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1. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.如图为七边形的一种三角剖分方法,若在确定连接线段AE的前提下,包含图示方法,七边形的三角剖分方法一共有 ()
A.8种
B.10种
C.12种
D.14种
A.8种
B.10种
C.12种
D.14种
答案
B
解析
连接线段AE后，七边形被AE分割为两个独立的多边形：1. 由顶点A、B、C、D、E组成的五边形，满足条件的三角剖分方法共5种；2. 由顶点A、E、F、G组成的四边形，满足条件的三角剖分方法共2种。两部分的剖分线段不会在七边形内部相交，因此总三角剖分方法数为5×2=10种。
2.如图,小明从A点出发,沿直线前进6 m后向左转45°,再沿直线前进6 m,又向左转45°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为（）
A.40 m
B.36 m
C.48 m
D.60 m
A.40 m
B.36 m
C.48 m
D.60 m
答案
C
解析
小明每次左转的45°是所走路径形成的正多边形的外角，任意多边形的外角和为360°，因此该多边形的边数为360°÷45°=8。已知每段直线前进的距离为6m，总路程为8×6=48m。
3. 如图,在正六边形ABCDEF中,作正五边形HKCDG,连接BK,则∠ABK的度数为 ()
A.$45°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$27°$
A.$45°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$27°$
答案
B
解析
1. 计算正六边形内角：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$720°÷6=120°$，得$∠ ABC=∠ BCD=120°$，且$BC=CD$。
2. 计算正五边形内角：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，得$∠ KCD=108°$，且$KC=CD$。
3. 由$BC=KC$，可知$△ BCK$是等腰三角形，顶角$∠ BCK=∠ BCD-∠ KCD=120°-108°=12°$，底角$∠ KBC=\frac{180°-12°}{2}=84°$。
4. 最终$∠ ABK=∠ ABC-∠ KBC=120°-84°=36°$。
2. 计算正五边形内角：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，得$∠ KCD=108°$，且$KC=CD$。
3. 由$BC=KC$，可知$△ BCK$是等腰三角形，顶角$∠ BCK=∠ BCD-∠ KCD=120°-108°=12°$，底角$∠ KBC=\frac{180°-12°}{2}=84°$。
4. 最终$∠ ABK=∠ ABC-∠ KBC=120°-84°=36°$。
4. 下列正多边形的组合中,不能密铺地板的是 （）
A.正四边形和正六边形
B.正四边形和正八边形
C.正三角形和正四边形
D.正三角形和正六边形
A.正四边形和正六边形
B.正四边形和正八边形
C.正三角形和正四边形
D.正三角形和正六边形
答案
A
解析
正多边形密铺的条件是：拼接在同一点的若干个正多边形的内角和恰好等于360°，先计算各正多边形内角度数：正三角形内角60°，正四边形内角90°，正六边形内角120°，正八边形内角135°，逐一验证：
1. 选项A：设用m个正四边形、n个正六边形，得90m+120n=360，化简为3m+4n=12，不存在正整数m,n满足该等式，不能密铺；
2. 选项B：1个正四边形+2个正八边形：90°+2×135°=360°，可以密铺；
3. 选项C：3个正三角形+2个正四边形：3×60°+2×90°=360°，可以密铺；
4. 选项D：2个正三角形+2个正六边形：2×60°+2×120°=360°，可以密铺。
1. 选项A：设用m个正四边形、n个正六边形，得90m+120n=360，化简为3m+4n=12，不存在正整数m,n满足该等式，不能密铺；
2. 选项B：1个正四边形+2个正八边形：90°+2×135°=360°，可以密铺；
3. 选项C：3个正三角形+2个正四边形：3×60°+2×90°=360°，可以密铺；
4. 选项D：2个正三角形+2个正六边形：2×60°+2×120°=360°，可以密铺。
5.若一个正多边形的一个内角为$135°$，则该多边形的边数为.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
该正多边形的一个外角的度数为 $180° - 135° = 45°$，
任意多边形的外角和为 $360°$，
因此该多边形的边数为 $360° ÷ 45° = 8$。
该正多边形的一个外角的度数为 $180° - 135° = 45°$，
任意多边形的外角和为 $360°$，
因此该多边形的边数为 $360° ÷ 45° = 8$。
6.已知正$ x $边形的内角和为$ 1080° $，边长为2.
(1)求正$ x $边形的周长；
(2)若正$ n $边形的每个外角的度数比正$ x $边形每个内角的度数小$ 63° $，求$ n $的值.
(1)求正$ x $边形的周长；
(2)若正$ n $边形的每个外角的度数比正$ x $边形每个内角的度数小$ 63° $，求$ n $的值.
答案
解：
(1) 由多边形内角和公式可得：
$(x-2) · 180° = 1080°$
解得 $x=8$
已知该正多边形边长为2，因此正$x$边形的周长为 $8 × 2 = 16$。
(2) 正八边形每个内角的度数为 $1080° ÷ 8 = 135°$
根据题意，正$n$边形每个外角的度数为 $135° - 63° = 72°$
因为任意多边形的外角和恒为$360°$，因此：
$n = 360° ÷ 72° = 5$
答：(1) 正$x$边形的周长为16；(2) $n$的值为5。
(1) 由多边形内角和公式可得：
$(x-2) · 180° = 1080°$
解得 $x=8$
已知该正多边形边长为2，因此正$x$边形的周长为 $8 × 2 = 16$。
(2) 正八边形每个内角的度数为 $1080° ÷ 8 = 135°$
根据题意，正$n$边形每个外角的度数为 $135° - 63° = 72°$
因为任意多边形的外角和恒为$360°$，因此：
$n = 360° ÷ 72° = 5$
答：(1) 正$x$边形的周长为16；(2) $n$的值为5。
