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一、选择题
1. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ B=110°$,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则$∠ E+∠ F$的值为 （
A.$110°$
B.$30°$
C.$50°$
D.$70°$
1. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ B=110°$,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则$∠ E+∠ F$的值为 （
D
）A.$110°$
B.$30°$
C.$50°$
D.$70°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先，要求∠E+∠F的度数，可先利用三角形内角和定理，将其转化为求△DEF中与这两个角相邻的内角∠EDF的度数；再结合平行四边形的对角相等性质，得到∠ADC与已知∠B的大小关系；最后利用对顶角相等，推出∠EDF=∠ADC，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=110°，
∴∠ADC = ∠B = 110°（平行四边形的对角相等）。
∵∠EDF与∠ADC是对顶角，
∴∠EDF = ∠ADC = 110°。
在△DEF中，根据三角形内角和定理，∠E+∠F+∠EDF=180°，
∴∠E+∠F = 180° - ∠EDF = 180° - 110° = 70°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形和三角形的相关性质，找到已知角和待求角之间的关联，解题时注意结合图形分析角的位置关系。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，要求∠E+∠F的度数，可先利用三角形内角和定理，将其转化为求△DEF中与这两个角相邻的内角∠EDF的度数；再结合平行四边形的对角相等性质，得到∠ADC与已知∠B的大小关系；最后利用对顶角相等，推出∠EDF=∠ADC，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=110°，
∴∠ADC = ∠B = 110°（平行四边形的对角相等）。
∵∠EDF与∠ADC是对顶角，
∴∠EDF = ∠ADC = 110°。
在△DEF中，根据三角形内角和定理，∠E+∠F+∠EDF=180°，
∴∠E+∠F = 180° - ∠EDF = 180° - 110° = 70°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形和三角形的相关性质，找到已知角和待求角之间的关联，解题时注意结合图形分析角的位置关系。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,将$△ AOD$平移至$△ BEC$的位置,则图中与$OA$相等的其他线段有 (
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
B
)A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形和平移的相关性质：首先，平行四边形的对角线互相平分，可先得到一组和OA相等的线段；其次，平移前后图形的对应线段相等，再通过平移得到另一组和OA相等的线段，最后统计排除OA本身外的相等线段数量即可。
【解析】
解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：OA=OC；
②
∵△AOD平移至△BEC的位置，
根据平移的性质：平移前后对应线段相等，可得：OA=BE；
综上，与OA相等的其他线段是OC、BE，共2条。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，解题时需注意题干要求的是“其他线段”，不要将OA本身计入统计，熟练掌握平行四边形和平移的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形和平移的相关性质：首先，平行四边形的对角线互相平分，可先得到一组和OA相等的线段；其次，平移前后图形的对应线段相等，再通过平移得到另一组和OA相等的线段，最后统计排除OA本身外的相等线段数量即可。
【解析】
解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：OA=OC；
②
∵△AOD平移至△BEC的位置，
根据平移的性质：平移前后对应线段相等，可得：OA=BE；
综上，与OA相等的其他线段是OC、BE，共2条。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，解题时需注意题干要求的是“其他线段”，不要将OA本身计入统计，熟练掌握平行四边形和平移的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1.已知直角坐标系内有四个点A(0,0)，B (5,0)，C(2,3)，D(x,y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为
1.已知直角坐标系内有四个点A(0,0)，B (5,0)，C(2,3)，D(x,y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为
(3, -3)或( -3,3)或(7,3)
。答案
1.(3, -3)或( -3,3)或(7,3)
解析
【分析】
题目未明确平行四边形四个顶点的顺序，因此需分三种情况讨论对角线的构成：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点坐标相同，结合中点坐标公式（两点的中点横、纵坐标分别为两点横、纵坐标的平均值），即可列方程求解点D的坐标。
【解析】
已知A(0,0)，B(5,0)，C(2,3)，设D(x,y)，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与CD互相平分，即AB的中点与CD的中点重合：
AB的中点坐标为$( \frac{0+5}{2},\frac{0+0}{2} )=(2.5,0)$
因此可得：$\frac{2+x}{2}=2.5$，$\frac{3+y}{2}=0$
解得：$x=3$，$y=-3$，即$D(3,-3)$
2. 当AC为平行四边形的对角线时，AC与BD互相平分，即AC的中点与BD的中点重合：
AC的中点坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+3}{2} )=(1,1.5)$
因此可得：$\frac{5+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=1.5$
解得：$x=-3$，$y=3$，即$D(-3,3)$
3. 当BC为平行四边形的对角线时，BC与AD互相平分，即BC的中点与AD的中点重合：
BC的中点坐标为$( \frac{5+2}{2},\frac{0+3}{2} )=(3.5,1.5)$
因此可得：$\frac{0+x}{2}=3.5$，$\frac{0+y}{2}=1.5$
解得：$x=7$，$y=3$，即$D(7,3)$
综上，点D的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3)。
【答案】
(3, -3)或( -3,3)或(7,3)
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略平行四边形顶点顺序的不确定性导致漏解，解题时需明确无顶点顺序说明时，要对对角线的构成情况进行全部分类，再结合平行四边形的性质求解即可。
【难度系数】
0.5
题目未明确平行四边形四个顶点的顺序，因此需分三种情况讨论对角线的构成：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点坐标相同，结合中点坐标公式（两点的中点横、纵坐标分别为两点横、纵坐标的平均值），即可列方程求解点D的坐标。
【解析】
已知A(0,0)，B(5,0)，C(2,3)，设D(x,y)，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与CD互相平分，即AB的中点与CD的中点重合：
AB的中点坐标为$( \frac{0+5}{2},\frac{0+0}{2} )=(2.5,0)$
因此可得：$\frac{2+x}{2}=2.5$，$\frac{3+y}{2}=0$
解得：$x=3$，$y=-3$，即$D(3,-3)$
2. 当AC为平行四边形的对角线时，AC与BD互相平分，即AC的中点与BD的中点重合：
AC的中点坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+3}{2} )=(1,1.5)$
因此可得：$\frac{5+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=1.5$
解得：$x=-3$，$y=3$，即$D(-3,3)$
3. 当BC为平行四边形的对角线时，BC与AD互相平分，即BC的中点与AD的中点重合：
BC的中点坐标为$( \frac{5+2}{2},\frac{0+3}{2} )=(3.5,1.5)$
因此可得：$\frac{0+x}{2}=3.5$，$\frac{0+y}{2}=1.5$
解得：$x=7$，$y=3$，即$D(7,3)$
综上，点D的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3)。
【答案】
(3, -3)或( -3,3)或(7,3)
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略平行四边形顶点顺序的不确定性导致漏解，解题时需明确无顶点顺序说明时，要对对角线的构成情况进行全部分类，再结合平行四边形的性质求解即可。
【难度系数】
0.5
2. 如图，直线$m// n$，点$C,D,E$在直线$m$上，四边形$ABED$为平行四边形，若$△ ABC$的面积为3，则平行四边形$ABED$的面积是
6
。答案
2.6
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件推导图形间的关系：由四边形ABED是平行四边形可得AB平行于直线m，因此△ABC和平行四边形ABED同以AB为底，且高都等于平行线AB与m之间的距离，即二者同底等高。再结合同底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，代入已知的三角形面积即可求出平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABED是平行四边形，点D、E在直线m上
∴ AB//DE，即AB//m
∴ △ABC以AB为底的高，与平行四边形ABED以AB为底的高相等，都等于平行线AB与m之间的距离，二者同底等高
已知$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = 3$
平行四边形面积公式为$S_{平行四边形}=底 × 高$
因此$S_{□ ABED}=2 × S_{△ ABC}=2 × 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；平行线间的距离；面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查同底等高的三角形与平行四边形的面积关系，解题的关键是通过平行四边形的性质找到两个图形公共的底和相等的高，熟练掌握相关性质和面积公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件推导图形间的关系：由四边形ABED是平行四边形可得AB平行于直线m，因此△ABC和平行四边形ABED同以AB为底，且高都等于平行线AB与m之间的距离，即二者同底等高。再结合同底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，代入已知的三角形面积即可求出平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABED是平行四边形，点D、E在直线m上
∴ AB//DE，即AB//m
∴ △ABC以AB为底的高，与平行四边形ABED以AB为底的高相等，都等于平行线AB与m之间的距离，二者同底等高
已知$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = 3$
平行四边形面积公式为$S_{平行四边形}=底 × 高$
因此$S_{□ ABED}=2 × S_{△ ABC}=2 × 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；平行线间的距离；面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查同底等高的三角形与平行四边形的面积关系，解题的关键是通过平行四边形的性质找到两个图形公共的底和相等的高，熟练掌握相关性质和面积公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D、E$ 分别是 $AB、AC$ 边的中点, 且 $DE = 6$ cm, 则 $BC =$
12
cm.答案
3.12
解析
【分析】
首先观察题目已知条件，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，首先可以判断线段DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，由此可通过已知的DE长度求出BC的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=6\mathrm{cm}$，代入得：
$BC=2DE=2×6=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线定理的应用，解题关键是准确识别三角形的中位线，牢记中位线与第三边的数量关系即可快速求解，是几何部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
首先观察题目已知条件，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，首先可以判断线段DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，由此可通过已知的DE长度求出BC的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=6\mathrm{cm}$，代入得：
$BC=2DE=2×6=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线定理的应用，解题关键是准确识别三角形的中位线，牢记中位线与第三边的数量关系即可快速求解，是几何部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=2\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$∠ B$、$∠ C$的平分线分别交$AD$于$F$、$E$,则$EF$的长为________$\mathrm{cm}$.
答案
4.1
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，首先平行四边形对边平行且相等，可得AD//BC、AD=BC=3cm、AB=CD=2cm；再结合角平分线定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出△ABF和△DEC均为等腰三角形，得到AF=AB、DE=CD；最后观察线段关系，AF和DE在AD上的重叠部分就是EF，因此用AF+DE的和减去AD的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2cm，BC=3cm，
∴AD//BC，AD=BC=3cm，AB=CD=2cm，
∴∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF=∠FBC，∠DCE=∠BCE，
∴∠AFB=∠ABF，∠DEC=∠DCE，
∴AF=AB=2cm，DE=CD=2cm，
∴EF=AF+DE-AD=2+2-3=1（cm）。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质应用的基础题，核心考查“平行线+角平分线”推导等腰三角形的常用几何模型，只要熟练掌握相关性质，理清线段的和差关系即可求解，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，首先平行四边形对边平行且相等，可得AD//BC、AD=BC=3cm、AB=CD=2cm；再结合角平分线定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出△ABF和△DEC均为等腰三角形，得到AF=AB、DE=CD；最后观察线段关系，AF和DE在AD上的重叠部分就是EF，因此用AF+DE的和减去AD的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2cm，BC=3cm，
∴AD//BC，AD=BC=3cm，AB=CD=2cm，
∴∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF=∠FBC，∠DCE=∠BCE，
∴∠AFB=∠ABF，∠DEC=∠DCE，
∴AF=AB=2cm，DE=CD=2cm，
∴EF=AF+DE-AD=2+2-3=1（cm）。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质应用的基础题，核心考查“平行线+角平分线”推导等腰三角形的常用几何模型，只要熟练掌握相关性质，理清线段的和差关系即可求解，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
