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1.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\7 - 2x ＞5\end{cases}$仅有3个整数解，则$a$的取值范围是 （ ）
A.$-4≤ a ＜ -2$
B.$-3 ＜ a ≤ -2$
C.$-3≤ a ≤ -2$
D.$-3≤ a ＜ -2$
A.$-4≤ a ＜ -2$
B.$-3 ＜ a ≤ -2$
C.$-3≤ a ≤ -2$
D.$-3≤ a ＜ -2$
答案
D
解析
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x-a＞0$，得$x＞a$；
2. 解不等式$7-2x＞5$，移项得$-2x＞-2$，系数化为1得$x＜1$。
因此不等式组的解集为$a＜x＜1$。
已知该不等式组仅有3个整数解，小于1的连续3个整数为0、-1、-2，要保证整数解只有这3个，需满足$-3≤ a ＜ -2$。
1. 解不等式$x-a＞0$，得$x＞a$；
2. 解不等式$7-2x＞5$，移项得$-2x＞-2$，系数化为1得$x＜1$。
因此不等式组的解集为$a＜x＜1$。
已知该不等式组仅有3个整数解，小于1的连续3个整数为0、-1、-2，要保证整数解只有这3个，需满足$-3≤ a ＜ -2$。
2.若不等式组$\begin{cases}x+m＞2, \\ n-x＞-4\end{cases}$的解集为$1＜x＜2$，则$(m+n)^{2025}$的值为（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
A
解析
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x+m＞2$，移项得$x＞2-m$；
2. 解不等式$n-x＞-4$，移项得$-x＞-n-4$，两边同乘$-1$（不等号方向改变），得$x＜n+4$。
因此不等式组的解集为$2-m ＜ x ＜ n+4$，结合已知解集$1＜x＜2$，对应相等可得：
$2-m=1$，解得$m=1$；
$n+4=2$，解得$n=-2$。
则$m+n=1+(-2)=-1$，所以$(m+n)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
1. 解不等式$x+m＞2$，移项得$x＞2-m$；
2. 解不等式$n-x＞-4$，移项得$-x＞-n-4$，两边同乘$-1$（不等号方向改变），得$x＜n+4$。
因此不等式组的解集为$2-m ＜ x ＜ n+4$，结合已知解集$1＜x＜2$，对应相等可得：
$2-m=1$，解得$m=1$；
$n+4=2$，解得$n=-2$。
则$m+n=1+(-2)=-1$，所以$(m+n)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
3. 一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有20%的正常损耗，商家要想获得至少20%的利润，那么这批火龙果的销售价至少定为每千克（）
A.15元
B.14元
C.13元
D.12元
A.15元
B.14元
C.13元
D.12元
答案
A
解析
设这批火龙果的销售价为每千克x元，设购进火龙果的总质量为a千克。
购进总成本为10a元，扣除20%损耗后，可售出的火龙果质量为(1-20%)a=0.8a千克，总销售收入为0.8a x元。
根据“获得至少20%的利润”的要求，列不等式：
0.8a·x ≥ 10a·(1+20%)
由于a＞0，两边同时除以a，化简得0.8x≥12，解得x≥15。
即销售价至少定为每千克15元。
购进总成本为10a元，扣除20%损耗后，可售出的火龙果质量为(1-20%)a=0.8a千克，总销售收入为0.8a x元。
根据“获得至少20%的利润”的要求，列不等式：
0.8a·x ≥ 10a·(1+20%)
由于a＞0，两边同时除以a，化简得0.8x≥12，解得x≥15。
即销售价至少定为每千克15元。
4. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度为0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使放炮的人在爆破时能安全跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x cm应满足的不等式为（）
A.$4×\frac{x}{0.5}≥100$
B.$4×\frac{x}{0.5}≤100$
C.$4×\frac{x}{0.5}＜100$
D.$4×\frac{x}{0.5}＞100$
A.$4×\frac{x}{0.5}≥100$
B.$4×\frac{x}{0.5}≤100$
C.$4×\frac{x}{0.5}＜100$
D.$4×\frac{x}{0.5}＞100$
答案
D
解析
导火索长度为x cm，燃烧速度为0.5 cm/s，因此导火索完全燃烧的总时间为$\frac{x}{0.5}$ s。人在这段时间内以4 m/s的速度跑动，跑过的总路程为$4×\frac{x}{0.5}$ m。要保证人能在爆破前跑到100 m以外的安全区，需要人跑的路程大于100 m，因此得到不等式$4×\frac{x}{0.5}＞100$。
5. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x+3≥ x+m,\\\dfrac{2x+5}{3}-3＜2-x\end{cases}$无解，则$m$的取值范围是 ______ .
答案
$\boldsymbol{m≥ 5}$
解析
解：
解不等式$2x+3≥ x+m$，得：
$x≥ m-3$
解不等式$\dfrac{2x+5}{3}-3＜2-x$：
两边同乘3，得$2x+5-9＜6-3x$
整理得$2x-4＜6-3x$
移项合并同类项得$5x＜10$
解得$x＜2$
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此$m-3≥ 2$
解得$m≥ 5$
解不等式$2x+3≥ x+m$，得：
$x≥ m-3$
解不等式$\dfrac{2x+5}{3}-3＜2-x$：
两边同乘3，得$2x+5-9＜6-3x$
整理得$2x-4＜6-3x$
移项合并同类项得$5x＜10$
解得$x＜2$
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此$m-3≥ 2$
解得$m≥ 5$
6.小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第6天起平均每天至少要读多少页？设第6天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为。
答案
解：
根据题意，剩余可读天数为 $10-5=5$ 天，前5天已读页数加上后续5天的总读页数需不少于全书总页数，因此列不等式：
$100 + 5x ≥ 400$
根据题意，剩余可读天数为 $10-5=5$ 天，前5天已读页数加上后续5天的总读页数需不少于全书总页数，因此列不等式：
$100 + 5x ≥ 400$
7. 解下列不等式(组)：
(1) $\frac{5-x}{3} ＜ \frac{2x-3}{4}$；
(2)
(1) $\frac{5-x}{3} ＜ \frac{2x-3}{4}$；
(2)
答案
解：
(1) 去分母，两边同乘12，得：
$4(5 - x) ＜ 3(2x - 3)$
去括号，得：
$20 - 4x ＜ 6x - 9$
移项，得：
$-4x - 6x ＜ -9 - 20$
合并同类项，得：
$-10x ＜ -29$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{29}{10}$
(2) 解不等式$x - 3(x - 2) \ge 4$：
去括号，得$x - 3x + 6 \ge 4$
移项合并同类项，得$-2x \ge -2$
系数化为1，得$x \le 1$
解不等式$\frac{x-2}{3} ＞ \frac{x-1}{2}$：
去分母，两边同乘6，得$2(x - 2) ＞ 3(x - 1)$
去括号，得$2x - 4 ＞ 3x - 3$
移项合并同类项，得$-x ＞ 1$
系数化为1，得$x ＜ -1$
所以原不等式组的解集为$x ＜ -1$
(1) 去分母，两边同乘12，得：
$4(5 - x) ＜ 3(2x - 3)$
去括号，得：
$20 - 4x ＜ 6x - 9$
移项，得：
$-4x - 6x ＜ -9 - 20$
合并同类项，得：
$-10x ＜ -29$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{29}{10}$
(2) 解不等式$x - 3(x - 2) \ge 4$：
去括号，得$x - 3x + 6 \ge 4$
移项合并同类项，得$-2x \ge -2$
系数化为1，得$x \le 1$
解不等式$\frac{x-2}{3} ＞ \frac{x-1}{2}$：
去分母，两边同乘6，得$2(x - 2) ＞ 3(x - 1)$
去括号，得$2x - 4 ＞ 3x - 3$
移项合并同类项，得$-x ＞ 1$
系数化为1，得$x ＜ -1$
所以原不等式组的解集为$x ＜ -1$
