11}-1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sqrt{5} - \sqrt{3}$
(3)$\frac{3\sqrt{11} - 1}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题重点考查二次根式的分母有理化技巧，以及裂项相消法在规律型运算中的应用，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，通过观察式子的共性找到简便运算的方法，避免逐一计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
