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8. 比较大小：$3\sqrt{2}$
＞
$\sqrt{17}$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
8.＞
解析
【分析】
比较两个正的带根号实数的大小，可采用平方法：正数的平方越大，对应的原数也越大。我们只需要分别计算两个数的平方，去掉根号后转化为整数比较大小，就能得到结果。
【解析】
因为两个数均为正数，分别计算平方：
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
$(\sqrt{17})^2=17$
由于$18＞17$，且正数中平方更大的数本身更大，因此$3\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
【答案】
＞
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题属于二次根式大小比较的基础题，平方法是解决这类问题的常用基础技巧，运算量小，掌握对应方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
比较两个正的带根号实数的大小，可采用平方法：正数的平方越大，对应的原数也越大。我们只需要分别计算两个数的平方，去掉根号后转化为整数比较大小，就能得到结果。
【解析】
因为两个数均为正数，分别计算平方：
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
$(\sqrt{17})^2=17$
由于$18＞17$，且正数中平方更大的数本身更大，因此$3\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
【答案】
＞
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题属于二次根式大小比较的基础题，平方法是解决这类问题的常用基础技巧，运算量小，掌握对应方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9. 八年级甲、乙两班的学生人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：$\bar{x}_甲 = \bar{x}_乙 = 85$，$s^2_甲 = 100$，$s^2_乙 = 80$，则成绩较稳定的是
乙
班。答案
9.乙
解析
【分析】
要判断哪个班成绩更稳定，首先需要明确衡量数据稳定性的统计量是方差。解题思路为：第一步回忆方差的性质，方差是反映一组数据波动大小的量，在平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；第二步对比甲、乙两班的方差大小；第三步结合方差性质得出结论。
【解析】
方差的意义是衡量一组数据的离散程度（波动大小），当两组数据的平均数相同时，方差越小，说明数据波动越小，成绩越稳定。
已知两班平均分相同，$s^2_甲 = 100$，$s^2_乙 = 80$，可得$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，因此乙班的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是基础应用题，核心考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握方差的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断哪个班成绩更稳定，首先需要明确衡量数据稳定性的统计量是方差。解题思路为：第一步回忆方差的性质，方差是反映一组数据波动大小的量，在平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；第二步对比甲、乙两班的方差大小；第三步结合方差性质得出结论。
【解析】
方差的意义是衡量一组数据的离散程度（波动大小），当两组数据的平均数相同时，方差越小，说明数据波动越小，成绩越稳定。
已知两班平均分相同，$s^2_甲 = 100$，$s^2_乙 = 80$，可得$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，因此乙班的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是基础应用题，核心考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握方差的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 已知方程组$\begin{cases}x - y = 3, \\2x - y = -2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -5, \\y = -8.\end{cases}$则直线$y = x - 3$与直线$y = 2x + 2$的交点坐标为 ______ .
答案
10.(-5,-8)
解析
【分析】
解题思路：首先要明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此联立两条直线解析式得到的二元一次方程组的解，就是交点的横、纵坐标。接下来将题目给出的两条直线解析式变形后，对比已知的方程组，会发现二者完全相同，直接套用已知的方程组解就能得到交点坐标。
【解析】
解：两条直线的交点坐标是联立两条直线解析式所得二元一次方程组的解。
对直线$y=x-3$移项可得：$x-y=3$；
对直线$y=2x+2$移项可得：$2x-y=-2$。
联立两个方程得到的方程组为$\begin{cases}x - y = 3, \\2x - y = -2\end{cases}$，与题目给出的已知方程组一致。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x = -5, \\y = -8\end{cases}$，因此两条直线的交点坐标为$(-5,-8)$。
【答案】
$(-5,-8)$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 两直线交点的求解
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解一次函数图象交点和对应联立方程组的解的对应关系，掌握该知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先要明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此联立两条直线解析式得到的二元一次方程组的解，就是交点的横、纵坐标。接下来将题目给出的两条直线解析式变形后，对比已知的方程组，会发现二者完全相同，直接套用已知的方程组解就能得到交点坐标。
【解析】
解：两条直线的交点坐标是联立两条直线解析式所得二元一次方程组的解。
对直线$y=x-3$移项可得：$x-y=3$；
对直线$y=2x+2$移项可得：$2x-y=-2$。
联立两个方程得到的方程组为$\begin{cases}x - y = 3, \\2x - y = -2\end{cases}$，与题目给出的已知方程组一致。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x = -5, \\y = -8\end{cases}$，因此两条直线的交点坐标为$(-5,-8)$。
【答案】
$(-5,-8)$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 两直线交点的求解
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解一次函数图象交点和对应联立方程组的解的对应关系，掌握该知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11. 计算：
(1) $\frac{1}{2} × (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{3}{4} × (\sqrt{2} + \sqrt{27})$；
(2) $(\sqrt{6} - \sqrt{5}) × (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$。
(1) $\frac{1}{2} × (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{3}{4} × (\sqrt{2} + \sqrt{27})$；
(2) $(\sqrt{6} - \sqrt{5}) × (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$。
答案
11.解:(1)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{7\sqrt{3}}{4}$.
(2)原式$=6-5+12-12\sqrt{6}+18=31-12\sqrt{6}$.
(2)原式$=6-5+12-12\sqrt{6}+18=31-12\sqrt{6}$.
解析
【分析】
(1) 解第一小题时，首先利用乘法分配律去掉括号，同时将非最简二次根式$\sqrt{27}$化简为$3\sqrt{3}$，再将被开方数相同的同类二次根式合并，合并时仅需计算系数的加减，被开方数保持不变即可。
(2) 解第二小题时，观察到第一个乘积符合平方差公式的结构，第二个乘方符合完全平方公式的结构，分别套用两个公式展开能大幅简化运算，展开后再合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 去括号并化简$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}×3\sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$部分：$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\sqrt{3}$部分：$\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=-\frac{7\sqrt{3}}{4}$
即结果为$-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{7\sqrt{3}}{4}$。
(2) 分别套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2\\&=6-5+12-12\sqrt{6}+18\end{aligned}$
合并常数项得$6-5+12+18=31$，即结果为$31-12\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{7\sqrt{3}}{4}$；(2) $31-12\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题核心是熟练掌握二次根式化简规则、同类二次根式合并方法以及乘法公式的灵活运用，计算时要注意系数符号和运算准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
(1) 解第一小题时，首先利用乘法分配律去掉括号，同时将非最简二次根式$\sqrt{27}$化简为$3\sqrt{3}$，再将被开方数相同的同类二次根式合并，合并时仅需计算系数的加减，被开方数保持不变即可。
(2) 解第二小题时，观察到第一个乘积符合平方差公式的结构，第二个乘方符合完全平方公式的结构，分别套用两个公式展开能大幅简化运算，展开后再合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 去括号并化简$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}×3\sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$部分：$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\sqrt{3}$部分：$\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=-\frac{7\sqrt{3}}{4}$
即结果为$-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{7\sqrt{3}}{4}$。
(2) 分别套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2\\&=6-5+12-12\sqrt{6}+18\end{aligned}$
合并常数项得$6-5+12+18=31$，即结果为$31-12\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{7\sqrt{3}}{4}$；(2) $31-12\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题核心是熟练掌握二次根式化简规则、同类二次根式合并方法以及乘法公式的灵活运用，计算时要注意系数符号和运算准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
12. 我们知道，四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，其中O是坐标原点，AO=2，BO=3，BC=4，点A，B是固定点，把矩形ABCD沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（
A.$(2\sqrt{3},3)$
B.$(2\sqrt{3},5)$
C.$(3,2\sqrt{3})$
D.$(5,2\sqrt{3})$
D
）A.$(2\sqrt{3},3)$
B.$(2\sqrt{3},5)$
C.$(3,2\sqrt{3})$
D.$(5,2\sqrt{3})$
答案
12.D
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住四边形推拉过程中边长不变的特点：原矩形的边AD、AB的长度在推拉后保持不变，即AD'=AD，D'C'=AB。首先利用勾股定理求出y轴上点D'的纵坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，即可推出点C'的坐标。
【解析】
解：
∵原矩形ABCD中，AO=2，BO=3，BC=4
∴AB=AO+BO=2+3=5，AD=BC=4
矩形沿箭头方向推得到平行四边形ABC'D'，边长不变，因此：
AD'=AD=4，D'C'=AB=5，且D'C'//AB（平行四边形对边平行且相等）
∵点D'在y轴正半轴上，△AOD'为直角三角形
由勾股定理得：$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴点D'的坐标为$(0, 2\sqrt{3})$
∵D'C'//AB（AB在x轴上），因此C'的纵坐标与D'相同，为$2\sqrt{3}$
C'的横坐标为D'横坐标加上D'C'的长度：$0+5=5$
∴点C'的坐标为$(5, 2\sqrt{3})$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，平行四边形的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题属于图形变换类基础题，解题核心是明确四边形变形过程中对应边长度不变的特性，结合坐标系的特点和几何性质即可求解，易错点是容易记错AB的长度或者混淆横纵坐标。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要抓住四边形推拉过程中边长不变的特点：原矩形的边AD、AB的长度在推拉后保持不变，即AD'=AD，D'C'=AB。首先利用勾股定理求出y轴上点D'的纵坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，即可推出点C'的坐标。
【解析】
解：
∵原矩形ABCD中，AO=2，BO=3，BC=4
∴AB=AO+BO=2+3=5，AD=BC=4
矩形沿箭头方向推得到平行四边形ABC'D'，边长不变，因此：
AD'=AD=4，D'C'=AB=5，且D'C'//AB（平行四边形对边平行且相等）
∵点D'在y轴正半轴上，△AOD'为直角三角形
由勾股定理得：$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴点D'的坐标为$(0, 2\sqrt{3})$
∵D'C'//AB（AB在x轴上），因此C'的纵坐标与D'相同，为$2\sqrt{3}$
C'的横坐标为D'横坐标加上D'C'的长度：$0+5=5$
∴点C'的坐标为$(5, 2\sqrt{3})$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，平行四边形的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题属于图形变换类基础题，解题核心是明确四边形变形过程中对应边长度不变的特性，结合坐标系的特点和几何性质即可求解，易错点是容易记错AB的长度或者混淆横纵坐标。
【难度系数】
0.7
13. 在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，EG,FH相交于点O。若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为 （
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
A
）A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
答案
13.A
解析
【分析】
解题时先利用三角形中位线定理判断顺次连接四边形各边中点得到的中点四边形的形状：第一步连接原四边形的两条对角线，通过中位线性质证明中点四边形是平行四边形；再结合题目给出的“原四边形对角线相等”的条件，推导中点四边形为菱形；最后根据菱形对角线的性质，即可得到EG与FH的关系。
【解析】
连接AC、BD：
1. 证明中点四边形是平行四边形：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得，HG是△ADC的中位线，$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
∴$EF// HG$且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 结合对角线相等推导特殊平行四边形：
已知四边形ABCD的对角线相等，即$AC=BD$。
∵EH是△ABD的中位线，
∴$EH=\frac{1}{2}BD$，结合$EF=\frac{1}{2}AC$，可得$EF=EH$。
邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形EFGH是菱形。
3. 由菱形性质得结论：
菱形的对角线互相垂直平分，EG、FH是菱形EFGH的两条对角线，因此EG与FH互相垂直平分。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的性质
【点评】
本题核心考查中点四边形的形状推导，解题的关键是建立原四边形对角线与中点四边形边的关联，掌握特殊平行四边形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形中位线定理判断顺次连接四边形各边中点得到的中点四边形的形状：第一步连接原四边形的两条对角线，通过中位线性质证明中点四边形是平行四边形；再结合题目给出的“原四边形对角线相等”的条件，推导中点四边形为菱形；最后根据菱形对角线的性质，即可得到EG与FH的关系。
【解析】
连接AC、BD：
1. 证明中点四边形是平行四边形：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得，HG是△ADC的中位线，$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
∴$EF// HG$且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 结合对角线相等推导特殊平行四边形：
已知四边形ABCD的对角线相等，即$AC=BD$。
∵EH是△ABD的中位线，
∴$EH=\frac{1}{2}BD$，结合$EF=\frac{1}{2}AC$，可得$EF=EH$。
邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形EFGH是菱形。
3. 由菱形性质得结论：
菱形的对角线互相垂直平分，EG、FH是菱形EFGH的两条对角线，因此EG与FH互相垂直平分。
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的性质
【点评】
本题核心考查中点四边形的形状推导，解题的关键是建立原四边形对角线与中点四边形边的关联，掌握特殊平行四边形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
