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1. 甲、乙两数的比为5：6，它们的和为19.8，
则这两个数分别是 （
A.8,9.6
B.9,10.8
C.9.8,10
D.以上都不对
则这两个数分别是 （
B
）A.8,9.6
B.9,10.8
C.9.8,10
D.以上都不对
答案
1.B
解析
【分析】
已知甲乙两数的比和两数的和，我们可以用按比例分配的思路解题：首先把两数的比看成各自占的份数，先算出总份数，再用两数总和除以总份数得到每份对应的数值，最后用每份的数值分别乘甲乙各自的份数，就能求出两个数的值，再对应选项选择即可。
【解析】
步骤1：计算甲乙两数的总份数
由甲乙两数的比为5:6，可得总份数为 $5+6=11$ 份
步骤2：计算1份对应的数值
两数和为19.8，因此每份的数值为 $19.8÷11=1.8$
步骤3：分别计算甲乙两数
甲数：$5×1.8=9$
乙数：$6×1.8=10.8$
因此两个数分别是9和10.8，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
按比例分配、比的应用
【点评】
本题是比的应用类基础题型，解题核心是掌握按比例分配的计算逻辑，先求出每份对应的具体数值，再分别求解各个分量，计算时注意小数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
已知甲乙两数的比和两数的和，我们可以用按比例分配的思路解题：首先把两数的比看成各自占的份数，先算出总份数，再用两数总和除以总份数得到每份对应的数值，最后用每份的数值分别乘甲乙各自的份数，就能求出两个数的值，再对应选项选择即可。
【解析】
步骤1：计算甲乙两数的总份数
由甲乙两数的比为5:6，可得总份数为 $5+6=11$ 份
步骤2：计算1份对应的数值
两数和为19.8，因此每份的数值为 $19.8÷11=1.8$
步骤3：分别计算甲乙两数
甲数：$5×1.8=9$
乙数：$6×1.8=10.8$
因此两个数分别是9和10.8，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
按比例分配、比的应用
【点评】
本题是比的应用类基础题型，解题核心是掌握按比例分配的计算逻辑，先求出每份对应的具体数值，再分别求解各个分量，计算时注意小数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+6y=12, \\3x-2y=8,\end{cases}$则$x+y$的值为（ ）
A.9
B.7
C.5
D.3
A.9
B.7
C.5
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
要解这道题我们有两种思路：一是先通过加减消元或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再将两者相加得到x+y的结果；二是观察方程组两个方程的系数特点，将两个方程左右两侧分别相加，可直接得到x+y的倍数，用整体计算的方法更简便，不需要单独求解x和y的值。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}x+6y=12&① \\3x-2y=8&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x+6y)+(3x-2y)=12+8$
化简得：$4x+4y=20$
等式两边同时除以4，得：$x+y=5$
方法二（常规加减消元法）：
记方程组为$\begin{cases}x+6y=12&① \\3x-2y=8&②\end{cases}$
将②×3，得：$9x-6y=24$ ③
将①+③消去y，得：$10x=36$，解得$x=\frac{18}{5}$
把$x=\frac{18}{5}$代入①，得：$\frac{18}{5}+6y=12$，解得$y=\frac{7}{5}$
则$x+y=\frac{18}{5}+\frac{7}{5}=5$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用，解题时可以先观察式子的系数特征，优先选择整体法等简便方法计算，能有效提升解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
要解这道题我们有两种思路：一是先通过加减消元或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再将两者相加得到x+y的结果；二是观察方程组两个方程的系数特点，将两个方程左右两侧分别相加，可直接得到x+y的倍数，用整体计算的方法更简便，不需要单独求解x和y的值。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}x+6y=12&① \\3x-2y=8&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$(x+6y)+(3x-2y)=12+8$
化简得：$4x+4y=20$
等式两边同时除以4，得：$x+y=5$
方法二（常规加减消元法）：
记方程组为$\begin{cases}x+6y=12&① \\3x-2y=8&②\end{cases}$
将②×3，得：$9x-6y=24$ ③
将①+③消去y，得：$10x=36$，解得$x=\frac{18}{5}$
把$x=\frac{18}{5}$代入①，得：$\frac{18}{5}+6y=12$，解得$y=\frac{7}{5}$
则$x+y=\frac{18}{5}+\frac{7}{5}=5$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用，解题时可以先观察式子的系数特征，优先选择整体法等简便方法计算，能有效提升解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
3. 解方程组$\begin{cases}ax+by=2, \\cx-7y=8\end{cases}$时，一学生把$c$看错而得到$\begin{cases}x=-2, \\y=2,\end{cases}$而正确的解是$\begin{cases}x=3, \\y=-2,\end{cases}$那么$a,b,c$的值是（ ）
A.不能确定
B.$a=4,b=5,c=-2$
C.$a,b$不能确定，$c=-2$
D.$a=4,b=7,c=2$
A.不能确定
B.$a=4,b=5,c=-2$
C.$a,b$不能确定，$c=-2$
D.$a=4,b=7,c=2$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确：学生仅看错了第二个方程中的系数$c$，因此他得到的错解仍然满足不含$c$的第一个方程$ax+by=2$；而题目给出的正确解同时满足两个方程。我们可以先将错解和正解分别代入第一个方程，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值；再将正解代入第二个方程，即可求出$c$的值，最后对照选项得出答案。
【解析】
1. 把错解$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$-2a+2b=2$，化简得：$-a+b=1$ ①
2. 把正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$3a-2b=2$ ②
3. 联立①②求解$a$、$b$：
由①得$b=a+1$，将其代入②：
$3a-2(a+1)=2$
展开计算得$3a-2a-2=2$，解得$a=4$
把$a=4$代入$b=a+1$，得$b=5$
4. 把正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入$cx-7y=8$，可得：
$3c-7×(-2)=8$
计算得$3c+14=8$，解得$c=-2$
综上，$a=4,b=5,c=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解的定义，代入消元法，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典错解类题型，核心是理解错解的适用范围：看错某一系数得到的解仍然满足不含该系数的方程，结合代入法即可快速求解未知系数，解题逻辑清晰，掌握规律后难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：学生仅看错了第二个方程中的系数$c$，因此他得到的错解仍然满足不含$c$的第一个方程$ax+by=2$；而题目给出的正确解同时满足两个方程。我们可以先将错解和正解分别代入第一个方程，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值；再将正解代入第二个方程，即可求出$c$的值，最后对照选项得出答案。
【解析】
1. 把错解$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$-2a+2b=2$，化简得：$-a+b=1$ ①
2. 把正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$3a-2b=2$ ②
3. 联立①②求解$a$、$b$：
由①得$b=a+1$，将其代入②：
$3a-2(a+1)=2$
展开计算得$3a-2a-2=2$，解得$a=4$
把$a=4$代入$b=a+1$，得$b=5$
4. 把正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入$cx-7y=8$，可得：
$3c-7×(-2)=8$
计算得$3c+14=8$，解得$c=-2$
综上，$a=4,b=5,c=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解的定义，代入消元法，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典错解类题型，核心是理解错解的适用范围：看错某一系数得到的解仍然满足不含该系数的方程，结合代入法即可快速求解未知系数，解题逻辑清晰，掌握规律后难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 在下面四组数值中，满足二元一次方程$x-4y=-5$的是（）
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断哪组数值是二元一次方程的解，只需依据二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，采用代入验证法，将每个选项的x、y值依次代入方程左边，计算结果后和右边的-5比较，相等的即为正确选项。
【解析】
将各选项逐一代入方程$x-4y=-5$的左边计算：
A选项：当$x=1,y=1$时，左边$=1-4×1=1-4=-3$，$-3≠-5$，不满足方程；
B选项：当$x=-1,y=-1$时，左边$=-1-4×(-1)=-1+4=3$，$3≠-5$，不满足方程；
C选项：当$x=-1,y=1$时，左边$=-1-4×1=-1-4=-5$，和方程右边相等，满足方程；
D选项：当$x=1,y=-1$时，左边$=1-4×(-1)=1+4=5$，$5≠-5$，不满足方程。
综上，满足方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，代入验证法是解决这类题的常用方法，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
要判断哪组数值是二元一次方程的解，只需依据二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，采用代入验证法，将每个选项的x、y值依次代入方程左边，计算结果后和右边的-5比较，相等的即为正确选项。
【解析】
将各选项逐一代入方程$x-4y=-5$的左边计算：
A选项：当$x=1,y=1$时，左边$=1-4×1=1-4=-3$，$-3≠-5$，不满足方程；
B选项：当$x=-1,y=-1$时，左边$=-1-4×(-1)=-1+4=3$，$3≠-5$，不满足方程；
C选项：当$x=-1,y=1$时，左边$=-1-4×1=-1-4=-5$，和方程右边相等，满足方程；
D选项：当$x=1,y=-1$时，左边$=1-4×(-1)=1+4=5$，$5≠-5$，不满足方程。
综上，满足方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，代入验证法是解决这类题的常用方法，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
5. 已知$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+by=3, \\ bx+ay=-7 \end{cases}$的解，
则代数式$(a+b)(a-b)$的值为。
则代数式$(a+b)(a-b)$的值为。
答案
5.-8
解析
【分析】
首先，方程组的解是能使方程组中所有方程同时成立的未知数的值，所以第一步要把已知的$x=3$、$y=-2$代入原方程组，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。观察要求的代数式$(a+b)(a-b)$，我们不需要单独求出$a$、$b$的具体值，只要通过加减运算分别得到$a+b$和$a-b$的值，直接相乘就能算出结果，比单独求解$a$、$b$更简便。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} ax+by=3, \\ bx+ay=-7 \end{cases}$，可得：
$\begin{cases} 3a - 2b = 3 \quad \mathrm{①} \\ -2a + 3b = -7 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加：
$(3a - 2b) + (-2a + 3b) = 3 + (-7)$
合并同类项得：$a + b = -4$
将①减去②左右两边分别相减：
$(3a - 2b) - (-2a + 3b) = 3 - (-7)$
去括号、合并同类项得：$5a - 5b = 10$，两边同时除以5得$a - b = 2$
将$a+b=-4$、$a-b=2$代入代数式，得：
$(a+b)(a-b) = (-4) × 2 = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入求值，加减消元法
【点评】
本题核心是利用方程组解的定义转化得到关于参数的方程，解题时可通过整体运算直接得到所求代数式相关的整体值，简化计算步骤，是整体思想在代数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先，方程组的解是能使方程组中所有方程同时成立的未知数的值，所以第一步要把已知的$x=3$、$y=-2$代入原方程组，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。观察要求的代数式$(a+b)(a-b)$，我们不需要单独求出$a$、$b$的具体值，只要通过加减运算分别得到$a+b$和$a-b$的值，直接相乘就能算出结果，比单独求解$a$、$b$更简便。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} ax+by=3, \\ bx+ay=-7 \end{cases}$，可得：
$\begin{cases} 3a - 2b = 3 \quad \mathrm{①} \\ -2a + 3b = -7 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加：
$(3a - 2b) + (-2a + 3b) = 3 + (-7)$
合并同类项得：$a + b = -4$
将①减去②左右两边分别相减：
$(3a - 2b) - (-2a + 3b) = 3 - (-7)$
去括号、合并同类项得：$5a - 5b = 10$，两边同时除以5得$a - b = 2$
将$a+b=-4$、$a-b=2$代入代数式，得：
$(a+b)(a-b) = (-4) × 2 = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入求值，加减消元法
【点评】
本题核心是利用方程组解的定义转化得到关于参数的方程，解题时可通过整体运算直接得到所求代数式相关的整体值，简化计算步骤，是整体思想在代数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
6.已知$\begin{cases}x=3, \\ y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=-2, \\ y=11\end{cases}$都是$ax+by=7$的解，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ 。
答案
6.2 1
解析
【分析】
首先根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将已知的两组解分别代入$ax+by=7$，可得到两个只含未知数$a$、$b$的方程，联立成二元一次方程组后，用代入消元法或加减消元法解方程组，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=3, \\ y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=-2, \\ y=11\end{cases}$都是$ax+by=7$的解，将两组解分别代入方程可得：
$\begin{cases}3a + b = 7 \quad \mathrm{①} \\-2a + 11b = 7 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式变形得：$b = 7 - 3a$ ③
把③代入②式：
$\begin{aligned}-2a + 11×(7 - 3a) &= 7 \\-2a + 77 - 33a &= 7 \\-35a &= -70 \\a &= 2\end{aligned}$
将$a=2$代入③式，得$b = 7 - 3×2 = 1$
【答案】2；1
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义
2.解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，以及二元一次方程组的基础解法，熟练掌握代入消元或加减消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将已知的两组解分别代入$ax+by=7$，可得到两个只含未知数$a$、$b$的方程，联立成二元一次方程组后，用代入消元法或加减消元法解方程组，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=3, \\ y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=-2, \\ y=11\end{cases}$都是$ax+by=7$的解，将两组解分别代入方程可得：
$\begin{cases}3a + b = 7 \quad \mathrm{①} \\-2a + 11b = 7 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式变形得：$b = 7 - 3a$ ③
把③代入②式：
$\begin{aligned}-2a + 11×(7 - 3a) &= 7 \\-2a + 77 - 33a &= 7 \\-35a &= -70 \\a &= 2\end{aligned}$
将$a=2$代入③式，得$b = 7 - 3×2 = 1$
【答案】2；1
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义
2.解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，以及二元一次方程组的基础解法，熟练掌握代入消元或加减消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.若方程组$\begin{cases}x+4=y, \\ 2x-y=a\end{cases}$中的x和y互为相反数，则a= ______
答案
7.-6
解析
【分析】
解题首先要抓住题目中的隐藏条件：x和y互为相反数，根据相反数的性质可得x+y=0，即y=-x。接下来将这个关系和已知的第一个方程联立，就能求出x、y的具体值，最后把x、y的值代入第二个方程即可算出a的值。
【解析】
已知x和y互为相反数，根据相反数的性质可得：
$x + y = 0$，即$y = -x$
将$y=-x$代入方程$x+4=y$中，得：
$x + 4 = -x$
移项合并同类项：$2x = -4$
解得：$x = -2$
则$y = -x = 2$
把$x=-2$，$y=2$代入方程$2x - y = a$中，得：
$a = 2×(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入求值
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是先根据相反数的性质得到x与y的数量关系，再联立方程逐步求解，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要抓住题目中的隐藏条件：x和y互为相反数，根据相反数的性质可得x+y=0，即y=-x。接下来将这个关系和已知的第一个方程联立，就能求出x、y的具体值，最后把x、y的值代入第二个方程即可算出a的值。
【解析】
已知x和y互为相反数，根据相反数的性质可得：
$x + y = 0$，即$y = -x$
将$y=-x$代入方程$x+4=y$中，得：
$x + 4 = -x$
移项合并同类项：$2x = -4$
解得：$x = -2$
则$y = -x = 2$
把$x=-2$，$y=2$代入方程$2x - y = a$中，得：
$a = 2×(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
相反数的性质；解二元一次方程组；代入求值
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是先根据相反数的性质得到x与y的数量关系，再联立方程逐步求解，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
8.已知$x=1,y=2$是关于$x,y$的方程$(ax+by-12)^2 + |ay - bx +1|=0$的一组解，则$a=$
2
$,b=$5
。答案
8.2 5
解析
【分析】
首先，我们知道平方数和绝对值都具有非负性，即任意数的平方≥0，任意数的绝对值≥0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件，因此可以得到两个关于a、b的等式。接下来将已知的x=1、y=2代入这两个等式，就能得到一个二元一次方程组，最后解这个方程组即可求出a和b的值。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(ax+by-12)^2 ≥ 0$，$|ay - bx +1| ≥ 0$，且两者相加等于0
∴ $\begin{cases} ax+by-12=0 \\ ay - bx +1=0 \end{cases}$
将$x=1$，$y=2$代入上述方程组，得：
$\begin{cases} a + 2b - 12 = 0 \quad \mathrm{①} \\ 2a - b + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②式变形可得：$b = 2a + 1$ ③
将③代入①式：
$a + 2×(2a + 1) - 12 = 0$
$a + 4a + 2 - 12 = 0$
$5a = 10$
解得$a=2$
将$a=2$代入③式，得$b=2×2 + 1 = 5$
【答案】
2；5
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；方程的解的定义
【点评】
本题是基础综合题，核心考点是非负性的应用和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握平方、绝对值的非负特征，代入数值计算时要注意符号不要出错，解方程组时选择合适的消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先，我们知道平方数和绝对值都具有非负性，即任意数的平方≥0，任意数的绝对值≥0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件，因此可以得到两个关于a、b的等式。接下来将已知的x=1、y=2代入这两个等式，就能得到一个二元一次方程组，最后解这个方程组即可求出a和b的值。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(ax+by-12)^2 ≥ 0$，$|ay - bx +1| ≥ 0$，且两者相加等于0
∴ $\begin{cases} ax+by-12=0 \\ ay - bx +1=0 \end{cases}$
将$x=1$，$y=2$代入上述方程组，得：
$\begin{cases} a + 2b - 12 = 0 \quad \mathrm{①} \\ 2a - b + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②式变形可得：$b = 2a + 1$ ③
将③代入①式：
$a + 2×(2a + 1) - 12 = 0$
$a + 4a + 2 - 12 = 0$
$5a = 10$
解得$a=2$
将$a=2$代入③式，得$b=2×2 + 1 = 5$
【答案】
2；5
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；方程的解的定义
【点评】
本题是基础综合题，核心考点是非负性的应用和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握平方、绝对值的非负特征，代入数值计算时要注意符号不要出错，解方程组时选择合适的消元方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲、乙两种奖品共100件，费用为1352元.其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元.若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组.
答案
9.$\begin{cases} x+y=100, \\16x+12y=1\ 352 \end{cases}$
解析
【分析】
解决本题的核心是从题目中找到两个独立的等量关系，再结合设出的未知数列出对应的方程，联立得到方程组。首先找数量等量：甲、乙两种奖品的总件数为100件，即甲奖品数量+乙奖品数量=100；再找费用等量：购买两种奖品的总花费为1352元，即甲奖品的总花费+乙奖品的总花费=1352元，其中单类奖品总花费=单价×购买数量。
【解析】
已知设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件：
1. 根据“甲、乙两种奖品共100件”，可列方程：$x+y=100$；
2. 甲种奖品每件16元，总花费为$16x$元，乙种奖品每件12元，总花费为$12y$元，结合“总费用为1352元”，可列方程：$16x+12y=1352$；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=100, \\16x+12y=1352 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题是基础应用题，主要考查从实际情境中提取等量关系并列式的能力，解题关键是找准两个互不关联的等量关系分别对应列方程，是二元一次方程组模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是从题目中找到两个独立的等量关系，再结合设出的未知数列出对应的方程，联立得到方程组。首先找数量等量：甲、乙两种奖品的总件数为100件，即甲奖品数量+乙奖品数量=100；再找费用等量：购买两种奖品的总花费为1352元，即甲奖品的总花费+乙奖品的总花费=1352元，其中单类奖品总花费=单价×购买数量。
【解析】
已知设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件：
1. 根据“甲、乙两种奖品共100件”，可列方程：$x+y=100$；
2. 甲种奖品每件16元，总花费为$16x$元，乙种奖品每件12元，总花费为$12y$元，结合“总费用为1352元”，可列方程：$16x+12y=1352$；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=100, \\16x+12y=1352 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题是基础应用题，主要考查从实际情境中提取等量关系并列式的能力，解题关键是找准两个互不关联的等量关系分别对应列方程，是二元一次方程组模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
10.解古算题:“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱四十八,乙得甲太半而亦钱四十八.甲、乙持钱各几何?”
题目大意是:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱48,如果乙得到甲所有钱的$\frac{2}{3}$,那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱.
题目大意是:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱48,如果乙得到甲所有钱的$\frac{2}{3}$,那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱.
答案
10.甲带的钱数为36,乙带的钱数为24.
解析
【分析】
这是包含两个未知量的实际应用题，存在两个明确的等量关系，适合用二元一次方程组求解：首先分别设甲、乙持有的钱数为未知数，再根据“甲的钱+乙钱数的一半=48”“乙的钱+甲钱数的三分之二=48”这两个等量关系列出方程组，最后解方程组即可得到答案，求解后可代入题目条件检验结果是否正确。
【解析】
解：设甲带了$x$钱，乙带了$y$钱，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + \dfrac{1}{2}y = 48 \quad ① \\y + \dfrac{2}{3}x = 48 \quad ②\end{cases}$
由①式两边同时乘2去分母得：$2x + y = 96$，变形得$y = 96 - 2x$ ③
将③代入②式得：
$96 - 2x + \dfrac{2}{3}x = 48$
移项合并同类项得：$-\dfrac{4}{3}x = -48$
系数化为1得：$x = 36$
把$x=36$代入③式得：$y = 96 - 2×36 = 24$
经检验，$x=36$，$y=24$符合题意。
【答案】
甲带的钱数为36，乙带的钱数为24。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.代入消元法解方程组
【点评】
本题是经典的古算应用题，核心考查从文字描述中提取等量关系、列方程求解的能力，解题关键是准确梳理两种情况下的钱数相等关系。
【难度系数】
0.7
这是包含两个未知量的实际应用题，存在两个明确的等量关系，适合用二元一次方程组求解：首先分别设甲、乙持有的钱数为未知数，再根据“甲的钱+乙钱数的一半=48”“乙的钱+甲钱数的三分之二=48”这两个等量关系列出方程组，最后解方程组即可得到答案，求解后可代入题目条件检验结果是否正确。
【解析】
解：设甲带了$x$钱，乙带了$y$钱，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + \dfrac{1}{2}y = 48 \quad ① \\y + \dfrac{2}{3}x = 48 \quad ②\end{cases}$
由①式两边同时乘2去分母得：$2x + y = 96$，变形得$y = 96 - 2x$ ③
将③代入②式得：
$96 - 2x + \dfrac{2}{3}x = 48$
移项合并同类项得：$-\dfrac{4}{3}x = -48$
系数化为1得：$x = 36$
把$x=36$代入③式得：$y = 96 - 2×36 = 24$
经检验，$x=36$，$y=24$符合题意。
【答案】
甲带的钱数为36，乙带的钱数为24。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.代入消元法解方程组
【点评】
本题是经典的古算应用题，核心考查从文字描述中提取等量关系、列方程求解的能力，解题关键是准确梳理两种情况下的钱数相等关系。
【难度系数】
0.7
