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12.某种零件的形状如图所示，现要判断AB与CD是否平行，工人师傅分别测量了∠ABE，∠CDE和∠BED的度数后，就做出了判断.试猜想∠ABE，∠CDE和∠BED之间满足什么数量关系时，AB//CD？并证明你的猜想.
答案
当 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED 时，AB//CD,理由如下：
如图,延长AB交DE于点M.
因为 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED,
∠ABE = 180° - ∠EBM = ∠BME + ∠BED,
所以∠BME=∠CDE,所以AB//CD.
解析
【分析】
要判断AB与CD平行，需要利用平行线的判定定理，找到两条直线被第三条直线所截形成的相等的同位角、内错角，或互补的同旁内角。本题给出的三个角位于图形拐点位置，无法直接对应平行线判定的角的位置关系，因此需要作辅助线构建关联角：延长AB交DE于点M，构造出AB、CD被DE所截的同位角∠BME和∠CDE，只需证明这两个角相等即可推出AB平行CD，再结合角的和差关系就能推导三个角需要满足的数量关系。
【解析】
猜想：当∠ABE = ∠CDE + ∠BED时，AB//CD。
证明：延长AB交DE于点M。
∠ABE是△BEM的外角，根据三角形外角性质，可得∠ABE = ∠BED + ∠BME。
又已知∠ABE = ∠CDE + ∠BED，根据等式的性质，两边同时减去∠BED，可得∠BME = ∠CDE。
∠BME与∠CDE是直线AB、CD被直线DE所截的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，即可推出AB//CD。
【答案】
当 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED 时，AB//CD,理由如下：
如图,延长AB交DE于点M.
因为 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED,
∠ABE = 180° - ∠EBM = ∠BME + ∠BED,
所以∠BME=∠CDE,所以AB//CD.
【知识点】
平行线的判定、三角形外角的性质、角的和差运算
【点评】
本题是平行线判定的典型拐点类题型，重点考查平行线判定定理的应用能力和几何辅助线的构造思路，掌握拐点问题常用的辅助线做法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
要判断AB与CD平行，需要利用平行线的判定定理，找到两条直线被第三条直线所截形成的相等的同位角、内错角，或互补的同旁内角。本题给出的三个角位于图形拐点位置，无法直接对应平行线判定的角的位置关系，因此需要作辅助线构建关联角：延长AB交DE于点M，构造出AB、CD被DE所截的同位角∠BME和∠CDE，只需证明这两个角相等即可推出AB平行CD，再结合角的和差关系就能推导三个角需要满足的数量关系。
【解析】
猜想：当∠ABE = ∠CDE + ∠BED时，AB//CD。
证明：延长AB交DE于点M。
∠ABE是△BEM的外角，根据三角形外角性质，可得∠ABE = ∠BED + ∠BME。
又已知∠ABE = ∠CDE + ∠BED，根据等式的性质，两边同时减去∠BED，可得∠BME = ∠CDE。
∠BME与∠CDE是直线AB、CD被直线DE所截的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，即可推出AB//CD。
【答案】
当 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED 时，AB//CD,理由如下：
如图,延长AB交DE于点M.
因为 ∠ABE = ∠CDE + ∠BED,
∠ABE = 180° - ∠EBM = ∠BME + ∠BED,
所以∠BME=∠CDE,所以AB//CD.
【知识点】
平行线的判定、三角形外角的性质、角的和差运算
【点评】
本题是平行线判定的典型拐点类题型，重点考查平行线判定定理的应用能力和几何辅助线的构造思路，掌握拐点问题常用的辅助线做法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
13.如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O，OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB交于点P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ=90°.
（1）若∠DOQ：∠DOF=2：5，求∠FOQ的度数；
（2）求证：AB//CD.
（1）若∠DOQ：∠DOF=2：5，求∠FOQ的度数；
（2）求证：AB//CD.
答案
(1)解:因为OQ平分∠DOE,
所以∠EOQ=∠DOQ.
因为∠DOQ : ∠DOF = 2 : 5,所以∠EOQ : ∠DOQ : ∠DOF = 2 : 2 : 5.
因为∠EOQ+∠DOQ+∠DOF=180°,
所以∠EOQ=$\frac{2}{2+2+5}$×180°=40°,
所以∠FOQ=180°-∠EOQ=140°.
(2)证明:因为OP,OQ分别平分∠COE和∠DOE,
所以∠POM = $\frac{1}{2}$ ∠COM, ∠QOM = $\frac{1}{2}$ ∠DOM,
所以∠POM + ∠QOM = $\frac{1}{2}$(∠COM + ∠DOM),
所以∠POQ = $\frac{1}{2}$ ∠COD = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°,
所以∠PQO + ∠OPQ = 90°.
因为∠OPQ + ∠DOQ = 90°,
所以∠PQO = ∠DOQ,所以AB//CD.
所以∠EOQ=∠DOQ.
因为∠DOQ : ∠DOF = 2 : 5,所以∠EOQ : ∠DOQ : ∠DOF = 2 : 2 : 5.
因为∠EOQ+∠DOQ+∠DOF=180°,
所以∠EOQ=$\frac{2}{2+2+5}$×180°=40°,
所以∠FOQ=180°-∠EOQ=140°.
(2)证明:因为OP,OQ分别平分∠COE和∠DOE,
所以∠POM = $\frac{1}{2}$ ∠COM, ∠QOM = $\frac{1}{2}$ ∠DOM,
所以∠POM + ∠QOM = $\frac{1}{2}$(∠COM + ∠DOM),
所以∠POQ = $\frac{1}{2}$ ∠COD = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°,
所以∠PQO + ∠OPQ = 90°.
因为∠OPQ + ∠DOQ = 90°,
所以∠PQO = ∠DOQ,所以AB//CD.
解析
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义可得∠EOQ=∠DOQ，结合已知的∠DOQ与∠DOF的比例关系，可得到∠EOQ、∠DOQ、∠DOF三个角的比例，再利用平角为180°的性质求出∠EOQ的度数，最后根据邻补角的关系计算∠FOQ即可。
（2）先利用角平分线的性质，推导出∠POQ是平角∠COD的一半，可得∠POQ=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠PQO与∠OPQ的和为90°，再结合题目给出的∠OPQ+∠DOQ=90°，等量代换得到内错角∠PQO=∠DOQ，即可证明AB与CD平行。
【解析】
(1)解：因为OQ平分∠DOE，
所以∠EOQ=∠DOQ。
因为∠DOQ : ∠DOF = 2 : 5，所以∠EOQ : ∠DOQ : ∠DOF = 2 : 2 : 5。
因为∠EOQ+∠DOQ+∠DOF=180°，
所以∠EOQ=$\frac{2}{2+2+5}$×180°=40°，
所以∠FOQ=180°-∠EOQ=140°。
(2)证明：因为OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，
所以∠POM = $\frac{1}{2}$ ∠COM， ∠QOM = $\frac{1}{2}$ ∠DOM，
所以∠POM + ∠QOM = $\frac{1}{2}$(∠COM + ∠DOM)，
所以∠POQ = $\frac{1}{2}$ ∠COD = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°，
所以∠PQO + ∠OPQ = 90°。
因为∠OPQ + ∠DOQ = 90°，
所以∠PQO = ∠DOQ，所以AB//CD。
【答案】
(1) $\boxed{140°}$
(2) AB//CD，证明成立
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合角的计算和平行线的证明进行考察，解题关键是熟练运用角平分线的性质梳理角之间的数量关系，结合互余、平角的性质完成等量代换，第二问通过代换得到相等的内错角是证明平行的突破口。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据角平分线的定义可得∠EOQ=∠DOQ，结合已知的∠DOQ与∠DOF的比例关系，可得到∠EOQ、∠DOQ、∠DOF三个角的比例，再利用平角为180°的性质求出∠EOQ的度数，最后根据邻补角的关系计算∠FOQ即可。
（2）先利用角平分线的性质，推导出∠POQ是平角∠COD的一半，可得∠POQ=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠PQO与∠OPQ的和为90°，再结合题目给出的∠OPQ+∠DOQ=90°，等量代换得到内错角∠PQO=∠DOQ，即可证明AB与CD平行。
【解析】
(1)解：因为OQ平分∠DOE，
所以∠EOQ=∠DOQ。
因为∠DOQ : ∠DOF = 2 : 5，所以∠EOQ : ∠DOQ : ∠DOF = 2 : 2 : 5。
因为∠EOQ+∠DOQ+∠DOF=180°，
所以∠EOQ=$\frac{2}{2+2+5}$×180°=40°，
所以∠FOQ=180°-∠EOQ=140°。
(2)证明：因为OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，
所以∠POM = $\frac{1}{2}$ ∠COM， ∠QOM = $\frac{1}{2}$ ∠DOM，
所以∠POM + ∠QOM = $\frac{1}{2}$(∠COM + ∠DOM)，
所以∠POQ = $\frac{1}{2}$ ∠COD = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°，
所以∠PQO + ∠OPQ = 90°。
因为∠OPQ + ∠DOQ = 90°，
所以∠PQO = ∠DOQ，所以AB//CD。
【答案】
(1) $\boxed{140°}$
(2) AB//CD，证明成立
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合角的计算和平行线的证明进行考察，解题关键是熟练运用角平分线的性质梳理角之间的数量关系，结合互余、平角的性质完成等量代换，第二问通过代换得到相等的内错角是证明平行的突破口。
【难度系数】
0.7
