3. 如图，E、F是$□ ABCD$对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形。

3. BE=DF(或∠BAE=∠CDF等)

【分析】
要使四边形AECF是平行四边形，可结合平行四边形的判定定理，利用已知平行四边形ABCD的性质推导需要添加的条件。平行四边形常见判定方法有：一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对边分别相等。已知□ABCD中AB与CD平行且相等，BD是公共对角线，我们可以添加条件构造全等三角形，或者让AECF的对角线互相平分，即可满足平行四边形的判定要求，比如添加BE=DF就可通过对角线互相平分判定AECF是平行四边形。
【解析】
以添加条件BE=DF为例证明：
连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分），
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∵四边形AECF的对角线AC、EF互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形。
（若添加∠BAE=∠CDF，可先证△ABE≌△CDF，得到AE=CF且AE//CF，同样可判定AECF是平行四边形，答案不唯一）
【答案】
BE=DF（或∠BAE=∠CDF等，答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性几何题，重点考查平行四边形性质与判定的综合应用，可从不同判定定理出发推导所需条件，答案不唯一，要求熟练掌握相关定理并灵活应用。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AD边的中点，连接CE并延长，交BA延长线于点F。若FE=CE，求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：
∵ E是AD边的中点，
∴ AE = DE。
在△AEF和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}AE = DE \\∠AEF = ∠DEC \\FE = CE\end{array} $
∴ △AEF ≌ △DEC（SAS），
∴ ∠F = ∠DCE，
∴ AB // CD。
又∵ AD // BC，
∴ 四边形ABCD两组对边分别平行，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，因此只需再证明AB//CD即可。要证AB//CD，可通过证明内错角∠F=∠DCE实现；结合已知条件E是AD中点可得AE=DE，又给出FE=CE，加上对顶角∠AEF=∠DEC，可先利用SAS判定△AEF≌△DEC，通过全等三角形的对应角相等得到∠F=∠DCE，进而推出AB//CD，最后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ E是AD边的中点，
∴ AE = DE。
在△AEF和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}AE = DE \\∠AEF = ∠DEC \\FE = CE\end{array} $
∴ △AEF ≌ △DEC（SAS），
∴ ∠F = ∠DCE，
∴ AB // CD。
又
∵ AD // BC，
∴ 四边形ABCD两组对边分别平行，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明：
∵ E是AD边的中点，
∴ AE = DE。
在△AEF和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}AE = DE \\∠AEF = ∠DEC \\FE = CE\end{array} $
∴ △AEF ≌ △DEC（SAS），
∴ ∠F = ∠DCE，
∴ AB // CD。
又
∵ AD // BC，
∴ 四边形ABCD两组对边分别平行，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是通过三角形全等得到相等的角，进而推出未知的一组对边平行，结合已知的对边平行即可判定平行四边形，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，点$E$在边$BA$的延长线上，过点$C$作$CF // BE$，$AD$平分$∠ CAE$交$CF$于点$D$，若$AD = 6$，求四边形$ABCD$的周长。

2. 22

【分析】解题时先从已知的等腰三角形条件入手，结合三角形外角性质与角平分线定义，推导得出AD与BC平行；再结合已知的CF//BE，可判定四边形ABCD为平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠ACB$，
∵$∠CAE$是$△ABC$的外角，
∴$∠CAE=∠B+∠ACB=2∠B$，
∵$AD$平分$∠CAE$，
∴$∠CAE=2∠EAD$，
∴$∠EAD=∠B$，
∴$AD// BC$（同位角相等，两直线平行），
又
∵$CF// BE$，即$CD// AB$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴$AB=CD=5$，$BC=AD=6$，
∴四边形$ABCD$的周长=$AB+BC+CD+AD=5+6+5+6=22$。
【答案】22
【知识点】平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】本题综合考查了等腰三角形、角平分线、平行线判定及平行四边形的相关性质，解题的核心是正确推导得出四边形ABCD为平行四边形，属于基础常考题型。
【难度系数】0.75

3. 如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF = CE，DF = BE，DF//BE。
求证:(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形。

证明：
(1) ∵ $DF// BE$，
∴ $∠ DFE = ∠ BEF$，
∴ $180° - ∠ DFE = 180° - ∠ BEF$，即 $∠ AFD = ∠ CEB$。
在$△ AFD$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}AF = CE \\∠ AFD = ∠ CEB \\DF = BE\end{cases}$
∴ $△ AFD ≌ △ CEB$（SAS）。
(2) 由(1)的全等结论可得：$AD = CB$，$∠ DAF = ∠ BCE$，
∴ $AD // CB$，
即四边形$ABCD$中，一组对边$AD$、$BC$平行且相等，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。

【分析】
（1）要证明△AFD≌△CEB，已知AF=CE、DF=BE两组边对应相等，只需证明两边的夹角相等即可。结合DF//BE的条件，可先由平行线的性质得到∠DFE=∠BEF，再利用邻补角的性质推出∠AFD=∠CEB，即可用SAS判定两个三角形全等。
（2）要证明四边形ABCD是平行四边形，可利用（1）的全等结论，得到AD=CB，且对应角∠DAF=∠BCE，进而推出AD//CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
【解析】
(1)
∵ $DF// BE$，
∴ $∠DFE = ∠BEF$，
∴ $180° - ∠DFE = 180° - ∠BEF$，即 $∠AFD = ∠CEB$。
在$△AFD$和$△CEB$中：
$\begin{cases}AF = CE \\∠AFD = ∠CEB \\DF = BE\end{cases}$
∴ $△AFD ≌ △CEB$（SAS）。
(2) 由(1)的全等结论可得：$AD = CB$，$∠DAF = ∠BCE$，
∴ $AD // CB$，
即四边形$ABCD$中，一组对边$AD$、$BC$平行且相等，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
(1) $△ AFD≌△ CEB$，得证；(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，得证，完整证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形判定、平行线的性质、平行四边形判定
【点评】
本题是递进式几何证明题，第一问的全等结论是第二问的推导基础，解题时需明确条件与定理的对应关系，熟练掌握全等、平行线、平行四边形的相关性质和判定是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7