1. 把下列各数填入相应的集合内.
$-7,0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},0,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···$(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$\sqrt[3]{9},-\frac{π}{2}$.
(1)有理数集合:$\{\ ···\}$;
(2)无理数集合:$\{\ ···\}$;
(3)正实数集合:$\{\ ···\}$;
(4)实数集合:$\{\ ···\}$.

(1)有理数集合:$\{ -7,0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},0,···\}$;
(2)无理数集合:$\{\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},-\frac{π}{2},···\}$;
(3)正实数集合:$\{0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},··· \}$;
(4)实数集合:$\{ -7,0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},0,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},-\frac{π}{2},···\}$.

【分析】
解题思路如下：首先明确各类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，表现为有限小数、无限循环小数，都可以写成两个整数的比值；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数的方根、含π的数、结构特殊的无限不循环小数；③正实数是大于0的所有实数；④实数是有理数和无理数的统称。接下来逐个判断给出的10个数所属类别，再分别填入对应集合即可。
【解析】
我们先对每个数逐一判断属性：
1. $-7$：负整数，属于有理数，是负实数；
2. $0.32$：有限小数，属于有理数，是正实数；
3. $\frac{1}{3}$：分数，属于有理数，是正实数；
4. $3.1\dot{4}$：无限循环小数，属于有理数，是正实数；
5. $0$：整数，属于有理数，既不是正实数也不是负实数；
6. $\sqrt{8}$：化简为$2\sqrt{2}$，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，是正实数；
7. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，开方开不尽，属于无理数，是正实数；
8. $0.010\ 010\ 001···$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)：是无限不循环小数，属于无理数，是正实数；
9. $\sqrt[3]{9}$：开立方开不尽，属于无理数，是正实数；
10. $-\frac{π}{2}$：含π的无限不循环小数，属于无理数，是负实数。
根据上述判断，将对应数填入各集合即可。
【答案】
(1)有理数集合:$\{ -7,0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},0,···\}$;
(2)无理数集合:$\{\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},-\frac{π}{2},···\}$;
(3)正实数集合:$\{0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},··· \}$;
(4)实数集合:$\{ -7,0.32,\frac{1}{3},3.1\dot{4},0,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),\sqrt[3]{9},-\frac{π}{2},···\}$.
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题主要考查实数的分类判断，解题核心是准确区分有理数和无理数，需注意：有固定规律的无限小数不一定是循环小数，如本题中的0.010010001…是无限不循环小数，属于无理数；开方开不尽的数的方根、含π的数也是常见的无理数。
【难度系数】
0.7

2.9的算术平方根是 ()

A.-3
B.±3
C.3
D.$\sqrt{3}$

C

【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做这个数的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题步骤分为两步：第一步先利用算术平方根的非负性排除负数选项；第二步找到平方等于9的非负整数即可得到答案，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，不要误选带正负的选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
我们需要找到满足$x^2=9$的非负数$x$：
因为$3^2=9$，且3是正数，符合算术平方根的非负要求；
选项A：-3是负数，不符合算术平方根的非负性，错误；
选项B：±3是9的平方根，不是算术平方根，错误；
选项D：$(\sqrt{3})^2=3≠9$，错误。
因此9的算术平方根是3。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义、平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对算术平方根概念的理解，解题时要重点把握算术平方根结果为非负数的特点，避免和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.8

3. $(-5)^2$的算术平方根是，$\sqrt{9}$的算术平方根是。

5 $\sqrt{3}$

【分析】
解题时遵循“先化简表达式，再根据算术平方根定义计算”的思路：首先明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。第一个空先计算$(-5)^2$的结果，再求该结果的算术平方根；第二个空要注意不能直接求9的算术平方根，需先化简$\sqrt{9}$得到结果后，再求这个结果的算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
1. 求$(-5)^2$的算术平方根：
先计算乘方：$(-5)^2 = 25$，
根据算术平方根的定义，正数5的平方等于25，因此25的算术平方根是5，即$(-5)^2$的算术平方根是5。
2. 求$\sqrt{9}$的算术平方根：
先化简$\sqrt{9}$：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因此$\sqrt{9}=3$，
再求3的算术平方根：正数$\sqrt{3}$的平方等于3，因此3的算术平方根是$\sqrt{3}$，即$\sqrt{9}$的算术平方根是$\sqrt{3}$。
【答案】
5；$\sqrt{3}$
【知识点】
乘方运算；算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题主要考查算术平方根的概念，易错点为第二空容易忽略先化简$\sqrt{9}$，直接求9的算术平方根得到错误结果3，做题时要注意先处理原式中的运算，再按定义求解，避免跳步失误。
【难度系数】
0.7

4. 若数$a$、$b$满足$|a + 2| + \sqrt{b - 4} = 0$，则$\dfrac{a^2}{b} =$ 。

1

【分析】
解题时首先回忆绝对值和算术平方根的性质：二者都具有非负性，即运算结果都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都为0才能满足条件，因此可以据此列方程求出a、b的取值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，且$|a + 2| + \sqrt{b - 4} = 0$，
∴ 根据非负数的性质可得：
$a+2=0$，$b-4=0$，
解得：$a=-2$，$b=4$，
将$a=-2$，$b=4$代入$\dfrac{a^2}{b}$得：
$\dfrac{(-2)^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负数的性质，只要掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”这一规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

5. $\sqrt{16}$的平方根是.

$\pm2$

【分析】
解这道题要注意不能直接求16的平方根，需分两步思考：第一步先明确$\sqrt{16}$的含义，它表示16的算术平方根，先算出$\sqrt{16}$的具体数值；第二步再根据平方根的定义，求出这个数值的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{16}$的值，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，因此$\sqrt{16}=4$；
第二步：求4的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(±2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
综上，$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，易错点是容易忽略先化简$\sqrt{16}$，直接求16的平方根得到错误答案$\pm4$，解题的核心是准确区分算术平方根和平方根的概念，审清题干所求的对象。
【难度系数】
0.6

6. 求下列各式中x的值：
(1) $169x^2 = 100$；
(2) $(x+1)^2 = 81$.

(1) 因为 $169x^2 = 100$,所以 $x^2 =\frac{100}{169}$,所以 $x = \pm \sqrt{\frac{100}{169}}$,所以 $x = \pm \frac{10}{13}$.
(2) 因为$(x + 1)^2 = 81$,所以 $x + 1 = \pm \sqrt{81}$,所以 $x + 1 = \pm9$,所以 $x = 8$ 或 $x = -10$.

【分析】
这两道题都属于利用平方根定义求解的方程类题目，解题思路如下：
（1）第一题先利用等式的性质，将方程两边同时除以$x^2$的系数169，把方程化为$x^2=a(a＞0)$的形式，再根据正数有两个互为相反数的平方根，对$a$开平方即可得到$x$的两个解；
（2）第二题把$(x+1)$看作一个整体，方程符合“整体的平方等于正数”的形式，直接对右边的81开平方，得到$x+1$的两个取值，再分别求解一次方程即可得到$x$的值，注意开平方时不要漏掉负的平方根，避免漏解。
【解析】
(1) 对于$169x^2 = 100$，方程两边同时除以169，得：
$x^2 =\frac{100}{169}$
根据平方根的定义，$x$是$\frac{100}{169}$的平方根，因此：
$x = \pm \sqrt{\frac{100}{169}} = \pm \frac{10}{13}$
(2) 对于$(x+1)^2 = 81$，将$x+1$看作整体，根据平方根的定义得：
$x + 1 = \pm \sqrt{81} = \pm9$
分两种情况计算：
当$x+1=9$时，解得$x=9-1=8$；
当$x+1=-9$时，解得$x=-9-1=-10$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{10}{13}$
(2) $x=8$或$x=-10$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 等式的性质
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考查平方根的性质，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根；第二题运用整体思想求解，是解这类含括号平方类方程的常用思路，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.8

7. 下列说法错误的是 ()

A.5 是 125 的立方根
B.±4 是 64 的立方根
C.-2 是 -8 的立方根
D.0 是 0 的立方根

B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确立方根的定义和性质：如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么x就叫做a的立方根；且任意一个数都只有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时我们只需要逐一验证每个选项中给出的数的立方是否等于对应的被开方数，同时结合立方根的性质判断正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：
∵$5^3=5×5×5=125$，
∴5是125的立方根，该说法正确，不符合题意；
B选项：
∵$4^3=64$，$(-4)^3=-64≠64$，且任意数的立方根只有1个，
∴64的立方根是4，不是±4，该说法错误，符合题意；
C选项：
∵$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，
∴-2是-8的立方根，该说法正确，不符合题意；
D选项：
∵$0^3=0$，
∴0是0的立方根，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是区分立方根和平方根的性质，不要混淆正数的平方根有两个、而立方根只有一个的特点，牢记不同符号的数对应的立方根的符号特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8

8. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{-27}$；
(2)

(1) $\sqrt[3]{-27}$ 表示 -27 的立方根,是 -3.
(2) $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}$ 表示 $\frac{64}{27}$ 的立方根,是 $\frac{4}{3}$.

【分析】
求立方根的核心依据是立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x就是a的立方根。求解时，(1)直接找到立方等于-27的数即可得到结果；(2)先将带分数化为假分数，再找到立方等于该假分数的数，即可求出对应的立方根。
【解析】
(1) $\sqrt[3]{-27}$表示求-27的立方根，
因为$(-3)^3=-27$，
所以$\sqrt[3]{-27}=-3$。
(2) 先将带分数化为假分数：$2\frac{10}{27}=\frac{2×27+10}{27}=\frac{64}{27}$，
$\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$，表示求$\frac{64}{27}$的立方根，
因为$(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$，
所以$\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $-3$；(2) $\frac{4}{3}$
【知识点】
立方根的定义，带分数与假分数的互化
【点评】
本题属于立方根的基础运算题，解题关键是牢记立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，遇到带分数求立方根时，要先转化为假分数再计算，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

9. 估算结果误差最小的是 （）

A.$\sqrt{12}=3.5$
B.$\sqrt{300}=10$
C.$\sqrt[3]{1234}=10$
D.$\sqrt{0.6}=0.01$

A

【分析】
要判断哪个选项估算结果误差最小，我们可以先分别估算每个选项中无理数的近似值，再计算估算值与近似值的差值（误差），差值越小说明误差越小，最后比较四个选项的误差大小即可得到答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项的误差：
A选项：因为$3.5^2=12.25$，和12非常接近，计算得$\sqrt{12}\approx3.464$，误差为$|3.5 - 3.464|=0.036$；
B选项：因为$17^2=289$，$18^2=324$，所以$\sqrt{300}\approx17.32$，误差为$|10 - 17.32|=7.32$；
C选项：因为$10^3=1000$，$11^3=1331$，所以$\sqrt[3]{1234}\approx10.73$，误差为$|10 - 10.73|=0.73$；
D选项：因为$0.7^2=0.49$，$0.8^2=0.64$，所以$\sqrt{0.6}\approx0.77$，误差为$|0.01 - 0.77|=0.76$。
比较四个误差：$0.036＜0.73＜0.76＜7.32$，所以A选项的误差最小。
【答案】
A
【知识点】
平方根估算；立方根估算；实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方、立方结果，快速确定无理数的大致范围，再通过计算误差比较大小，属于估算类基础题型。
【难度系数】
0.7

10.若二次根式$\sqrt{1+x}$有意义,则$x$的取值范围为（）

A.$x≥ -1$
B.$x≤ -1$
C.$x≥ 1$
D.$x≤ 1$

A

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次根式有意义的前提条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们的解题思路是：第一步根据这个条件列出关于x的不等式，第二步解不等式得到x的取值范围，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1+x}$有意义，被开方数$1+x$需满足非负的要求，即：
$1+x≥0$
对不等式移项可得：
$x≥-1$
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考察对二次根式有意义条件的掌握，难度较低，只要牢记被开方数为非负数的要求，结合一元一次不等式的解法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

11. 下列二次根式中,最简二次根式是 ()

A.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{50}$

C

【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要按照这两个标准逐个排查选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们依次分析每个选项：
A. $\sqrt{\dfrac{1}{5}}$：被开方数是分数，含有分母，不符合最简二次根式要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{0.5}$：0.5可转化为分数$\dfrac{1}{2}$，被开方数含有分母，不符合要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{5}$：被开方数5是整数，且没有能开得尽方的因数，完全符合最简二次根式的判定标准，是最简二次根式；
D. $\sqrt{50}$：被开方数50可拆分为$25×2$，其中25是能开得尽方的因数，不符合要求，可化简为$5\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查最简二次根式的识别，只要牢记判定标准就能快速得分。
【难度系数】
0.9