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6. 如图21-25,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,$AE=CF$.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若$∠BAC=∠DAC$,求证:四边形EBFD是菱形.
图21-25
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若$∠BAC=∠DAC$,求证:四边形EBFD是菱形.
图21-25
答案
6. (1)$\because$ 在$□ ABCD$中,$AC,BD$交于点$O,\therefore OA=OC,OB=OD. \because AE=CF,\therefore OE=OF. \therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// DC. \therefore ∠ BAC = ∠ DCA. \because ∠ BAC=∠ DAC,\therefore ∠ DCA=∠ DAC. \therefore DA=DC. \therefore$ 平行四边形$ABCD$为菱形. $\therefore DB⊥ EF. \therefore$ 平行四边形$EBFD$是菱形. $\therefore$ 四边形$EBFD$是菱形.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// DC. \therefore ∠ BAC = ∠ DCA. \because ∠ BAC=∠ DAC,\therefore ∠ DCA=∠ DAC. \therefore DA=DC. \therefore$ 平行四边形$ABCD$为菱形. $\therefore DB⊥ EF. \therefore$ 平行四边形$EBFD$是菱形. $\therefore$ 四边形$EBFD$是菱形.
五、正方形
1. 如图 21-26，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，$△ ACE$ 为等边三角形. 若 $AB=2$，则 $OE$ 的长度为 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
1. 如图 21-26，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，$△ ACE$ 为等边三角形. 若 $AB=2$，则 $OE$ 的长度为 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
1.B
2. 四边形ABCD是菱形，添加一个条件：
$∠ BAD=90°$（答案不唯一）
，可使它成为正方形。答案
2. 答案不唯一,如:$∠ BAD=90°$
3. 如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是
正方形
.答案
3. 正方形
4. 如图21-27,菱形ABCD的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$,正方形AECF的面积为$72\ \mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为________(结果中如有根号,请保留根号).
图21-27
图21-27
答案
4. $2\sqrt{34}$
5. 如图21-28,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG的长为
1
.答案
5. 1
提示:如图,连接$AG,EG. \because E$是$CD$的中点,$\therefore DE=CE=4$. 设$CG=x$,则$BG=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ABG$和$\mathrm{Rt}△ GCE$中,根据勾股定理,得$AB^2+BG^2=AG^2=EG^2=CE^2+CG^2. \therefore 8^2+(8-x)^2=4^2+x^2$. 解得$x=7. \therefore BG=BC-CG=8-7=1$.
