登录
2. 如图,在平面直角坐标系中,$A(a,0),B(b,0),C(-1,2)$,且$|a+2|+\sqrt{b-3}=0$.
(1) 求$a,b$的值;
(2) 若$y$轴上存在一点$M$,使$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,求点$M$的坐标.
(1) 求$a,b$的值;
(2) 若$y$轴上存在一点$M$,使$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,求点$M$的坐标.
答案
2.（1）$a=-2,b=3$ （2）$(0,5)$或$(0,-5)$
【详解】(1) 解:
∵ $|a+2|+\sqrt{b-3}=0$,$|a+2|≥0$,$\sqrt{b-3}≥0$,
∴ $|a+2|=0$,$\sqrt{b-3}=0$,
∴ $a+2=0,b-3=0$,解得:$a=-2,b=3$;
(2) 解:
∵ $a=-2,b=3$,
∴ $A(-2,0)$,$B(3,0)$.
∴ $AB=3-(-2)=5$.
∵ $C(-1,2)$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×2=5$.
∵ 在 $y$ 轴上存在一点 $M$,使$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,
∴ $\frac{1}{2}×OM×1=\frac{1}{2}×5$,解得:$OM=5$,即点 $M$ 的坐标是$(0,5)$或$(0,-5)$.
【详解】(1) 解:
∵ $|a+2|+\sqrt{b-3}=0$,$|a+2|≥0$,$\sqrt{b-3}≥0$,
∴ $|a+2|=0$,$\sqrt{b-3}=0$,
∴ $a+2=0,b-3=0$,解得:$a=-2,b=3$;
(2) 解:
∵ $a=-2,b=3$,
∴ $A(-2,0)$,$B(3,0)$.
∴ $AB=3-(-2)=5$.
∵ $C(-1,2)$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×2=5$.
∵ 在 $y$ 轴上存在一点 $M$,使$S_{△ COM}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,
∴ $\frac{1}{2}×OM×1=\frac{1}{2}×5$,解得:$OM=5$,即点 $M$ 的坐标是$(0,5)$或$(0,-5)$.
3. 已知,点 $ P(2m, m+2) $ 是平面直角坐标系内的一个点.
(1) 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,求 $ m $ 的值;
(2) 若点 $ P $ 的横坐标比纵坐标大 3,求点 $ P $ 的坐标.
(1) 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,求 $ m $ 的值;
(2) 若点 $ P $ 的横坐标比纵坐标大 3,求点 $ P $ 的坐标.
答案
3.（1）$-2$ （2）$P(10,7)$
【详解】(1) 解:
∵ 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,
∴ $m+2=0$,即 $m=-2$;
(2) 解:
∵ 点 $ P $ 的横坐标比纵坐标大 3,
∴ $2m=m+2+3$,即 $m=5$.
∵ $2m=10$,$m+2=7$,
∴ $P(10,7)$.
【详解】(1) 解:
∵ 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,
∴ $m+2=0$,即 $m=-2$;
(2) 解:
∵ 点 $ P $ 的横坐标比纵坐标大 3,
∴ $2m=m+2+3$,即 $m=5$.
∵ $2m=10$,$m+2=7$,
∴ $P(10,7)$.
1. 如图,已知点$A(0,1),B(0,5),C(5,7),D(2,-1)$.
(1) 求四边形$ABCD$的面积;
(2) 在$x$轴上找一点$P$,使$△ APB$的面积等于四边形$ABCD$面积的三分之一,求点$P$的坐标.
(1) 求四边形$ABCD$的面积;
(2) 在$x$轴上找一点$P$,使$△ APB$的面积等于四边形$ABCD$面积的三分之一,求点$P$的坐标.
答案
1.（1）21 （2）$(-\frac{7}{2},0)$或$(\frac{7}{2},0)$
【详解】(1) 解:如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ y$ 轴于点 $E$,过点 $D$ 作 $DF⊥ y$ 轴于点 $F$.
∵ 点 $A(0,1)$,$B(0,5)$,$C(5,7)$,$D(2,-1)$,
∴ 点 $E(0,7)$,$F(0,-1)$.
∴ $BE=2$,$AB=4$,$AF=2$,$EF=8$,$CE=5$,$DF=2$.
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{梯形CEFD}-S_{△ CBE}-S_{△ DAF}=\frac{1}{2}(CE+DF)· EF-\frac{1}{2}· CE· BE-\frac{1}{2}· DF· AF=\frac{1}{2}(5+2)×8-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×2×2=21$;
(2)
∵ $S_{四边形ABCD}=21$,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}=7$.
∵ 点 $P$ 在 $x$ 轴上,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· OP=\frac{1}{2}×4OP=7$.
∴ $OP=\frac{7}{2}$.
∴ 点 $P$ 的坐标为$(-\frac{7}{2},0)$或$(\frac{7}{2},0)$.
【详解】(1) 解:如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ y$ 轴于点 $E$,过点 $D$ 作 $DF⊥ y$ 轴于点 $F$.
∵ 点 $A(0,1)$,$B(0,5)$,$C(5,7)$,$D(2,-1)$,
∴ 点 $E(0,7)$,$F(0,-1)$.
∴ $BE=2$,$AB=4$,$AF=2$,$EF=8$,$CE=5$,$DF=2$.
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{梯形CEFD}-S_{△ CBE}-S_{△ DAF}=\frac{1}{2}(CE+DF)· EF-\frac{1}{2}· CE· BE-\frac{1}{2}· DF· AF=\frac{1}{2}(5+2)×8-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×2×2=21$;
(2)
∵ $S_{四边形ABCD}=21$,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{3}S_{四边形ABCD}=7$.
∵ 点 $P$ 在 $x$ 轴上,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· OP=\frac{1}{2}×4OP=7$.
∴ $OP=\frac{7}{2}$.
∴ 点 $P$ 的坐标为$(-\frac{7}{2},0)$或$(\frac{7}{2},0)$.
2. 如图,已知图中点 A 和点 B 的坐标分别为$(2,-4)$和$(-2,2)$.
（1）请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；
（2）写出点 C 的坐标为________；
（3）连接 AB,BC 和 CA 得$△ ABC$,在 y 轴的负半轴有点 D 满足$S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$,则点 D 的坐标为________,$S_{△ DBC}=\_\_\_\_\_\_$个平方单位.
（1）请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；
（2）写出点 C 的坐标为________；
（3）连接 AB,BC 和 CA 得$△ ABC$,在 y 轴的负半轴有点 D 满足$S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$,则点 D 的坐标为________,$S_{△ DBC}=\_\_\_\_\_\_$个平方单位.
答案
2.（1）见解析 （2）$(3,2)$ （3）$(0,-4);15$
【详解】(1) 解:根据图中点 A 和点 B 的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向,得到直角坐标系如图1:
(2) 解:根据直角坐标系的特点,得到点 C 的坐标为:$(3,2)$.故答案为:$(3,2)$;
(3) 解:如图2:
根据点在直角坐标系中的位置,得到$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×6=15$,假设点 D 的坐标为$(0,a)$,∴ $S_{△ DBC}=\frac{1}{2}×|BC|×|a-2|=\frac{1}{2}×5×|a-2|$,又
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$,
∴ $S_{△ DBC}=\frac{1}{2}×5×|a-2|=15$,
∴ $|a-2|=6$,
∴ $a=8$或$a=-4$,
∵ D 在 y 轴的负半轴,
∴ $a=-4$,故 D 的坐标为$(0,-4)$,$S_{△ DBC}=15$ 个平方单位,故答案为:$(0,-4);15$.
