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三、解答题
11. 如图，将$△ ABD$经过逆时针旋转后到达$△ ACE$的位置.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
11. 如图，将$△ ABD$经过逆时针旋转后到达$△ ACE$的位置.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
答案
11. (1)旋转中心是点A.
(2)点M转到了AC的中点位置处.
(2)点M转到了AC的中点位置处.
解析
【分析】
(1) 要确定旋转中心，根据旋转的定义，旋转过程中固定不动的点就是旋转中心，观察旋转前后的△ABD和△ACE，找到位置不变的公共顶点即可。
(2) 旋转前后图形的对应边一一对应，AB是△ABD的边，旋转后的对应边是△ACE的边AC，因此AB上的点旋转后会对应到AC的对应位置，结合M是AB中点的条件，就能确定它旋转后的位置。
【解析】
(1) △ABD逆时针旋转得到△ACE的过程中，只有点A的位置始终没有发生变化，是旋转过程的固定点，因此旋转中心是点A。
(2) 根据旋转的性质，旋转前后图形的对应边完全对应，AB的对应边为AC。已知M是AB的中点，旋转后点M的对应点到点A的距离和AM相等，且落在对应边AC上，所以点M转到了AC的中点位置处。
【答案】
(1)旋转中心是点A.
(2)点M转到了AC的中点位置处.
【知识点】
旋转的定义，旋转的性质
【点评】
本题是基础类题目，核心考查旋转的基本概念和性质，解题的关键是准确识别旋转过程中的固定点、对应边以及对应点的对应关系。
【难度系数】
0.9
(1) 要确定旋转中心，根据旋转的定义，旋转过程中固定不动的点就是旋转中心，观察旋转前后的△ABD和△ACE，找到位置不变的公共顶点即可。
(2) 旋转前后图形的对应边一一对应，AB是△ABD的边，旋转后的对应边是△ACE的边AC，因此AB上的点旋转后会对应到AC的对应位置，结合M是AB中点的条件，就能确定它旋转后的位置。
【解析】
(1) △ABD逆时针旋转得到△ACE的过程中，只有点A的位置始终没有发生变化，是旋转过程的固定点，因此旋转中心是点A。
(2) 根据旋转的性质，旋转前后图形的对应边完全对应，AB的对应边为AC。已知M是AB的中点，旋转后点M的对应点到点A的距离和AM相等，且落在对应边AC上，所以点M转到了AC的中点位置处。
【答案】
(1)旋转中心是点A.
(2)点M转到了AC的中点位置处.
【知识点】
旋转的定义，旋转的性质
【点评】
本题是基础类题目，核心考查旋转的基本概念和性质，解题的关键是准确识别旋转过程中的固定点、对应边以及对应点的对应关系。
【难度系数】
0.9
12. 如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$. 若点$A$、$D$、$E$在同一条直线上，且$∠ ACB=20°$，求$∠ CAE$及$∠ B$的度数.
答案
12. $∠CAE=45°$，$∠B=115°$.
解析
【分析】
解决本题需先结合旋转的性质分析已知条件：首先旋转前后的两个三角形全等，对应边相等、对应角相等，本题旋转角为90°。第一步求∠CAE：由旋转可得AC=CE，且旋转角∠ACE=90°，可知△ACE是等腰直角三角形，即可求出底角∠CAE的度数。第二步求∠B：由全等可得∠DCE=∠ACB=20°，∠B=∠EDC，再结合三角形内角和为180°，在△EDC中求出∠EDC的度数，即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴△ABC≌△EDC，$AC=EC$，$∠ ACE=90°$，$∠ ACB=∠ ECD=20°$，$∠ B=∠ EDC$。
①求$∠ CAE$的度数：
∵$AC=EC$，$∠ ACE=90°$，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴$∠ CAE=∠ E=(180°-∠ ACE)÷2=(180°-90°)÷2=45°$。
②求$∠ B$的度数：
在△EDC中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ EDC=180°-∠ E-∠ ECD=180°-45°-20°=115°$，
又
∵$∠ B=∠ EDC$，
∴$∠ B=115°$。
【答案】
$∠ CAE=45°$，$∠ B=115°$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查旋转性质的基础应用，解题核心是抓住旋转前后图形全等的特点，结合等腰三角形、三角形内角和的相关知识点即可逐步推导出结果。
【难度系数】
0.75
解决本题需先结合旋转的性质分析已知条件：首先旋转前后的两个三角形全等，对应边相等、对应角相等，本题旋转角为90°。第一步求∠CAE：由旋转可得AC=CE，且旋转角∠ACE=90°，可知△ACE是等腰直角三角形，即可求出底角∠CAE的度数。第二步求∠B：由全等可得∠DCE=∠ACB=20°，∠B=∠EDC，再结合三角形内角和为180°，在△EDC中求出∠EDC的度数，即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴△ABC≌△EDC，$AC=EC$，$∠ ACE=90°$，$∠ ACB=∠ ECD=20°$，$∠ B=∠ EDC$。
①求$∠ CAE$的度数：
∵$AC=EC$，$∠ ACE=90°$，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴$∠ CAE=∠ E=(180°-∠ ACE)÷2=(180°-90°)÷2=45°$。
②求$∠ B$的度数：
在△EDC中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ EDC=180°-∠ E-∠ ECD=180°-45°-20°=115°$，
又
∵$∠ B=∠ EDC$，
∴$∠ B=115°$。
【答案】
$∠ CAE=45°$，$∠ B=115°$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查旋转性质的基础应用，解题核心是抓住旋转前后图形全等的特点，结合等腰三角形、三角形内角和的相关知识点即可逐步推导出结果。
【难度系数】
0.75
13. 如图，将图形A绕点O顺时针旋转$90°$得到图形B，再把图形B向右平移3格得到图形C. 画出图形B，C.
答案
解：
1. 旋转得到图形B：
标记图形A的3个关键点：点O、点A、点A正上方的顶点。将点A绕点O顺时针旋转90°得到对应点A₁，将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转90°得到对应点P₁，点O位置保持不变，顺次连接O、A₁、P₁，所得图形即为图形B。
2. 平移得到图形C：
将图形B的3个顶点O、A₁、P₁分别向右平移3格，得到对应点O₂、A₂、P₂，顺次连接O₂、A₂、P₂，所得图形即为图形C。
按上述步骤操作即可画出所求的图形B和图形C。
1. 旋转得到图形B：
标记图形A的3个关键点：点O、点A、点A正上方的顶点。将点A绕点O顺时针旋转90°得到对应点A₁，将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转90°得到对应点P₁，点O位置保持不变，顺次连接O、A₁、P₁，所得图形即为图形B。
2. 平移得到图形C：
将图形B的3个顶点O、A₁、P₁分别向右平移3格，得到对应点O₂、A₂、P₂，顺次连接O₂、A₂、P₂，所得图形即为图形C。
按上述步骤操作即可画出所求的图形B和图形C。
解析
【分析】
这是一道包含旋转、平移两步操作的图形变换作图题，解题核心思路是“先确定关键点，再变换关键点，最后连线成图”：① 旋转作图时，先明确旋转三要素：旋转中心为点O、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°，原图形是三角形，只需锁定它的3个顶点作为关键点，除旋转中心O位置不变外，另外两个顶点按旋转规则得到对应点，顺次连接对应点就能得到图形B；② 平移作图时，明确平移方向向右、平移距离为3格，将图形B的3个顶点分别按要求平移得到对应点，顺次连接即可得到图形C。
【解析】
步骤1：绘制旋转后的图形B
首先标记图形A的3个关键点：旋转中心O、点A、点A正上方的三角形顶点。
1. 旋转中心O旋转后位置保持不变；
2. 将点A绕点O顺时针旋转90°，得到对应点$A_1$；
3. 将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转90°，得到对应点$P_1$；
4. 顺次连接$O$、$A_1$、$P_1$，所得图形就是图形B。
步骤2：绘制平移后的图形C
1. 将图形B的3个顶点$O$、$A_1$、$P_1$分别向右平移3格，依次得到对应点$O_2$、$A_2$、$P_2$；
2. 顺次连接$O_2$、$A_2$、$P_2$，所得图形就是图形C。
【答案】
按上述步骤操作画出的图形B、C即为所求：
1. 旋转得到图形B：标记图形A的3个关键点：点O、点A、点A正上方的顶点。将点A绕点O顺时针旋转$90°$得到对应点$A_1$，将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转$90°$得到对应点$P_1$，点O位置保持不变，顺次连接$O$、$A_1$、$P_1$，所得图形即为图形B。
2. 平移得到图形C：将图形B的3个顶点$O$、$A_1$、$P_1$分别向右平移3格，得到对应点$O_2$、$A_2$、$P_2$，顺次连接$O_2$、$A_2$、$P_2$，所得图形即为图形C。
【知识点】
旋转作图，平移作图
【点评】
本题属于基础的图形变换类题型，重点考查对旋转、平移变换规则的掌握程度，解题时抓住图形的关键点进行变换再连线即可，作答时需注意不要搞错旋转的方向、角度和平移的方向、格数。
【难度系数】
0.8
这是一道包含旋转、平移两步操作的图形变换作图题，解题核心思路是“先确定关键点，再变换关键点，最后连线成图”：① 旋转作图时，先明确旋转三要素：旋转中心为点O、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°，原图形是三角形，只需锁定它的3个顶点作为关键点，除旋转中心O位置不变外，另外两个顶点按旋转规则得到对应点，顺次连接对应点就能得到图形B；② 平移作图时，明确平移方向向右、平移距离为3格，将图形B的3个顶点分别按要求平移得到对应点，顺次连接即可得到图形C。
【解析】
步骤1：绘制旋转后的图形B
首先标记图形A的3个关键点：旋转中心O、点A、点A正上方的三角形顶点。
1. 旋转中心O旋转后位置保持不变；
2. 将点A绕点O顺时针旋转90°，得到对应点$A_1$；
3. 将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转90°，得到对应点$P_1$；
4. 顺次连接$O$、$A_1$、$P_1$，所得图形就是图形B。
步骤2：绘制平移后的图形C
1. 将图形B的3个顶点$O$、$A_1$、$P_1$分别向右平移3格，依次得到对应点$O_2$、$A_2$、$P_2$；
2. 顺次连接$O_2$、$A_2$、$P_2$，所得图形就是图形C。
【答案】
按上述步骤操作画出的图形B、C即为所求：
1. 旋转得到图形B：标记图形A的3个关键点：点O、点A、点A正上方的顶点。将点A绕点O顺时针旋转$90°$得到对应点$A_1$，将点A正上方的顶点绕点O顺时针旋转$90°$得到对应点$P_1$，点O位置保持不变，顺次连接$O$、$A_1$、$P_1$，所得图形即为图形B。
2. 平移得到图形C：将图形B的3个顶点$O$、$A_1$、$P_1$分别向右平移3格，得到对应点$O_2$、$A_2$、$P_2$，顺次连接$O_2$、$A_2$、$P_2$，所得图形即为图形C。
【知识点】
旋转作图，平移作图
【点评】
本题属于基础的图形变换类题型，重点考查对旋转、平移变换规则的掌握程度，解题时抓住图形的关键点进行变换再连线即可，作答时需注意不要搞错旋转的方向、角度和平移的方向、格数。
【难度系数】
0.8
