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一、填空。
1. 水杯中有75克水，放入25克糖，此时糖占水的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，再加入5克糖，此时糖占糖水的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
1. 水杯中有75克水，放入25克糖，此时糖占水的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，再加入5克糖，此时糖占糖水的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
答案
$\frac{1}{3}$；$\frac{2}{7}$
解析
1. 求糖占水的几分之几，用糖的质量除以水的质量：原有糖25克，水75克，$25÷75=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}$。
2. 再加入5克糖后，糖的总质量为$25+5=30$克，糖水总质量为糖的总质量加水上的质量，即$30+75=105$克，此时糖占糖水的比例为$30÷105=\frac{30}{105}=\frac{2}{7}$。
2. 再加入5克糖后，糖的总质量为$25+5=30$克，糖水总质量为糖的总质量加水上的质量，即$30+75=105$克，此时糖占糖水的比例为$30÷105=\frac{30}{105}=\frac{2}{7}$。
2. 下面的长方形表示3公顷，请涂色表示出$\frac{3}{5}$公顷。
答案
将给定的大长方形平均分为5份，把其中任意1份涂色，涂色部分就表示$\frac{3}{5}$公顷。
解析
先计算$\frac{3}{5}$公顷占总面积3公顷的占比：$\frac{3}{5}÷3=\frac{1}{5}$，也就是把代表3公顷的整个长方形平均分成5等份，选取其中的1份涂上颜色，涂色部分的面积就对应$\frac{3}{5}$公顷。
1. 分数$\frac{5}{6}$，分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（）。
A.10
B.18
C.12
D.6
A.10
B.18
C.12
D.6
答案
C
解析
1. 计算变化后的分子：5+10=15
2. 根据分数的基本性质，算出分子扩大的倍数：15÷5=3
3. 求出变化后对应的分母：6×3=18
4. 计算分母需要加上的数值：18-6=12
2. 根据分数的基本性质，算出分子扩大的倍数：15÷5=3
3. 求出变化后对应的分母：6×3=18
4. 计算分母需要加上的数值：18-6=12
2. 已知$\frac{4}{5}＞\frac{7}{( )}＞\frac{1}{2}$，括号里可以填的最大整数是()。
A.10
B.13
C.14
D.16
A.10
B.13
C.14
D.16
答案
B
解析
用通分子的方法解题：
1. 将三个分数的分子统一为28：$\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$，$\frac{7}{( )}=\frac{28}{4×( )}$，$\frac{1}{2}=\frac{28}{56}$。
2. 分子相同的分数，分母越大分数值越小，因此可得不等式：$35 ＜ 4×( ) ＜56$。
3. 三边同时除以4得：$8.75 ＜ ( ) ＜14$，括号里要求填整数，符合条件的最大整数是13。
1. 将三个分数的分子统一为28：$\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$，$\frac{7}{( )}=\frac{28}{4×( )}$，$\frac{1}{2}=\frac{28}{56}$。
2. 分子相同的分数，分母越大分数值越小，因此可得不等式：$35 ＜ 4×( ) ＜56$。
3. 三边同时除以4得：$8.75 ＜ ( ) ＜14$，括号里要求填整数，符合条件的最大整数是13。
3. 分子与分母的和为 20 的最简真分数有()个。
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
A
解析
首先明确最简真分数的定义：分子小于分母，且分子和分母互质（只有公因数1）的分数。
已知分子与分母的和是20，真分数要求分子＜分母，因此分子必须小于10，分母大于10。
逐一验证符合条件的组合：
1. 分子=1，分母=19，1和19互质，1/19符合要求
2. 分子=2，分母=18，两数有公因数2，不符合
3. 分子=3，分母=17，3和17互质，3/17符合要求
4. 分子=4，分母=16，两数有公因数2、4，不符合
5. 分子=5，分母=15，两数有公因数5，不符合
6. 分子=6，分母=14，两数有公因数2，不符合
7. 分子=7，分母=13，7和13互质，7/13符合要求
8. 分子=8，分母=12，两数有公因数2、4，不符合
9. 分子=9，分母=11，9和11互质，9/11符合要求
总共有4个符合条件的最简真分数。
已知分子与分母的和是20，真分数要求分子＜分母，因此分子必须小于10，分母大于10。
逐一验证符合条件的组合：
1. 分子=1，分母=19，1和19互质，1/19符合要求
2. 分子=2，分母=18，两数有公因数2，不符合
3. 分子=3，分母=17，3和17互质，3/17符合要求
4. 分子=4，分母=16，两数有公因数2、4，不符合
5. 分子=5，分母=15，两数有公因数5，不符合
6. 分子=6，分母=14，两数有公因数2，不符合
7. 分子=7，分母=13，7和13互质，7/13符合要求
8. 分子=8，分母=12，两数有公因数2、4，不符合
9. 分子=9，分母=11，9和11互质，9/11符合要求
总共有4个符合条件的最简真分数。
4. 从学校步行去影剧院,小明用$\frac{1}{x}$小时,小红用$\frac{1}{x-1}$小时,小军用$\frac{1}{x+1}$小时,()。$(x＞1)$
A.小明速度最快
B.小红速度最快
C.小军速度最快
D.无法比较谁速度最快
A.小明速度最快
B.小红速度最快
C.小军速度最快
D.无法比较谁速度最快
答案
C
解析
从学校到影剧院的路程是固定的，路程相同时，所用时间越短，速度越快。分子相同的正分数，分母越大分数值越小，已知x＞1，可得分母大小关系：x+1＞x＞x-1，因此三人用时大小为：$\frac{1}{x+1}$＜$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{x-1}$，小军用的时间最短，所以小军速度最快。
三、分数和因数。
仔细阅读,在每道等式中填入两个不同的自然数,使等式成立,再完成填空。
① $\frac{1}{6}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
我是这样想的,6 的因数有 1,2,3,6,取 1 和 2:可以有
$\frac{1}{6}=\frac{1+2}{6×(1+2)}$(分数的基本性质)$=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}$(分数加法)
$=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$(约分)
② 如果取 2 和 3 呢,可以怎样填?
$\frac{1}{6}=\frac{2+3}{6×(2+3)}=\frac{□}{30}+\frac{□}{30}$
$=\frac{1}{□}+\frac{1}{□}$
③ 试着用这样的方法填写。
$\frac{1}{9}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
仔细阅读,在每道等式中填入两个不同的自然数,使等式成立,再完成填空。
① $\frac{1}{6}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
我是这样想的,6 的因数有 1,2,3,6,取 1 和 2:可以有
$\frac{1}{6}=\frac{1+2}{6×(1+2)}$(分数的基本性质)$=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}$(分数加法)
$=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$(约分)
② 如果取 2 和 3 呢,可以怎样填?
$\frac{1}{6}=\frac{2+3}{6×(2+3)}=\frac{□}{30}+\frac{□}{30}$
$=\frac{1}{□}+\frac{1}{□}$
③ 试着用这样的方法填写。
$\frac{1}{9}=\frac{1}{(\quad)}+\frac{1}{(\quad)}$
答案
①18、9；②2、3，15、10；③36、12（③答案不唯一）
解析
本题利用分数的基本性质将单位分数拆分为两个不同的单位分数之和，解题方法如下：
1. 拆分规则：先找到等式左边分数分母的所有因数，任选两个不同的因数，将原分数的分子、分母同时乘这两个因数的和，再把分子拆成所选两个因数相加的形式，最后对两个分数分别约分，即可得到结果。
2. 第②小题：取6的因数2和3，将$\frac{1}{6}$的分子分母同时乘$2+3=5$，得到$\frac{2+3}{30}$，拆分后为$\frac{2}{30}+\frac{3}{30}$，约分后得到$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}$。
3. 第③小题：先找出9的因数有1、3、9，选取因数1和3，将$\frac{1}{9}$的分子分母同时乘$1+3=4$，得到$\frac{1+3}{9×4}$，拆分后约分得到$\frac{1}{36}+\frac{1}{12}$，本小题答案不唯一，符合要求即可。
1. 拆分规则：先找到等式左边分数分母的所有因数，任选两个不同的因数，将原分数的分子、分母同时乘这两个因数的和，再把分子拆成所选两个因数相加的形式，最后对两个分数分别约分，即可得到结果。
2. 第②小题：取6的因数2和3，将$\frac{1}{6}$的分子分母同时乘$2+3=5$，得到$\frac{2+3}{30}$，拆分后为$\frac{2}{30}+\frac{3}{30}$，约分后得到$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}$。
3. 第③小题：先找出9的因数有1、3、9，选取因数1和3，将$\frac{1}{9}$的分子分母同时乘$1+3=4$，得到$\frac{1+3}{9×4}$，拆分后约分得到$\frac{1}{36}+\frac{1}{12}$，本小题答案不唯一，符合要求即可。
如图，A、B分别为长方形的长和宽的中点，阴影部分的面积占长方形面积的几分之几？
答案
$\frac{3}{8}$
