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⑤ 物流运输公司有两种货车可供选择，A货车的载重量为5t，每100 km耗油10 L；B货车的载重量为8 t，每100 km耗油15 L. 若油价都为8元/L.
（1）要运输一批30 t的货物，运输距离为200 km. 分别计算使用A货车或B货车运输这批货物的油费成本，哪种货车更划算？
（1）要运输一批30 t的货物，运输距离为200 km. 分别计算使用A货车或B货车运输这批货物的油费成本，哪种货车更划算？
答案
5.(1)两种方案油费成本均为960元，一样划算.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分步骤核算两种货车的运输油费后再比较。第一步先计算运输30t货物分别需要多少辆A、B货车，注意车辆数必须为正整数，若除不尽要用进一法取整；第二步计算每辆车行驶200km的耗油量；第三步结合车辆数算出总耗油量，再乘以油价得到总油费；最后对比两种货车的总油费判断哪种更划算。
【解析】
计算使用A货车的油费：
1. 所需A货车数量：$30÷5=6$辆，刚好装满，无需额外增加车辆
2. 单辆A货车行驶200km的耗油量：$\frac{10\mathrm{L}}{100\mathrm{km}}×200\mathrm{km}=20\mathrm{L}$
3. 总耗油量：$6×20=120\mathrm{L}$
4. 总油费：$120×8=960$元
计算使用B货车的油费：
1. 所需B货车数量：$30÷8=3.75$，3辆仅能运$3×8=24\mathrm{t}＜30\mathrm{t}$，因此需要取整为4辆
2. 单辆B货车行驶200km的耗油量：$\frac{15\mathrm{L}}{100\mathrm{km}}×200\mathrm{km}=30\mathrm{L}$
3. 总耗油量：$4×30=120\mathrm{L}$
4. 总油费：$120×8=960$元
对比两种货车的总油费，二者金额一致。
【答案】
两种方案油费成本均为960元，一样划算。
【知识点】
有理数运算、费用核算、方案比较
【点评】
本题结合物流运输的生活场景出题，解题时需注意车辆数要结合实际情况取整数，再按逻辑逐步核算费用即可，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要分步骤核算两种货车的运输油费后再比较。第一步先计算运输30t货物分别需要多少辆A、B货车，注意车辆数必须为正整数，若除不尽要用进一法取整；第二步计算每辆车行驶200km的耗油量；第三步结合车辆数算出总耗油量，再乘以油价得到总油费；最后对比两种货车的总油费判断哪种更划算。
【解析】
计算使用A货车的油费：
1. 所需A货车数量：$30÷5=6$辆，刚好装满，无需额外增加车辆
2. 单辆A货车行驶200km的耗油量：$\frac{10\mathrm{L}}{100\mathrm{km}}×200\mathrm{km}=20\mathrm{L}$
3. 总耗油量：$6×20=120\mathrm{L}$
4. 总油费：$120×8=960$元
计算使用B货车的油费：
1. 所需B货车数量：$30÷8=3.75$，3辆仅能运$3×8=24\mathrm{t}＜30\mathrm{t}$，因此需要取整为4辆
2. 单辆B货车行驶200km的耗油量：$\frac{15\mathrm{L}}{100\mathrm{km}}×200\mathrm{km}=30\mathrm{L}$
3. 总耗油量：$4×30=120\mathrm{L}$
4. 总油费：$120×8=960$元
对比两种货车的总油费，二者金额一致。
【答案】
两种方案油费成本均为960元，一样划算。
【知识点】
有理数运算、费用核算、方案比较
【点评】
本题结合物流运输的生活场景出题，解题时需注意车辆数要结合实际情况取整数，再按逻辑逐步核算费用即可，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（2）如果考虑货车的租赁费用，一辆A货车每次租赁费用为1 000元，一辆B货车每次租赁费用为1 800元，重新计算并选择成本最低的运输方案.
答案
(2)选择A货车运输这批货物成本更低.
解析
【分析】要选出成本最低的运输方案，核心是分别计算使用A、B两种货车运输的总租赁成本，再对比两者大小即可。解题思路为：第一步先根据货物总重量和单车载重，算出两种货车各自需要的运输次数；第二步依据“总费用=单次租赁费用×运输次数”的公式，计算两种方案的总成本；第三步对比总成本大小，选择费用更低的方案。
【解析】已知这批货物总重36吨，A货车每次可运4吨，B货车每次可运6吨。
1. 计算两种货车的运输次数：
A货车运输次数：$36 ÷ 4 = 9$（次）
B货车运输次数：$36 ÷ 6 = 6$（次）
2. 计算两种方案的总租赁成本：
A货车总费用：$1000 × 9 = 9000$（元）
B货车总费用：$1800 × 6 = 10800$（元）
3. 对比成本大小：$9000 ＜ 10800$，因此A货车运输成本更低。
【答案】选择A货车运输这批货物成本更低。
【知识点】整数乘除运算，方案优化选择，大小比较
【点评】本题结合生活中的货物运输租赁场景，考查学生用基础数学运算解决实际最优方案选择问题的能力，解题的关键是准确计算不同方案的总费用再进行对比。
【难度系数】0.8
【解析】已知这批货物总重36吨，A货车每次可运4吨，B货车每次可运6吨。
1. 计算两种货车的运输次数：
A货车运输次数：$36 ÷ 4 = 9$（次）
B货车运输次数：$36 ÷ 6 = 6$（次）
2. 计算两种方案的总租赁成本：
A货车总费用：$1000 × 9 = 9000$（元）
B货车总费用：$1800 × 6 = 10800$（元）
3. 对比成本大小：$9000 ＜ 10800$，因此A货车运输成本更低。
【答案】选择A货车运输这批货物成本更低。
【知识点】整数乘除运算，方案优化选择，大小比较
【点评】本题结合生活中的货物运输租赁场景，考查学生用基础数学运算解决实际最优方案选择问题的能力，解题的关键是准确计算不同方案的总费用再进行对比。
【难度系数】0.8
⑥ 室内设计师在为一个展厅设计布局时，规划了一个四边形ABCD的展示区域，其中AB // CD，AD // BC. 已知AB=8 m，BC=6 m，∠B=60°.
（1）设计师想要通过平移边AB来构造一个新的四边形，使得新的四边形与原四边形有部分重叠. 若将AB沿AD方向平移2米得到A'B'，求重叠部分四边形A'B'CD（如右图所示）的面积.
（2）为了增加展示区域的美观性，室内设计师考虑将四边形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度得到四边形AB'C'D'（如右图所示）. 旋转过程中，当第一次观察到AD'⊥AB时，求旋转角的度数及C'到AB的距离.
（1）设计师想要通过平移边AB来构造一个新的四边形，使得新的四边形与原四边形有部分重叠. 若将AB沿AD方向平移2米得到A'B'，求重叠部分四边形A'B'CD（如右图所示）的面积.
（2）为了增加展示区域的美观性，室内设计师考虑将四边形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度得到四边形AB'C'D'（如右图所示）. 旋转过程中，当第一次观察到AD'⊥AB时，求旋转角的度数及C'到AB的距离.
答案
6.(1) $16\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$.
(2)旋转角的度数为30°. $C'$到$AB$的距离为2 m.
(2)旋转角的度数为30°. $C'$到$AB$的距离为2 m.
解析
【分析】
首先根据两组对边分别平行判定四边形ABCD是平行四边形，得到其对边相等、对角相等、同旁内角互补的性质。
（1）平移后重叠部分仍为平行四边形，先求出重叠部分的邻边长度，结合平行四边形面积公式即可计算重叠面积；也可先求原平行四边形总面积，减去平移后未重叠的小平行四边形面积得到结果。
（2）先根据平行四边形同旁内角互补求出∠BAD的度数，结合旋转后AD'⊥AB的条件，即可求出旋转角的度数；求C'到AB的距离时，可通过建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变换规律求解，简单直观。
【解析】
解：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6m，CD=AB=8m，∠B=∠D=60°，∠BAD=180°-∠B=120°。
（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=6m，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3m，CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$m，
原平行四边形ABCD的面积：$S_{ABCD}=AB·CE=8×3\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
∵AB沿AD方向平移2m得到A'B'，
∴AA'=2m，且四边形AA'B'B是平行四边形，
平行四边形AA'B'B的AD边上的高与ABCD的AD边上的高相等，为$\frac{S_{ABCD}}{AD}=\frac{24\sqrt{3}}{6}=4\sqrt{3}$m，
∴$S_{AA'B'B}=AA'×4\sqrt{3}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$，
∴重叠部分面积：$S_{A'B'CD}=S_{ABCD}-S_{AA'B'B}=24\sqrt{3}-8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
（2）旋转角为对应边的夹角，即AD与AD'的夹角∠DAD'，
∵AD'⊥AB，
∴∠D'AB=90°，
∴旋转角∠DAD'=∠BAD - ∠D'AB=120°-90°=30°。
建立平面直角坐标系：设A为原点，AB在x轴正半轴上，
则A(0,0)，B(8,0)，D点坐标为$(-3,3\sqrt{3})$（由∠BAD=120°，AD=6可得），
平行四边形中C点坐标为$(8-3,0+3\sqrt{3})=(5,3\sqrt{3})$。
将点C绕A顺时针旋转30°得到C'，C'的纵坐标即为C'到AB的距离，根据旋转坐标变换规律计算得C'的纵坐标为2，即C'到AB的距离为2m。
【答案】
（1）$16\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$；（2）旋转角的度数为30°，$C'$到$AB$的距离为2 m。
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；旋转的性质
【点评】
本题结合实际设计场景考查平行四边形、平移、旋转的综合应用，解题的核心是熟练掌握图形变换的性质，结合平行四边形的边角关系计算，重点考查数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.65
首先根据两组对边分别平行判定四边形ABCD是平行四边形，得到其对边相等、对角相等、同旁内角互补的性质。
（1）平移后重叠部分仍为平行四边形，先求出重叠部分的邻边长度，结合平行四边形面积公式即可计算重叠面积；也可先求原平行四边形总面积，减去平移后未重叠的小平行四边形面积得到结果。
（2）先根据平行四边形同旁内角互补求出∠BAD的度数，结合旋转后AD'⊥AB的条件，即可求出旋转角的度数；求C'到AB的距离时，可通过建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变换规律求解，简单直观。
【解析】
解：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6m，CD=AB=8m，∠B=∠D=60°，∠BAD=180°-∠B=120°。
（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=6m，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3m，CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$m，
原平行四边形ABCD的面积：$S_{ABCD}=AB·CE=8×3\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
∵AB沿AD方向平移2m得到A'B'，
∴AA'=2m，且四边形AA'B'B是平行四边形，
平行四边形AA'B'B的AD边上的高与ABCD的AD边上的高相等，为$\frac{S_{ABCD}}{AD}=\frac{24\sqrt{3}}{6}=4\sqrt{3}$m，
∴$S_{AA'B'B}=AA'×4\sqrt{3}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$，
∴重叠部分面积：$S_{A'B'CD}=S_{ABCD}-S_{AA'B'B}=24\sqrt{3}-8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
（2）旋转角为对应边的夹角，即AD与AD'的夹角∠DAD'，
∵AD'⊥AB，
∴∠D'AB=90°，
∴旋转角∠DAD'=∠BAD - ∠D'AB=120°-90°=30°。
建立平面直角坐标系：设A为原点，AB在x轴正半轴上，
则A(0,0)，B(8,0)，D点坐标为$(-3,3\sqrt{3})$（由∠BAD=120°，AD=6可得），
平行四边形中C点坐标为$(8-3,0+3\sqrt{3})=(5,3\sqrt{3})$。
将点C绕A顺时针旋转30°得到C'，C'的纵坐标即为C'到AB的距离，根据旋转坐标变换规律计算得C'的纵坐标为2，即C'到AB的距离为2m。
【答案】
（1）$16\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$；（2）旋转角的度数为30°，$C'$到$AB$的距离为2 m。
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；旋转的性质
【点评】
本题结合实际设计场景考查平行四边形、平移、旋转的综合应用，解题的核心是熟练掌握图形变换的性质，结合平行四边形的边角关系计算，重点考查数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.65
