【知识点1】运算顺序
◎式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减.
1. 式子$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则二阶行列式$\begin{vmatrix} a^2 -a & 1 \\ a & \frac{1}{a^2 -1} \end{vmatrix}=$ ______ .
2. 化简：$\frac{x}{x+1} ÷ ( x-1 - \frac{x-1}{x+1} )$.

1. $-\dfrac{a^2}{a+1}$
2. 解：原式$=\dfrac{x}{x+1} ÷ \dfrac{(x-1)(x+1)-x+1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1} ÷ \dfrac{x^2-x}{x+1} = \dfrac{x}{x+1} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} =\dfrac{1}{x-1}$

【分析】
1. 第一题是新定义运算题，首先要严格按照题目给出的二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，对应找到四个位置的代数式代入，将行列式转化为常规的分式运算式，再对分子分母因式分解，按照先乘除后加减的顺序化简即可。
2. 第二题是分式混合运算，遵循运算优先级：有括号先算括号内的运算，先把括号里的整式通分，转化为同分母分式的减法，算出括号内的结果后，再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果。
【解析】
1. 根据二阶行列式运算法则：
$\begin{vmatrix} a^2 -a & 1 \\ a & \frac{1}{a^2 -1} \end{vmatrix}=(a^2-a)·\frac{1}{a^2-1} - 1· a$
先因式分解：$a^2-a=a(a-1)$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入得：
原式$=\frac{a(a-1)}{(a+1)(a-1)} - a = \frac{a}{a+1} - a$
通分计算：
$=\frac{a}{a+1} - \frac{a(a+1)}{a+1} = \frac{a - a^2 - a}{a+1} = -\frac{a^2}{a+1}$
2. 按照分式混合运算顺序计算：
原式$=\frac{x}{x+1} ÷ [ \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{x-1}{x+1} ]$
$=\frac{x}{x+1} ÷ \frac{(x-1)(x+1)-(x-1)}{x+1}$
展开化简分子：$(x-1)(x+1)=x^2-1$，因此分子为$x^2-1 -x +1=x^2-x=x(x-1)$
$=\frac{x}{x+1} ÷ \frac{x(x-1)}{x+1}$
将除法转化为乘以倒数：
$=\frac{x}{x+1} · \frac{x+1}{x(x-1)}$
约去公因式$x$和$x+1$，得：
$=\frac{1}{x-1}$
【答案】
1. $-\dfrac{a^2}{a+1}$
2. $\dfrac{1}{x-1}$
【知识点】
新定义运算、分式混合运算、因式分解
【点评】
这两道题侧重考察运算能力，新定义题型的核心是读懂规则转化为常规运算，分式运算要严格遵循运算顺序，因式分解要准确，约分时注意识别公因式，同时注意运算过程中符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7

【知识点2】实际问题
绿化队原来用漫灌方式浇绿地，$n$天用水$m$ t，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天节约用水多少吨？

解：$\dfrac{m}{n} - \dfrac{m}{n+3} = \dfrac{m(n+3)-mn}{n(n+3)} =\dfrac{3m}{n(n+3)}$(t)，答：现在比原来每天节约用水$\dfrac{3m}{n(n+3)}$ t.

【分析】
要求现在比原来每天节约用水的吨数，需先分别求出原来和现在每天的用水量，再作差计算。第一步，根据“每天用水量=总用水量÷用水天数”，原来n天用水m t，可得原来每天用水量为$\frac{m}{n}$ t；第二步，现在相同的水量可多用3天，即总用水天数为(n+3)天，同理可得现在每天用水量为$\frac{m}{n+3}$ t；第三步，用原来每天的用水量减去现在每天的用水量，再根据分式减法的通分规则化简即可得到结果。
【解析】
解：原来每天的用水量为：$\frac{m}{n}$ t
现在的总用水天数为：$n+3$天，因此现在每天的用水量为：$\frac{m}{n+3}$ t
现在比原来每天节约的用水量为：
$\dfrac{m}{n} - \dfrac{m}{n+3} = \dfrac{m(n+3)-mn}{n(n+3)} =\dfrac{mn+3m - mn}{n(n+3)}=\dfrac{3m}{n(n+3)}$(t)
答：现在比原来每天节约用水$\dfrac{3m}{n(n+3)}$ t。
【答案】
$\dfrac{3m}{n(n+3)}$ t
【知识点】
列代数式、分式的减法运算、分式的实际应用
【点评】
本题结合生活节水场景命题，既考查了学生从实际问题中提取数量关系并列式的能力，也巩固了分式减法的运算规则，解题的关键是找准总用水量对应的用水天数，通分时注意不要漏乘分子的项。
【难度系数】
0.7

【例1】已知$x^2 - x - 1 = 0$，计算$( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} ) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$的值.
【点拨】本题条件是一元二次方程，现在我们还不能处理，因此先化简式子，化简的过程中要注意运算顺序.化简的最后结果中的分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

解：原式$=[\dfrac{2x}{x(x+1)} - \dfrac{x+1}{x(x+1)}] · \dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)} =\dfrac{x-1}{x(x+1)} · \dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)} =\dfrac{x+1}{x^2}$，$\because x^2-x-1=0$，$\therefore x^2=x+1$，$\therefore$ 原式$=\dfrac{x+1}{x+1}=1$.

【分析】
首先观察题目特征，已知条件为一元二次方程，现阶段直接求解x的值较为繁琐，因此遵循“先化简，再求值”的思路解题：第一步先计算括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式运算；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时对分子分母的多项式因式分解，再约分化简得到最简结果；最后对已知方程变形，将$x^2=x+1$整体代入最简式即可求出结果，无需单独计算x的值。
【解析】
解：先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法运算：
原式$=[\dfrac{2x}{x(x+1)} - \dfrac{x+1}{x(x+1)}] · \dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
合并括号内的分式：
$=\dfrac{2x-(x+1)}{x(x+1)} · \dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
$=\dfrac{x-1}{x(x+1)} · \dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$、$x+1$，得最简式：
$=\dfrac{x+1}{x^2}$
由已知$x^2 - x - 1 = 0$，移项可得$x^2 = x + 1$，整体代入最简式：
原式$=\dfrac{x+1}{x+1}=1$（分母不为0，运算有效）
【答案】
$1$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心解题思路是先化简后代入，避免了直接求解未知数的繁琐，重点考察分式通分、约分的运算规则和整体代入的数学思想，运算时要注意符号处理和公因式的准确识别。
【难度系数】
0.7