1. 如图,将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为15 cm,高8 cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的取值范围是()


A.$h≤ 17\ \mathrm{cm}$
B.$h≥ 8\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}≤ h≤ 16\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}≤ h≤ 16\ \mathrm{cm}$

D

我们分两种极端情况计算筷子在杯内的长度，结合总筷长24cm推导h的范围：
1. 当筷子竖直放置时，杯内筷子长度最短，等于水杯的高8cm，此时露在外面的长度h最大：$h_{max}=24-8=16\ \mathrm{cm}$。
2. 当筷子斜放，两端分别落在杯底边缘和杯口的对侧边缘时，杯内筷子长度最长，由勾股定理得杯内最长长度为$\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=17\ \mathrm{cm}$，此时露在外面的长度h最小：$h_{min}=24-17=7\ \mathrm{cm}$。
因此h的取值范围是$7\ \mathrm{cm}≤ h≤ 16\ \mathrm{cm}$。

2.在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫作勾,长的直角边叫作股,斜边叫作弦.古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;….若此类勾股数的勾为$2m(m≥ 3,m$为正整数),则其弦(结果用含$m$的式子表示)是()

A.$4m^2 - 1$
B.$4m^2 + 1$
C.$m^2 - 1$
D.$m^2 + 1$

D

根据题意，勾为$2m$，弦是斜边，长度大于股，且弦与股相差为2，设股为$x$，则弦为$x+2$。
由勾股定理列等式：$(2m)^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开右边得：$4m^2 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
消去两边的$x^2$，整理得：$4m^2 = 4x + 4$，解得$x = m^2 -1$
因此弦为$x+2 = m^2 -1 + 2 = m^2 +1$

3. 观察:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.则$m+n=$.

225

观察已知的勾股数组可总结规律：
1. 每组的第一个数为从3开始的连续奇数，后两个数是连续的正整数；
2. 每组满足：第一个数的平方等于后两个数的和，即：
$3^2=4+5=9$，$5^2=12+13=25$，$7^2=24+25=49$，$9^2=40+41=81$。
对数组15,m,n，代入规律可得$m+n=15^2=225$。

4.若正整数$a,n$满足$a^2 + n^2 = (n+1)^2$，这样的三个整数$a,n,n+1$(如：3,4,5或5,12,13)我们称为一组“完美勾股数”.当$n＜115$时，共有________组这样的“完美勾股数”.

7

我们先对给定的等式进行化简推导：
1. 展开等式右侧：$a^2 + n^2 = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$，消去两边的$n^2$，可得$a^2 = 2n + 1$，变形得$n=\frac{a^2-1}{2}$。
2. 由于$a,n$都是正整数，$a^2=2n+1$是奇数，因此$a$必须为正奇数。
3. 根据条件$n＜115$，代入$n=\frac{a^2-1}{2}$得：$\frac{a^2-1}{2}＜115$，整理得$a^2＜231$。
4. 计算得$\sqrt{231}\approx15.2$，排除$a=1$（此时$n=0$不是正整数），符合条件的正奇数$a$为3、5、7、9、11、13、15，共7个，对应7组满足要求的“完美勾股数”。

5.如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB的长度为1尺.将它往前水平推送10尺,即$A'C=10$尺,此时秋千的踏板离地距离$A'D$和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为________尺.

14.5

设绳索OA的长为x尺，由运动过程中绳索长度不变，可得OA'=OA=x尺。
已知AB=1尺，A'D=5尺，A'C为水平线段，AB、A'D均垂直于地面，因此可得OC的长度为：
OC = OA - (A'D - AB) = x - (5 - 1) = (x - 4)尺
在Rt△OCA'中，∠OCA'=90°，A'C=10尺，根据勾股定理：
$OC^2 + A'C^2 = OA'^2$
代入对应线段长度得方程：
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 -8x +16 +100 = x^2$
消去$x^2$后解得：$8x=116$，即$x=14.5$。

7.定义:如图,点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB 三段,若以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,则称 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.
(1)已知点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB 三段,若$AM=1.5$,$MN=2.5$,$NB=2$,则 M,N 是线段 AB 的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,且 AM 为直角边,若$AB=24$,$AM=6$,求 NB 的长.

(1) M,N是线段AB的勾股分割点；(2) NB的长为8或10。

(1) M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
分别计算三条线段的平方：
$AM^2=1.5^2=2.25$，$NB^2=2^2=4$，$MN^2=2.5^2=6.25$
可得 $AM^2 + NB^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = MN^2$，满足勾股定理，因此以AM、MN、NB为边可以构成直角三角形，故M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$NB=x$，由$AB=24$，$AM=6$，可得$MN=AB-AM-NB=24-6-x=18-x$。
已知AM为直角边，根据勾股分割点的定义，分两种情况讨论：
① 若MN为斜边：满足$AM^2 + NB^2 = MN^2$，代入数值：
$6^2 + x^2 = (18-x)^2$
展开化简得：$36+x^2=324-36x+x^2$，解得$x=8$。
② 若NB为斜边：满足$AM^2 + MN^2 = NB^2$，代入数值：
$6^2 + (18-x)^2 = x^2$
展开化简得：$36+324-36x+x^2=x^2$，解得$x=10$。
两种结果均符合线段长度为正的要求，因此NB的长为8或10。