5. 如图，已知$∠ ABC=60°$，点P在边AB上，$BP=10$，点E，F在边BC上，$PE=PF$. 若$BE=2$，则EF的长为（）

A.6
B.5
C.4
D.3

5. A

【分析】
要解决本题，首先由PE=PF可知△PEF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过P作BC的垂线，该垂线会平分EF，因此只需要求出EF一半的长度即可。结合已知∠ABC=60°，BP=10，可利用含30°角的直角三角形的性质求出垂足到点B的距离，再结合BE的长度求出EF一半的长度，最终得到EF的长。
【解析】
过点P作$PM ⊥ BC$，垂足为M。
1. 因为$PE=PF$，$PM ⊥ EF$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$EM=FM=\frac{1}{2}EF$。
2. 在$Rt△ BPM$中，$∠ B=60°$，因此$∠ BPM=90°-60°=30°$。根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$BM=\frac{1}{2}BP$。
3. 已知$BP=10$，代入得$BM=\frac{1}{2} × 10=5$。
4. 又已知$BE=2$，因此$EM=BM-BE=5-2=3$。
5. 所以$EF=2EM=2 × 3=6$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是合理添加辅助线，将等腰三角形的性质和特殊直角三角形的性质结合起来求解，属于基础的几何应用类题目，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=40\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$出发在$AB$边上沿$A\rightarrow B$方向匀速运动，速度为$v_P=2\ \mathrm{cm/s}$，动点$Q$从点$B$出发在$BC$边上沿$B\rightarrow C$方向匀速运动，速度为$v_Q=1\ \mathrm{cm/s}$。当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动，则当点$P$运动$\mathrm{s}$时，$△ PBQ$为直角三角形。

6. 10或16

【分析】
首先根据Rt△ABC中30°角的性质求出BC的长度和∠B的度数，设点P的运动时间为t s，用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度。由于△PBQ为直角三角形时直角顶点不确定，且∠B=60°不可能为直角，因此分两种情况讨论：①∠PQB为直角；②∠QPB为直角，分别结合直角三角形30°角对的直角边等于斜边的一半列方程求解，最后验证解是否符合运动的取值范围即可。
【解析】
解：设点P的运动时间为t s。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=40 cm，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，$BC=\frac{1}{2}AB=20\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB=AB-AP=(40-2t)\ \mathrm{cm}$，且t的取值范围为$0\le t\le20$。
△PBQ为直角三角形，分两种情况讨论：
（1）当∠PQB=90°时，$∠ BPQ=90°-∠ B=30°$，
根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即 $t=\frac{1}{2}(40-2t)$，
解得：$t=10$，符合取值范围；
（2）当∠QPB=90°时，$∠ PQB=90°-∠ B=30°$，
同理可得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即 $40-2t=\frac{1}{2}t$，
解得：$t=16$，此时$BQ=16\ \mathrm{cm}＜20\ \mathrm{cm}$，符合取值范围。
综上，t的值为10或16。
【答案】
10或16
【知识点】
直角三角形30°角的性质；动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与直角三角形判定结合的综合题，解题的核心是明确直角顶点的不确定情况，分情况列方程求解，同时要注意检验解是否符合实际运动要求，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6

7. 如图，在$△ ABC$中，点D在AB上，$∠ A=∠ BCD$，$CD=16$，$∠ BDC=60°$，延长CB至点E，使$CE=AC$，过点E作$EF⊥ CD$于点F，交AB于点G，若$DG:AD=8:5$，求DF的长。

7. 解：如图所示，过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，$\therefore ∠AHC=90°$，$\because ∠BDC=60°$，$\therefore ∠DCH=30°$，$\because CD=16$，$\therefore DH=\frac{1}{2}CD=8$，$\because EF ⊥ CD$，$\therefore ∠ GFD = ∠ EFC = 90°$，在 $△ AHC$ 和 $△ CFE$ 中，$\begin{cases}∠AHC=∠CFE,\\∠A=∠BCD,\\AC=CE,\end{cases}$ $\therefore △ AHC ≌ △ CFE$ (AAS)，$\therefore AH=CF$，$\because ∠BDC=60°$，$∠DFG=90°$，$\therefore ∠DGF=30°$，$\therefore DG=2DF$，设 $DF=x$，则 $DG=2DF=2x$，$CF=CD-DF=16-x$，$\because DG:AD=8:5$，$\therefore AD=\frac{5}{8}DG=\frac{5}{4}x$，$\because AH=AD+DH$，$AH=CF$，$\therefore \frac{5}{4}x+8=16-x$，$\therefore \frac{9}{4}x=8$，解得 $x=\frac{32}{9}$，$\therefore DF=\frac{32}{9}$。

【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：题目给出∠A=∠BCD、AC=CE，还有多处垂直关系，优先考虑构造全等三角形转化边的等量关系。第一步，过点C作CH⊥AB，既可以利用∠BDC=60°得到含30°角的Rt△CDH，直接求出DH的长度，又能得到与△CFE对应的直角，满足AAS全等的判定条件；第二步，证明△AHC≌△CFE，得到AH=CF的核心等量关系；第三步，利用Rt△DGF中∠DGF=30°的性质推出DG=2DF，再结合DG:AD=8:5的比例，把AD用DF表示；最后根据AH=AD+DH=CF建立方程，求解即可得到DF的长度。
【解析】
过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，$\therefore ∠AHC=90°$，
$\because ∠BDC=60°$，$\therefore ∠DCH=30°$，
$\because CD=16$，$\therefore DH=\frac{1}{2}CD=8$，
$\because EF ⊥ CD$，$\therefore ∠ GFD = ∠ EFC = 90°$，
在 $△ AHC$ 和 $△ CFE$ 中，
$\begin{cases}∠AHC=∠CFE,\\∠A=∠BCD,\\AC=CE,\end{cases}$
$\therefore △ AHC ≌ △ CFE$ (AAS)，$\therefore AH=CF$，
$\because ∠BDC=60°$，$∠DFG=90°$，$\therefore ∠DGF=30°$，$\therefore DG=2DF$，
设 $DF=x$，则 $DG=2DF=2x$，$CF=CD-DF=16-x$，
$\because DG:AD=8:5$，$\therefore AD=\frac{5}{8}DG=\frac{5}{4}x$，
$\because AH=AD+DH$，$AH=CF$，
$\therefore \frac{5}{4}x+8=16-x$，
解得 $x=\frac{32}{9}$。
【答案】
$DF=\frac{32}{9}$
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 方程法解几何题
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，作辅助线构造全等三角形是解题的突破口，将全等三角形的性质、特殊直角三角形的性质与方程思想结合考查，能较好地检验学生几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4

8. 已知△ABC为等边三角形，在图1中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q.
(1) 请猜一猜：图1中∠BQM等于多少度？
(2) 若M，N两点分别在线段BC，CA的延长线上，其他条件不变，如图2所示，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由.

8. 解：（1）$∠BQM=60°$. 理由：$\because △ABC$ 是等边三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ABC=∠C=60°$. 在 $△ABM$ 和 $△BCN$ 中，$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABM=∠C,\\BM=CN,\end{cases}$ $\therefore △ABM ≌ △BCN$（SAS），$\therefore ∠BAM=∠CBN$，$\therefore ∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°-∠ABC=120°$，$\therefore ∠BQM=180°-(∠CBN+∠AMB)=60°$.
（2）成立. 理由：$\because △ABC$ 是等边三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ABC=∠ACB=60°$. 在 $△ABM$ 和 $△BCN$ 中，$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABM=∠ACB,\\BM=CN,\end{cases}$ $\therefore △ABM ≌ △BCN$（SAS），$\therefore ∠BAM=∠CBN$，$\therefore ∠CBN + ∠AMB = ∠BAM + ∠AMB =180° - ∠ABC=120°$，$\therefore ∠BQM=180°-(∠CBN+∠AMB)=60°$.

【分析】
（1）求解$∠ BQM$的度数，我们可以从已知条件入手：$△ ABC$是等边三角形，可得到三组边相等、三个内角均为$60°$的条件，再结合已知$BM=CN$，刚好满足证明$△ ABM$和$△ BCN$全等的SAS条件。证明全等后得到对应角$∠ BAM=∠ CBN$，再利用三角形内角和的性质，将$∠ BQM$与等边三角形的$60°$内角关联，即可求出结果。
（2）当M、N移动到延长线上时，解题思路和（1）一致：首先验证全等的三个条件是否仍然成立，等边三角形的边相等、$BM=CN$的条件不变，再判断两个三角形的夹角是否相等，确认后仍可通过SAS证明全等，后续角的推导逻辑和（1）完全相同，即可判断结论是否成立。
【解析】
（1）$∠ BQM=60°$，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=60°$。
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}AB=BC, \\∠ ABM=∠ C, \\BM=CN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ BCN$（SAS），
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN$，
$\therefore ∠ CBN+∠ AMB=∠ BAM+∠ AMB=180°-∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ BQM=180°-(∠ CBN+∠ AMB)=60°$。
（2）结论仍然成立，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
在$△ ABM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}AB=BC, \\∠ ABM=∠ ACB, \\BM=CN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ BCN$（SAS），
$\therefore ∠ BAM=∠ CBN$，
$\therefore ∠ CBN + ∠ AMB = ∠ BAM + ∠ AMB =180° - ∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ BQM=180°-(∠ CBN+∠ AMB)=60°$。
【答案】
（1）$\boxed{∠ BQM=60°}$
（2）$\boxed{结论成立，∠ BQM=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用类题目，核心是通过已知条件构造全等三角形，利用全等的性质实现角的转化求解未知角度；点的位置变化后核心的全等关系不变，需要掌握图形变化中的不变量，学会迁移解题方法。
【难度系数】
0.6