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1.「2026江苏南京联合体期中改编」若关于$x$的一元二次方程$(x-m)^2 = m+1$可以用直接开平方法求解，则$m$的值可以是（
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
A
）A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
答案
由题意可知$m+1≥0$,解得$m≥-1$,故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确直接开平方法解一元二次方程的前提条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有当等号右侧的$b$是非负数（即$b≥0$）时，才能用直接开平方法求解，因为任意实数的平方都大于等于0，若$b＜0$，方程没有实数根，无法用直接开平方法计算。本题给出的方程是$(x-m)^2 = m+1$，因此只需要让等号右侧的$m+1$满足非负的条件，求出$m$的取值范围，再对应选项选出符合条件的值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$(x-m)^2 = m+1$可以用直接开平方法求解，
∴ 方程等号右侧的代数式必须是非负数，即$m+1≥0$，
解这个不等式得：$m≥-1$，
观察四个选项，只有A选项的$-1$满足$m≥-1$的要求。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的适用条件，解题核心是抓住平方数的非负性，推导出方程右侧代数式的取值范围，再结合选项筛选答案即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确直接开平方法解一元二次方程的前提条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有当等号右侧的$b$是非负数（即$b≥0$）时，才能用直接开平方法求解，因为任意实数的平方都大于等于0，若$b＜0$，方程没有实数根，无法用直接开平方法计算。本题给出的方程是$(x-m)^2 = m+1$，因此只需要让等号右侧的$m+1$满足非负的条件，求出$m$的取值范围，再对应选项选出符合条件的值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$(x-m)^2 = m+1$可以用直接开平方法求解，
∴ 方程等号右侧的代数式必须是非负数，即$m+1≥0$，
解这个不等式得：$m≥-1$，
观察四个选项，只有A选项的$-1$满足$m≥-1$的要求。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的适用条件，解题核心是抓住平方数的非负性，推导出方程右侧代数式的取值范围，再结合选项筛选答案即可。
【难度系数】
0.8
2.「2026 四川广元朝天期中」一元二次方程$(x+3)^2=25$可转化为两个一元一次方程，其中一个是$x+3=5$，则另一个是
x+3=-5
。答案
x+3=-5
解析
【分析】
本题可根据直接开平方法解一元二次方程的思路求解。我们知道正数的平方根有两个，且互为相反数，当方程左边是完全平方式、右边为非负常数时，对等式两边同时开平方，就能得到两个一次方程，已知其中一个为$x+3=5$，另一个就是取负的平方根对应的方程。
【解析】
对于一元二次方程$(x+3)^2=25$，根据平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，对等式两边同时开平方可得：
$x+3=\pm5$
即$x+3=5$或$x+3=-5$，因此另一个一元一次方程为$x+3=-5$。
【答案】
$x+3=-5$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是明确正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.9
本题可根据直接开平方法解一元二次方程的思路求解。我们知道正数的平方根有两个，且互为相反数，当方程左边是完全平方式、右边为非负常数时，对等式两边同时开平方，就能得到两个一次方程，已知其中一个为$x+3=5$，另一个就是取负的平方根对应的方程。
【解析】
对于一元二次方程$(x+3)^2=25$，根据平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，对等式两边同时开平方可得：
$x+3=\pm5$
即$x+3=5$或$x+3=-5$，因此另一个一元一次方程为$x+3=-5$。
【答案】
$x+3=-5$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是明确正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.9
3.若关于x的一元二次方程$mx^2=n(mn＞0)$的两个根分别是$a+2$与$3a-6$,则$\sqrt{\dfrac{m}{n}}$的值为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
$\because mx^2=n,\therefore x=\pm\sqrt{\dfrac{n}{m}}$,
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$mx^2=n$的两个根分别是$a+2$与$3a-6$,$\therefore a+2+3a-6=0$,解得$a=1$,$\therefore$ 方程的两个根是$x_1=3$,$x_2=-3$,$\therefore \dfrac{n}{m}=9$,$\therefore \sqrt{\dfrac{m}{n}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$.
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$mx^2=n$的两个根分别是$a+2$与$3a-6$,$\therefore a+2+3a-6=0$,解得$a=1$,$\therefore$ 方程的两个根是$x_1=3$,$x_2=-3$,$\therefore \dfrac{n}{m}=9$,$\therefore \sqrt{\dfrac{m}{n}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先将一元二次方程$mx^2=n$变形为$x^2=\frac{n}{m}$，由$mn＞0$可知$\frac{n}{m}＞0$，用直接开平方法可得方程的两根互为相反数，即两根之和为0。据此先列方程求出$a$的值，再代入得到方程的两个根，进而求出$\frac{n}{m}$的值，最后计算$\sqrt{\frac{m}{n}}$即可。
【解析】
解：$\because mx^2=n$，且$mn＞0$，
$\therefore \frac{n}{m}＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{n}{m}}$，即方程的两个根互为相反数，和为0。
$\because$方程的两个根分别是$a+2$与$3a-6$，
$\therefore (a+2)+(3a-6)=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入两根，得两个根分别为$1+2=3$，$3×1-6=-3$。
把$x=3$代入原方程，得$m×3^2=n$，即$9m=n$，
$\therefore \frac{n}{m}=9$，则$\frac{m}{n}=\frac{1}{9}$，
$\therefore \sqrt{\frac{m}{n}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质；算术平方根计算
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是明确形如$x^2=p(p＞0)$的方程的两根互为相反数，掌握对应方程的根的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先将一元二次方程$mx^2=n$变形为$x^2=\frac{n}{m}$，由$mn＞0$可知$\frac{n}{m}＞0$，用直接开平方法可得方程的两根互为相反数，即两根之和为0。据此先列方程求出$a$的值，再代入得到方程的两个根，进而求出$\frac{n}{m}$的值，最后计算$\sqrt{\frac{m}{n}}$即可。
【解析】
解：$\because mx^2=n$，且$mn＞0$，
$\therefore \frac{n}{m}＞0$，开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{n}{m}}$，即方程的两个根互为相反数，和为0。
$\because$方程的两个根分别是$a+2$与$3a-6$，
$\therefore (a+2)+(3a-6)=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入两根，得两个根分别为$1+2=3$，$3×1-6=-3$。
把$x=3$代入原方程，得$m×3^2=n$，即$9m=n$，
$\therefore \frac{n}{m}=9$，则$\frac{m}{n}=\frac{1}{9}$，
$\therefore \sqrt{\frac{m}{n}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质；算术平方根计算
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是明确形如$x^2=p(p＞0)$的方程的两根互为相反数，掌握对应方程的根的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.用直接开平方法解下列方程：
(1)$9x^2 -25=0$.
(2)「2026江苏南京秦淮期中」$(2x-1)^2 -4=0$.
(1)$9x^2 -25=0$.
(2)「2026江苏南京秦淮期中」$(2x-1)^2 -4=0$.
答案
(1)$\because 9x^2-25=0,\therefore 9x^2=25$,
$\therefore x^2=\dfrac{25}{9},\therefore x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$.
(2)$\because (2x-1)^2-4=0,\therefore (2x-1)^2=4$,
$\therefore 2x-1=2$ 或 $2x-1=-2,\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$.
$\therefore x^2=\dfrac{25}{9},\therefore x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$.
(2)$\because (2x-1)^2-4=0,\therefore (2x-1)^2=4$,
$\therefore 2x-1=2$ 或 $2x-1=-2,\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为“含未知数的平方项等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质降次为一元一次方程求解。
第(1)题：先移项把常数项移到等号右侧，再将x²的系数化为1，得到$x^2=p$（$p＞0$）的形式，直接开平方即可得到两个解；
第(2)题：先移项把常数项移到等号右侧，将$(2x-1)$看作整体，得到$(mx+n)^2=p$（$p＞0$）的形式，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) $\because 9x^2-25=0$，$\therefore 9x^2=25$，
$\therefore x^2=\dfrac{25}{9}$，$\therefore x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$。
(2) $\because (2x-1)^2-4=0$，$\therefore (2x-1)^2=4$，
$\therefore 2x-1=2$ 或 $2x-1=-2$，$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$
(2)$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的适用方程形式，将方程变形为平方项等于非负常数后，通过开平方把二次方程转化为一次方程求解，计算时注意不要漏掉负根。
【难度系数】
0.85
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为“含未知数的平方项等于非负常数”的形式，再利用平方根的性质降次为一元一次方程求解。
第(1)题：先移项把常数项移到等号右侧，再将x²的系数化为1，得到$x^2=p$（$p＞0$）的形式，直接开平方即可得到两个解；
第(2)题：先移项把常数项移到等号右侧，将$(2x-1)$看作整体，得到$(mx+n)^2=p$（$p＞0$）的形式，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) $\because 9x^2-25=0$，$\therefore 9x^2=25$，
$\therefore x^2=\dfrac{25}{9}$，$\therefore x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$。
(2) $\because (2x-1)^2-4=0$，$\therefore (2x-1)^2=4$，
$\therefore 2x-1=2$ 或 $2x-1=-2$，$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$
(2)$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的适用方程形式，将方程变形为平方项等于非负常数后，通过开平方把二次方程转化为一次方程求解，计算时注意不要漏掉负根。
【难度系数】
0.85
5.「2026江苏淮安期中」用配方法解方程$x^2 -6x -8=0$时，配方结果正确的是（
A.$(x-3)^2=17$
B.$(x-3)^2=14$
C.$(x-6)^2=44$
D.$(x-3)^2=1$
A
）A.$(x-3)^2=17$
B.$(x-3)^2=14$
C.$(x-6)^2=44$
D.$(x-3)^2=1$
答案
$\because x^2-6x-8=0,\therefore x^2-6x=8$,
$\therefore x^2-6x+9=8+9,\therefore (x-3)^2=17$,
故选A.
$\therefore x^2-6x+9=8+9,\therefore (x-3)^2=17$,
故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法的固定步骤思考：首先将方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项得到配方结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 8 +9$
根据完全平方公式整理左侧，计算右侧常数项，得：
$(x-3)^2=17$
因此配方结果正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，核心是掌握配方法的操作步骤，熟练运用完全平方公式凑完全平方式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需按照配方法的固定步骤思考：首先将方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项得到配方结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 8 +9$
根据完全平方公式整理左侧，计算右侧常数项，得：
$(x-3)^2=17$
因此配方结果正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，核心是掌握配方法的操作步骤，熟练运用完全平方公式凑完全平方式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 学科特色 教材变式 将下列各式配方(在空格中填上适当的数):
(1)$x^2+12x+$$=(x+$$)^2$.
(2)$x^2-9x+$$=(x-$$)^2$.
(3)$x^2-\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
(4)$x^2+2\sqrt{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$.
(1)$x^2+12x+$$=(x+$$)^2$.
(2)$x^2-9x+$$=(x-$$)^2$.
(3)$x^2-\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
(4)$x^2+2\sqrt{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
(1)36;6 (2)$\dfrac{81}{4}$;$\dfrac{9}{2}$ (3)$\dfrac{9}{16}$;$\dfrac{3}{4}$ (4)2;$\sqrt{2}$
解析 (1)$x^2+12x+36=(x+6)^2$.
(2)$x^2-9x+\dfrac{81}{4}=(x-\dfrac{9}{2})^2$.
(3)$x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=(x-\dfrac{3}{4})^2$.
(4)$x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2$.
解析 (1)$x^2+12x+36=(x+6)^2$.
(2)$x^2-9x+\dfrac{81}{4}=(x-\dfrac{9}{2})^2$.
(3)$x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=(x-\dfrac{3}{4})^2$.
(4)$x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式在配方中的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，本题中二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，即$a=x$；接下来找到给定式子的一次项系数，将一次项系数除以2，得到的结果就是等号右边括号里的常数（符号与一次项符号一致）；最后将这个常数平方，得到的就是需要填的常数项，即可完成配方。
【解析】
根据完全平方公式的配方法则：对于$x^2+bx$，需添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，配方后为$(x+\frac{b}{2})^2$。
(1) 一次项系数为12，$\frac{12}{2}=6$，$6^2=36$，故$x^2+12x+36=(x+6)^2$；
(2) 一次项系数为-9，$\frac{-9}{2}=-\frac{9}{2}$，$(-\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，故$x^2-9x+\frac{81}{4}=(x-\frac{9}{2})^2$；
(3) 一次项系数为$-\frac{3}{2}$，$\frac{-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，故$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x-\frac{3}{4})^2$；
(4) 一次项系数为$2\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$(\sqrt{2})^2=2$，故$x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2$。
【答案】
(1)36；6 (2)$\dfrac{81}{4}$；$\dfrac{9}{2}$ (3)$\dfrac{9}{16}$；$\dfrac{3}{4}$ (4)2；$\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一配方规则是解题的关键，该内容是后续学习用配方法解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式在配方中的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，本题中二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，即$a=x$；接下来找到给定式子的一次项系数，将一次项系数除以2，得到的结果就是等号右边括号里的常数（符号与一次项符号一致）；最后将这个常数平方，得到的就是需要填的常数项，即可完成配方。
【解析】
根据完全平方公式的配方法则：对于$x^2+bx$，需添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，配方后为$(x+\frac{b}{2})^2$。
(1) 一次项系数为12，$\frac{12}{2}=6$，$6^2=36$，故$x^2+12x+36=(x+6)^2$；
(2) 一次项系数为-9，$\frac{-9}{2}=-\frac{9}{2}$，$(-\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，故$x^2-9x+\frac{81}{4}=(x-\frac{9}{2})^2$；
(3) 一次项系数为$-\frac{3}{2}$，$\frac{-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$，$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，故$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x-\frac{3}{4})^2$；
(4) 一次项系数为$2\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$(\sqrt{2})^2=2$，故$x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2$。
【答案】
(1)36；6 (2)$\dfrac{81}{4}$；$\dfrac{9}{2}$ (3)$\dfrac{9}{16}$；$\dfrac{3}{4}$ (4)2；$\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一配方规则是解题的关键，该内容是后续学习用配方法解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
7.「2026江苏无锡滨湖金桥双语实验学校期中」将一元二次方程$x^2+8x=6$化为$(x+m)^2=n$的形式，则$m+n=$
26
。答案
26
解析 $x^2+8x=6$,配方得 $x^2+8x+16=16+6$,即$(x+4)^2=22$,所以 $m=4,n=22$,所以 $m+n=4+22=26$.
解析 $x^2+8x=6$,配方得 $x^2+8x+16=16+6$,即$(x+4)^2=22$,所以 $m=4,n=22$,所以 $m+n=4+22=26$.
解析
【分析】
本题要求将给定的一元二次方程化为$(x+m)^2=n$的指定形式，核心运用配方法求解。首先明确配方法的操作逻辑：对于二次项系数为1的一元二次方程，先确保含未知数的项在等号左侧、常数项在右侧（本题已满足），再在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，之后对应提取m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
解：已知原方程为$x^2+8x=6$，
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，
给方程左右两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=6+16$，
根据完全平方公式整理左侧，计算右侧得：
$(x+4)^2=22$，
对照$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=4$，$n=22$，
因此$m+n=4+22=26$。
【答案】
26
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意凑完全平方时等式两边需同时加上相同的常数，避免遗漏右侧的常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.85
本题要求将给定的一元二次方程化为$(x+m)^2=n$的指定形式，核心运用配方法求解。首先明确配方法的操作逻辑：对于二次项系数为1的一元二次方程，先确保含未知数的项在等号左侧、常数项在右侧（本题已满足），再在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，之后对应提取m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
解：已知原方程为$x^2+8x=6$，
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，
给方程左右两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=6+16$，
根据完全平方公式整理左侧，计算右侧得：
$(x+4)^2=22$，
对照$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=4$，$n=22$，
因此$m+n=4+22=26$。
【答案】
26
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意凑完全平方时等式两边需同时加上相同的常数，避免遗漏右侧的常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.85
8.用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$.
(2)$x^2 - 12x - 13 = 0$.
(3)$x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
(4)$y^2 - \sqrt{2}y - \frac{1}{4} = 0$.
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$.
(2)$x^2 - 12x - 13 = 0$.
(3)$x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
(4)$y^2 - \sqrt{2}y - \frac{1}{4} = 0$.
答案
(1)$x^2+10x+9=0$,移项,得 $x^2+10x=-9$,
配方,得 $x^2+10x+5^2=-9+5^2$,即$(x+5)^2=16$,
开平方,得 $x+5=\pm4$,$\therefore x_1=-9,x_2=-1$.
(2)$x^2-12x-13=0$,移项,得 $x^2-12x=13$,配方,得 $x^2-12x+6^2=13+6^2$,即$(x-6)^2=49$,开平方,得 $x-6=\pm7$,
$\therefore x_1=13,x_2=-1$.
(3)$x^2+4\sqrt{3}x+3=0$,移项,得 $x^2+4\sqrt{3}x=-3$,配方,得 $x^2+4\sqrt{3}x+(2\sqrt{3})^2=-3+(2\sqrt{3})^2$,即$(x+2\sqrt{3})^2=9$,开平方,得 $x+2\sqrt{3}=\pm3$,$\therefore x_1=3-2\sqrt{3},x_2=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y^2-\sqrt{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^2-\sqrt{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^2-\sqrt{2}y+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$,即$(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$,开平方,得 $y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore y_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},y_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
配方,得 $x^2+10x+5^2=-9+5^2$,即$(x+5)^2=16$,
开平方,得 $x+5=\pm4$,$\therefore x_1=-9,x_2=-1$.
(2)$x^2-12x-13=0$,移项,得 $x^2-12x=13$,配方,得 $x^2-12x+6^2=13+6^2$,即$(x-6)^2=49$,开平方,得 $x-6=\pm7$,
$\therefore x_1=13,x_2=-1$.
(3)$x^2+4\sqrt{3}x+3=0$,移项,得 $x^2+4\sqrt{3}x=-3$,配方,得 $x^2+4\sqrt{3}x+(2\sqrt{3})^2=-3+(2\sqrt{3})^2$,即$(x+2\sqrt{3})^2=9$,开平方,得 $x+2\sqrt{3}=\pm3$,$\therefore x_1=3-2\sqrt{3},x_2=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y^2-\sqrt{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^2-\sqrt{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^2-\sqrt{2}y+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$,即$(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$,开平方,得 $y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore y_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},y_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，核心是将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解，具体步骤为：①移项：把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方形式；③开平方：把方程转化为两个一元一次方程；④求解一元一次方程得到原方程的解。本题4个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1)$x^2+10x+9=0$,移项,得 $x^2+10x=-9$,
配方,得 $x^2+10x+5^2=-9+5^2$,即$(x+5)^2=16$,
开平方,得 $x+5=\pm4$,$\therefore x_1=-9,x_2=-1$.
(2)$x^2-12x-13=0$,移项,得 $x^2-12x=13$,配方,得 $x^2-12x+6^2=13+6^2$,即$(x-6)^2=49$,开平方,得 $x-6=\pm7$,
$\therefore x_1=13,x_2=-1$.
(3)$x^2+4\sqrt{3}x+3=0$,移项,得 $x^2+4\sqrt{3}x=-3$,配方,得 $x^2+4\sqrt{3}x+(2\sqrt{3})^2=-3+(2\sqrt{3})^2$,即$(x+2\sqrt{3})^2=9$,开平方,得 $x+2\sqrt{3}=\pm3$,$\therefore x_1=3-2\sqrt{3},x_2=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y^2-\sqrt{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^2-\sqrt{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^2-\sqrt{2}y+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$,即$(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$,开平方,得 $y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore y_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},y_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=-9$，$x_2=-1$
(2)$x_1=13$，$x_2=-1$
(3)$x_1=3-2\sqrt{3}$，$x_2=-3-2\sqrt{3}$
(4)$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准化步骤，易错点为配方时遗漏给等号右侧加常数，以及计算带根号的一次项系数一半的平方时出现运算错误，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，核心是将方程左边配成完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解，具体步骤为：①移项：把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方形式；③开平方：把方程转化为两个一元一次方程；④求解一元一次方程得到原方程的解。本题4个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1)$x^2+10x+9=0$,移项,得 $x^2+10x=-9$,
配方,得 $x^2+10x+5^2=-9+5^2$,即$(x+5)^2=16$,
开平方,得 $x+5=\pm4$,$\therefore x_1=-9,x_2=-1$.
(2)$x^2-12x-13=0$,移项,得 $x^2-12x=13$,配方,得 $x^2-12x+6^2=13+6^2$,即$(x-6)^2=49$,开平方,得 $x-6=\pm7$,
$\therefore x_1=13,x_2=-1$.
(3)$x^2+4\sqrt{3}x+3=0$,移项,得 $x^2+4\sqrt{3}x=-3$,配方,得 $x^2+4\sqrt{3}x+(2\sqrt{3})^2=-3+(2\sqrt{3})^2$,即$(x+2\sqrt{3})^2=9$,开平方,得 $x+2\sqrt{3}=\pm3$,$\therefore x_1=3-2\sqrt{3},x_2=-3-2\sqrt{3}$.
(4)$y^2-\sqrt{2}y-\dfrac{1}{4}=0$,移项,得 $y^2-\sqrt{2}y=\dfrac{1}{4}$,配方,得 $y^2-\sqrt{2}y+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$,即$(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{3}{4}$,开平方,得 $y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore y_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},y_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=-9$，$x_2=-1$
(2)$x_1=13$，$x_2=-1$
(3)$x_1=3-2\sqrt{3}$，$x_2=-3-2\sqrt{3}$
(4)$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准化步骤，易错点为配方时遗漏给等号右侧加常数，以及计算带根号的一次项系数一半的平方时出现运算错误，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.「2026江苏苏州工业园区期中」用配方法解一元二次方程$2x^2 -2x -1=0$，下列配方正确的是（
A.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{4}$
B.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
D.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{2}$
C
）A.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{4}$
B.$(x-\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{3}{2}$
C.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
D.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{2}$
答案
方程$2x^2-2x-1=0$,整理得 $x^2-x=\dfrac{1}{2}$,配方得 $x^2-x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$,即$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$.故选C.
解析
【分析】
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导，再匹配选项即可。首先回忆配方法的核心步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 -2x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-1$，一半的平方为$(\dfrac{-1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，因此两边加$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得$\dfrac{3}{4}$，即：
$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
因此配方正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，掌握配方法的操作步骤是解题的核心，配方时需注意等式两边需同时加减相同的数保证等式成立，同时要准确计算一次项系数一半的平方，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导，再匹配选项即可。首先回忆配方法的核心步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 -2x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-1$，一半的平方为$(\dfrac{-1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，因此两边加$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得$\dfrac{3}{4}$，即：
$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{4}$
因此配方正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，掌握配方法的操作步骤是解题的核心，配方时需注意等式两边需同时加减相同的数保证等式成立，同时要准确计算一次项系数一半的平方，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
10.将下列各式配方(在空格中填上适当的数)：
(1)$2x^2 - 12x + 5 = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_.$
(2)$\frac{1}{3}x^2 - x - 5 = \frac{1}{3}(x - \_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_.$
(1)$2x^2 - 12x + 5 = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_.$
(2)$\frac{1}{3}x^2 - x - 5 = \frac{1}{3}(x - \_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1)3;13 (2)$\dfrac{3}{2}$;$(-\dfrac{23}{4})$
解析 (1)$2x^2-12x+5=2(x^2-6x+9-9)+5=2(x-3)^2-13$.
(2)$\dfrac{1}{3}x^2 -x -5=\dfrac{1}{3}(x^2-3x)-5=\dfrac{1}{3}(x^2-3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4})-5=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{23}{4}$.
解析 (1)$2x^2-12x+5=2(x^2-6x+9-9)+5=2(x-3)^2-13$.
(2)$\dfrac{1}{3}x^2 -x -5=\dfrac{1}{3}(x^2-3x)-5=\dfrac{1}{3}(x^2-3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4})-5=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{23}{4}$.
解析
【分析】
这是二次三项式的配方题，解题思路分三步：①先提取二次项系数，把二次项和一次项放在括号内，常数项单独放；②对括号内的二次式，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，将括号内凑成完全平方式；③展开整理常数项，即可得到配方后的形式，对应找到需要填的数。
【解析】
(1) 先对前两项提取二次项系数2：
$2x^2 -12x +5 = 2(x^2 -6x) +5$
括号内凑完全平方：一次项系数为-6，一半是-3，平方为9，因此：
原式$=2(x^2 -6x +9 -9) +5 = 2[(x-3)^2 -9] +5$
展开整理常数项：$=2(x-3)^2 -18 +5 = 2(x-3)^2 -13$
两个空依次填3、13。
(2) 先对前两项提取二次项系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 -x -5 = \frac{1}{3}(x^2 -3x) -5$
括号内凑完全平方：一次项系数为-3，一半是$-\frac{3}{2}$，平方为$\frac{9}{4}$，因此：
原式$=\frac{1}{3}(x^2 -3x +\frac{9}{4} - \frac{9}{4}) -5 = \frac{1}{3}[(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] -5$
展开整理常数项：$=\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} -5 = \frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{23}{4}$
两个空依次填$\frac{3}{2}$、$-\frac{23}{4}$。
【答案】
(1) $3$；$13$ (2) $\dfrac{3}{2}$；$-\dfrac{23}{4}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是先提取二次项系数将二次项系数化为1，再凑完全平方，调整常数项时要注意系数的乘法运算，避免常数项计算错误，掌握该方法是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值的基础。
【难度系数】
0.8
这是二次三项式的配方题，解题思路分三步：①先提取二次项系数，把二次项和一次项放在括号内，常数项单独放；②对括号内的二次式，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，将括号内凑成完全平方式；③展开整理常数项，即可得到配方后的形式，对应找到需要填的数。
【解析】
(1) 先对前两项提取二次项系数2：
$2x^2 -12x +5 = 2(x^2 -6x) +5$
括号内凑完全平方：一次项系数为-6，一半是-3，平方为9，因此：
原式$=2(x^2 -6x +9 -9) +5 = 2[(x-3)^2 -9] +5$
展开整理常数项：$=2(x-3)^2 -18 +5 = 2(x-3)^2 -13$
两个空依次填3、13。
(2) 先对前两项提取二次项系数$\frac{1}{3}$：
$\frac{1}{3}x^2 -x -5 = \frac{1}{3}(x^2 -3x) -5$
括号内凑完全平方：一次项系数为-3，一半是$-\frac{3}{2}$，平方为$\frac{9}{4}$，因此：
原式$=\frac{1}{3}(x^2 -3x +\frac{9}{4} - \frac{9}{4}) -5 = \frac{1}{3}[(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}] -5$
展开整理常数项：$=\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{4} -5 = \frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{23}{4}$
两个空依次填$\frac{3}{2}$、$-\frac{23}{4}$。
【答案】
(1) $3$；$13$ (2) $\dfrac{3}{2}$；$-\dfrac{23}{4}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是先提取二次项系数将二次项系数化为1，再凑完全平方，调整常数项时要注意系数的乘法运算，避免常数项计算错误，掌握该方法是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值的基础。
【难度系数】
0.8
11.解下列方程：
(1)$4x^2 -12x -7=0$.
(2)$-3x^2 -6x +4=0$.
(1)$4x^2 -12x -7=0$.
(2)$-3x^2 -6x +4=0$.
答案
(1)移项,得 $4x^2-12x=7$,两边同时除以4,得 $x^2-3x=\dfrac{7}{4}$,配方,得 $x^2-3x+\dfrac{9}{4}=\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{4}$,即$(x-\dfrac{3}{2})^2=4$,
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm2$,$\therefore x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(2)原方程可以变形为 $x^2+2x=\dfrac{4}{3}$,配方,得 $x^2+2x+1=\dfrac{4}{3}+1$,即$(x+1)^2=\dfrac{7}{3}$,开平方,得 $x+1=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{3}$,
$\therefore x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm2$,$\therefore x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(2)原方程可以变形为 $x^2+2x=\dfrac{4}{3}$,配方,得 $x^2+2x+1=\dfrac{4}{3}+1$,即$(x+1)^2=\dfrac{7}{3}$,开平方,得 $x+1=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{3}$,
$\therefore x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定思路：①先整理方程，将常数项移到等号右侧；②把二次项系数化为1；③方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方转化为一元一次方程求解即可。计算时要注意符号变化，开平方不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项，得 $4x^2-12x=7$，
两边同时除以4，得 $x^2-3x=\dfrac{7}{4}$，
配方，得 $x^2-3x+\dfrac{9}{4}=\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{4}$，
即 $(x-\dfrac{3}{2})^2=4$，
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm2$，
$\therefore x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 原方程可以变形为 $x^2+2x=\dfrac{4}{3}$，
配方，得 $x^2+2x+1=\dfrac{4}{3}+1$，
即 $(x+1)^2=\dfrac{7}{3}$，
开平方，得 $x+1=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{3}$，
$\therefore x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意二次项系数化为1的处理，配方时等号两边需同时加同一个数，开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定思路：①先整理方程，将常数项移到等号右侧；②把二次项系数化为1；③方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方转化为一元一次方程求解即可。计算时要注意符号变化，开平方不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项，得 $4x^2-12x=7$，
两边同时除以4，得 $x^2-3x=\dfrac{7}{4}$，
配方，得 $x^2-3x+\dfrac{9}{4}=\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{4}$，
即 $(x-\dfrac{3}{2})^2=4$，
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm2$，
$\therefore x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 原方程可以变形为 $x^2+2x=\dfrac{4}{3}$，
配方，得 $x^2+2x+1=\dfrac{4}{3}+1$，
即 $(x+1)^2=\dfrac{7}{3}$，
开平方，得 $x+1=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{3}$，
$\therefore x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{7}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1=-1+\dfrac{\sqrt{21}}{3},x_2=-1-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意二次项系数化为1的处理，配方时等号两边需同时加同一个数，开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
