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8. 小佳将两个全等的直角三角板（含$30°$角）的直角边重合拼成如图9、图10所示的四边形ABCD.
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形.
（2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图9、图10中选择一个图形，求对角线AC的长度.
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形.
（2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图9、图10中选择一个图形，求对角线AC的长度.
答案
8.（1）证明：
∵两个直角三角板全等，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）（答案不唯一）示例：选择图9，如答图11
，连接AC，与BD交于点O. $\because∠ CBD=30°$，$∠ CDB=90°$，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，$\therefore BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=6\sqrt{3}$. $\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{3}$，$AC=2OC$. 在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=3\sqrt{7}$，$\therefore AC=2OC=6\sqrt{7}$
解析
【分析】
（1）要证明四边形ABCD是平行四边形，可依据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。已知两个直角三角板全等，可得到对应边相等，进而推出四边形的两组对边分别相等，即可完成证明。
（2）若选择图9计算AC长度，首先利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边CD、BD的长度；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，得到OD的长度；最后在Rt△CDO中运用勾股定理求出OC的长度，将OC长度乘2即可得到AC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵两个直角三角板全等，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）选择图9求解：
如答图11，连接AC，与BD交于点O。
$\because∠ CBD=30°$，$∠ CDB=90°$，斜边BC=12，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$。
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{3}$，$AC=2OC$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{27+36}=3\sqrt{7}$，
$\therefore AC=2OC=2×3\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
【答案】
（1）四边形ABCD为平行四边形，证明成立；
（2）选择图9时，对角线AC的长度为$6\sqrt{7}$，参考答图11。（答案不唯一，选择图10计算正确即可）
【知识点】
平行四边形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以直角三角板拼接为背景，综合考查了平行四边形的相关知识与直角三角形的性质，侧重基础知识点的融合应用，解题时需要结合图形特征灵活选择对应的几何性质推导计算。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ABCD是平行四边形，可依据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。已知两个直角三角板全等，可得到对应边相等，进而推出四边形的两组对边分别相等，即可完成证明。
（2）若选择图9计算AC长度，首先利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边CD、BD的长度；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，得到OD的长度；最后在Rt△CDO中运用勾股定理求出OC的长度，将OC长度乘2即可得到AC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵两个直角三角板全等，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）选择图9求解：
如答图11
，连接AC，与BD交于点O。$\because∠ CBD=30°$，$∠ CDB=90°$，斜边BC=12，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$。
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{3}$，$AC=2OC$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{27+36}=3\sqrt{7}$，
$\therefore AC=2OC=2×3\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
【答案】
（1）四边形ABCD为平行四边形，证明成立；
（2）选择图9时，对角线AC的长度为$6\sqrt{7}$，参考答图11
。（答案不唯一，选择图10计算正确即可）【知识点】
平行四边形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题以直角三角板拼接为背景，综合考查了平行四边形的相关知识与直角三角形的性质，侧重基础知识点的融合应用，解题时需要结合图形特征灵活选择对应的几何性质推导计算。
【难度系数】
0.7
9. 工厂需紧急加工一批零件，由于材料不足，需要在正方形铁皮上裁出一个菱形. 工人师傅进行了如下操作：如图 11 为正方形 ABCD，在对角线 AC 上取一点 E.
（1）请你帮助工人师傅进行后续操作：用尺规在对角线 AC 上作线段 CF，使得 $CF=AE$（保留作图痕迹），连接线段 DE，EB，BF，FD.
（2）按照工人师傅的操作，得到的四边形 BEDF 是菱形吗？请说明理由.
（1）请你帮助工人师傅进行后续操作：用尺规在对角线 AC 上作线段 CF，使得 $CF=AE$（保留作图痕迹），连接线段 DE，EB，BF，FD.
（2）按照工人师傅的操作，得到的四边形 BEDF 是菱形吗？请说明理由.
答案
9.（1）如答图12
所示（2）是. 理由：如答图13
，连接BD交AC于点O. $\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，且$AC⊥ BD$. $\because AE=CF$，$\therefore OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$. 又$\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形BEDF是平行四边形. 又$\because AC⊥ BD$，$\therefore$ 平行四边形BEDF是菱形解析
【分析】
（1）第一问是尺规作等长线段，可利用圆规截取等长线段的功能，先量取AE的长度，再以点C为圆心、AE长为半径画弧，与AC的交点即为点F，即可得到CF=AE，最后按要求连接对应线段即可。
（2）第二问判断四边形是否为菱形，可结合菱形判定定理思考：先连接BD交AC于点O，利用正方形对角线互相垂直平分的性质，得到OA=OC、OB=OD、AC⊥BD，再结合AE=CF推导得OE=OF，先证四边形BEDF是平行四边形，再结合对角线垂直的条件即可判定其为菱形。
【解析】
（1）作图过程：①用圆规截取线段AE的长度；②保持圆规开口不变，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，CF即为所求线段，再依次连接DE、EB、BF、FD，保留作图痕迹即可。
（2）判断及证明：
所得四边形BEDF是菱形，理由如下：
连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴其对角线互相垂直平分，即$OA=OC$，$OB=OD$，$AC⊥BD$。
已知$AE=CF$，因此$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
∵四边形BEDF的对角线互相平分（$OE=OF$，$OB=OD$），
∴四边形BEDF是平行四边形。
又
∵$AC⊥BD$，即该平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形BEDF是菱形。
【答案】
9.（1）如答图12所示
（2）是. 理由：如答图13，连接BD交AC于点O. $\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，且$AC⊥ BD$. $\because AE=CF$，$\therefore OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$. 又$\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形BEDF是平行四边形. 又$\because AC⊥ BD$，$\therefore$ 平行四边形BEDF是菱形
【知识点】
尺规作图；正方形的性质；菱形的判定
【点评】
本题结合了动手操作与逻辑证明，既考查了基本尺规作图的能力，也考查了对特殊四边形性质、判定定理的掌握与运用，是四边形模块的典型基础题，理清特殊四边形的性质与判定逻辑是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是尺规作等长线段，可利用圆规截取等长线段的功能，先量取AE的长度，再以点C为圆心、AE长为半径画弧，与AC的交点即为点F，即可得到CF=AE，最后按要求连接对应线段即可。
（2）第二问判断四边形是否为菱形，可结合菱形判定定理思考：先连接BD交AC于点O，利用正方形对角线互相垂直平分的性质，得到OA=OC、OB=OD、AC⊥BD，再结合AE=CF推导得OE=OF，先证四边形BEDF是平行四边形，再结合对角线垂直的条件即可判定其为菱形。
【解析】
（1）作图过程：①用圆规截取线段AE的长度；②保持圆规开口不变，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，CF即为所求线段，再依次连接DE、EB、BF、FD，保留作图痕迹即可。
（2）判断及证明：
所得四边形BEDF是菱形，理由如下：
连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴其对角线互相垂直平分，即$OA=OC$，$OB=OD$，$AC⊥BD$。
已知$AE=CF$，因此$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
∵四边形BEDF的对角线互相平分（$OE=OF$，$OB=OD$），
∴四边形BEDF是平行四边形。
又
∵$AC⊥BD$，即该平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形BEDF是菱形。
【答案】
9.（1）如答图12
所示（2）是. 理由：如答图13
，连接BD交AC于点O. $\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，且$AC⊥ BD$. $\because AE=CF$，$\therefore OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$. 又$\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形BEDF是平行四边形. 又$\because AC⊥ BD$，$\therefore$ 平行四边形BEDF是菱形【知识点】
尺规作图；正方形的性质；菱形的判定
【点评】
本题结合了动手操作与逻辑证明，既考查了基本尺规作图的能力，也考查了对特殊四边形性质、判定定理的掌握与运用，是四边形模块的典型基础题，理清特殊四边形的性质与判定逻辑是解题的核心。
【难度系数】
0.7
