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6. 工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在∠AOB处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为
12
.答案
12
解析
【分析】
解决本题的核心依据是平面镶嵌（密铺）的原理：拼接在同一顶点处的各多边形内角之和为$360°$。解题思路如下：首先利用多边形内角和公式算出正六边形的内角度数；再结合正方形的内角度数，求出$∠ AOB$的度数，也就是待选正多边形的一个内角度数；最后根据正多边形内角和公式列方程，计算出正多边形的边数即可。
【解析】
1. 计算正六边形的单个内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正六边形边数$n=6$，因此每个内角的度数为：
$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
2. 计算$∠ AOB$的度数：
正方形的每个内角为$90°$，由图可知，点$O$处正六边形的一个内角、正方形的一个内角与$∠ AOB$共同构成周角$360°$，因此：
$∠ AOB=360° - 120° - 90°=150°$
即所需正多边形的单个内角为$150°$。
3. 计算正多边形的边数：
设该正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
两边同乘$n$得：$180(n-2)=150n$
展开整理得：$30n=360$
解得：$n=12$
【答案】
12
【知识点】
平面镶嵌；多边形内角和；正多边形性质
【点评】
本题将几何公式与实际生活的铺地问题结合，考查学生对密铺原理和多边形内角和公式的运用能力，解题的关键是准确求出待选正多边形的内角度数，整体难度不高，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心依据是平面镶嵌（密铺）的原理：拼接在同一顶点处的各多边形内角之和为$360°$。解题思路如下：首先利用多边形内角和公式算出正六边形的内角度数；再结合正方形的内角度数，求出$∠ AOB$的度数，也就是待选正多边形的一个内角度数；最后根据正多边形内角和公式列方程，计算出正多边形的边数即可。
【解析】
1. 计算正六边形的单个内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正六边形边数$n=6$，因此每个内角的度数为：
$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
2. 计算$∠ AOB$的度数：
正方形的每个内角为$90°$，由图可知，点$O$处正六边形的一个内角、正方形的一个内角与$∠ AOB$共同构成周角$360°$，因此：
$∠ AOB=360° - 120° - 90°=150°$
即所需正多边形的单个内角为$150°$。
3. 计算正多边形的边数：
设该正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=150°$
两边同乘$n$得：$180(n-2)=150n$
展开整理得：$30n=360$
解得：$n=12$
【答案】
12
【知识点】
平面镶嵌；多边形内角和；正多边形性质
【点评】
本题将几何公式与实际生活的铺地问题结合，考查学生对密铺原理和多边形内角和公式的运用能力，解题的关键是准确求出待选正多边形的内角度数，整体难度不高，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为中线，$DE$和$DF$分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高，若$AB=6$，$AC=8$，$DF=3$，则$DE=$
（第7题）
4
。（第7题）答案
4
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。已知DE、DF分别是两个小三角形的高，两个小三角形的面积既可以用“等底同高的三角形面积相等”证明相等，也可以分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF表示面积，由此建立等式即可求解DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，故$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将AB=6，AC=8，DF=3代入得：
$6× DE=8×3$，
解得$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心是利用三角形中线平分面积的特点建立等量关系，结合面积公式即可快速求出未知线段长度，是三角形面积相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。已知DE、DF分别是两个小三角形的高，两个小三角形的面积既可以用“等底同高的三角形面积相等”证明相等，也可以分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF表示面积，由此建立等式即可求解DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，故$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将AB=6，AC=8，DF=3代入得：
$6× DE=8×3$，
解得$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类几何计算题，核心是利用三角形中线平分面积的特点建立等量关系，结合面积公式即可快速求出未知线段长度，是三角形面积相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
8. 如图①，用地砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部覆盖. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖. 任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板(如图②)，它们能铺满平面，依据是
三角形的内角和为180°
.答案
三角形的内角和为180°
解析
【分析】
要判断形状、大小相同的三角形能否铺满平面，首先要明确平面密铺的核心条件：围绕同一个拼接点的多个多边形内角之和必须等于360°（周角），这样才能做到不留空隙、不重叠。接下来结合三角形的性质分析：任意三角形的内角和为180°，在同一个拼接点处，我们可以将三角形的三个不同内角各放2个，总和恰好为180°×2=360°，满足密铺的要求，因此可得到对应的依据。
【解析】
平面密铺的要求是：同一拼接点处，各多边形的内角和为360°。
已知任意三角形的内角和为180°，因此在拼接点处放置2组三角形的三个内角，内角总和为180°×2=360°，刚好满足密铺的要求，能够实现不留空隙、不重叠地覆盖平面。
所以形状、大小相同的三角形能铺满平面的依据是三角形的内角和为180°。
【答案】
三角形的内角和为180°
【知识点】
三角形内角和；平面密铺
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景，考查平面密铺的条件和三角形内角和定理的应用，引导学生用数学知识解释生活中的常见现象，侧重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.7
要判断形状、大小相同的三角形能否铺满平面，首先要明确平面密铺的核心条件：围绕同一个拼接点的多个多边形内角之和必须等于360°（周角），这样才能做到不留空隙、不重叠。接下来结合三角形的性质分析：任意三角形的内角和为180°，在同一个拼接点处，我们可以将三角形的三个不同内角各放2个，总和恰好为180°×2=360°，满足密铺的要求，因此可得到对应的依据。
【解析】
平面密铺的要求是：同一拼接点处，各多边形的内角和为360°。
已知任意三角形的内角和为180°，因此在拼接点处放置2组三角形的三个内角，内角总和为180°×2=360°，刚好满足密铺的要求，能够实现不留空隙、不重叠地覆盖平面。
所以形状、大小相同的三角形能铺满平面的依据是三角形的内角和为180°。
【答案】
三角形的内角和为180°
【知识点】
三角形内角和；平面密铺
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景，考查平面密铺的条件和三角形内角和定理的应用，引导学生用数学知识解释生活中的常见现象，侧重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处.
嘉嘉认为此题∠A与∠BDF、∠CEF的关系为：∠BDF+∠CEF=2∠A；
淇淇认为此题∠A与∠BDF、∠CEF的关系为：∠BDF+∠CEF=∠A.
老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为∠A与∠BDF、∠CEF的关系是
嘉嘉认为此题∠A与∠BDF、∠CEF的关系为：∠BDF+∠CEF=2∠A；
淇淇认为此题∠A与∠BDF、∠CEF的关系为：∠BDF+∠CEF=∠A.
老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为∠A与∠BDF、∠CEF的关系是
∠BDF−∠CEF=2∠A
.答案
∠BDF−∠CEF=2∠A
解析
【分析】
遇到折叠类的角度关系问题，首先利用折叠的性质得到对应角相等，即∠ADE=∠FDE、∠AED=∠FED。接下来我们需要把待研究的∠BDF、∠CEF分别用∠ADE、∠AED表示，借助平角为180°的性质即可完成这一步。最后结合三角形内角和为180°，把∠ADE与∠AED的和用∠A表示，通过代数运算消去∠ADE、∠AED，就能得到∠A和∠BDF、∠CEF的关系。
【解析】
解：由折叠的性质可知：$∠ ADE=∠ FDE$，$∠ AED=∠ FED$。
1. 推导$∠ BDF$的表达式：
∵ 点A、D、B共线，$∠ ADB$为平角，
∴ $∠ BDF + ∠ ADE + ∠ FDE = 180°$，
代入$∠ FDE=∠ ADE$，得$∠ BDF + 2∠ ADE = 180°$，
整理得：$∠ BDF = 180° - 2∠ ADE$ ①。
2. 推导$∠ CEF$的表达式：
∵ 点A、E、C共线，$∠ AEC$为平角，
∴ $∠ AED + ∠ DEC = 180°$，即$∠ DEC = 180° - ∠ AED$，
又
∵ $∠ FED = ∠ DEC + ∠ CEF$，且$∠ FED=∠ AED$，
代入得：$∠ AED = (180° - ∠ AED) + ∠ CEF$，
整理得：$∠ CEF = 2∠ AED - 180°$ ②。
3. 推导三者关系：
在$△ ADE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ A + ∠ ADE + ∠ AED = 180°$，即$∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A$ ③。
用①减去②：
$\begin{aligned}∠ BDF - ∠ CEF&= (180° - 2∠ ADE) - (2∠ AED - 180°)\\&= 360° - 2(∠ ADE + ∠ AED)\end{aligned}$
将③代入上式：
$\begin{aligned}∠ BDF - ∠ CEF&= 360° - 2(180° - ∠ A)\\&= 2∠ A\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{∠ BDF - ∠ CEF = 2∠ A}$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于折叠类的角度探究题，核心是利用折叠的全等性质得到等角，再结合平角、三角形内角和的性质进行角的转化，解题时要注意观察图形中角的和差关系，避免将$∠ CEF$的表达式写错，导致最终的运算符号出错。
【难度系数】
0.4
遇到折叠类的角度关系问题，首先利用折叠的性质得到对应角相等，即∠ADE=∠FDE、∠AED=∠FED。接下来我们需要把待研究的∠BDF、∠CEF分别用∠ADE、∠AED表示，借助平角为180°的性质即可完成这一步。最后结合三角形内角和为180°，把∠ADE与∠AED的和用∠A表示，通过代数运算消去∠ADE、∠AED，就能得到∠A和∠BDF、∠CEF的关系。
【解析】
解：由折叠的性质可知：$∠ ADE=∠ FDE$，$∠ AED=∠ FED$。
1. 推导$∠ BDF$的表达式：
∵ 点A、D、B共线，$∠ ADB$为平角，
∴ $∠ BDF + ∠ ADE + ∠ FDE = 180°$，
代入$∠ FDE=∠ ADE$，得$∠ BDF + 2∠ ADE = 180°$，
整理得：$∠ BDF = 180° - 2∠ ADE$ ①。
2. 推导$∠ CEF$的表达式：
∵ 点A、E、C共线，$∠ AEC$为平角，
∴ $∠ AED + ∠ DEC = 180°$，即$∠ DEC = 180° - ∠ AED$，
又
∵ $∠ FED = ∠ DEC + ∠ CEF$，且$∠ FED=∠ AED$，
代入得：$∠ AED = (180° - ∠ AED) + ∠ CEF$，
整理得：$∠ CEF = 2∠ AED - 180°$ ②。
3. 推导三者关系：
在$△ ADE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ A + ∠ ADE + ∠ AED = 180°$，即$∠ ADE + ∠ AED = 180° - ∠ A$ ③。
用①减去②：
$\begin{aligned}∠ BDF - ∠ CEF&= (180° - 2∠ ADE) - (2∠ AED - 180°)\\&= 360° - 2(∠ ADE + ∠ AED)\end{aligned}$
将③代入上式：
$\begin{aligned}∠ BDF - ∠ CEF&= 360° - 2(180° - ∠ A)\\&= 2∠ A\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{∠ BDF - ∠ CEF = 2∠ A}$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于折叠类的角度探究题，核心是利用折叠的全等性质得到等角，再结合平角、三角形内角和的性质进行角的转化，解题时要注意观察图形中角的和差关系，避免将$∠ CEF$的表达式写错，导致最终的运算符号出错。
【难度系数】
0.4
10. 在$△ ABC$中，$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线交于点$O$，与$∠ ACB$相邻的外角的平分线所在直线与$∠ ABC$的平分线相交于点$D$，和与$∠ ABC$相邻的外角的平分线相交于点$E$，则下列结论一定正确的是________.（填序号）
①$∠ BOC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$；②$∠ D=\dfrac{1}{2}∠ A$；③$∠ E=∠ A$；④$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$.
①$∠ BOC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$；②$∠ D=\dfrac{1}{2}∠ A$；③$∠ E=∠ A$；④$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$.
答案
①②④
解析
【分析】
我们可以通过设参数表示各角的度数，结合三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质，逐个验证4个结论是否成立：首先设∠ABC=2β，∠ACB=2γ，结合三角形内角和可得∠A=180°-2β-2γ，再分别推导每个结论中角的表达式，对比判断正误即可。
【解析】
设∠ABC=2β，∠ACB=2γ，由三角形内角和定理得：∠A=180°-2β-2γ，即β+γ=$\frac{180°-∠A}{2}$。
1. 验证结论①：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=β，∠OCB=γ。
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-β-γ，
代入β+γ=$\frac{180°-∠A}{2}$，得∠BOC=180°-$\frac{180°-∠A}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$∠A，故①正确。
2. 验证结论②：
∵CD平分∠ACB的外角∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{∠A+2β}{2}$。
又
∵∠DCF是△DBC的外角，
∴∠DCF=∠D+∠DBC，且∠DBC=β，
∴∠D=∠DCF-∠DBC=$\frac{∠A+2β}{2}$-β=$\frac{1}{2}$∠A，故②正确。
3. 验证结论③：
∵BE平分∠ABC的邻补角，CE平分∠ACB的邻补角，
∴∠EBC=$\frac{180°-2β}{2}$=90°-β，∠ECB=$\frac{180°-2γ}{2}$=90°-γ。
在△BEC中，∠E=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(90°-β)-(90°-γ)=β+γ=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
仅当∠A=90°时∠E=∠A，不是恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
由前面推导得：∠E=β+γ，∠DCF=90°-γ，∠ABD=β，
左边∠E+∠DCF=β+γ+90°-γ=90°+β，右边=90°+∠ABD=90°+β，左右相等，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形角的关系综合题，通过设参数表示角的度数，能简化角的和差推导过程，降低出错概率，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和三角形内外角的转化关系。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设参数表示各角的度数，结合三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质，逐个验证4个结论是否成立：首先设∠ABC=2β，∠ACB=2γ，结合三角形内角和可得∠A=180°-2β-2γ，再分别推导每个结论中角的表达式，对比判断正误即可。
【解析】
设∠ABC=2β，∠ACB=2γ，由三角形内角和定理得：∠A=180°-2β-2γ，即β+γ=$\frac{180°-∠A}{2}$。
1. 验证结论①：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=β，∠OCB=γ。
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-β-γ，
代入β+γ=$\frac{180°-∠A}{2}$，得∠BOC=180°-$\frac{180°-∠A}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$∠A，故①正确。
2. 验证结论②：
∵CD平分∠ACB的外角∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{∠A+2β}{2}$。
又
∵∠DCF是△DBC的外角，
∴∠DCF=∠D+∠DBC，且∠DBC=β，
∴∠D=∠DCF-∠DBC=$\frac{∠A+2β}{2}$-β=$\frac{1}{2}$∠A，故②正确。
3. 验证结论③：
∵BE平分∠ABC的邻补角，CE平分∠ACB的邻补角，
∴∠EBC=$\frac{180°-2β}{2}$=90°-β，∠ECB=$\frac{180°-2γ}{2}$=90°-γ。
在△BEC中，∠E=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(90°-β)-(90°-γ)=β+γ=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
仅当∠A=90°时∠E=∠A，不是恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
由前面推导得：∠E=β+γ，∠DCF=90°-γ，∠ABD=β，
左边∠E+∠DCF=β+γ+90°-γ=90°+β，右边=90°+∠ABD=90°+β，左右相等，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形角的关系综合题，通过设参数表示角的度数，能简化角的和差推导过程，降低出错概率，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和三角形内外角的转化关系。
【难度系数】
0.6
