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11.「2026江苏镇江扬中期中，★☆」若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一解为$x=2024$，则一元二次方程$a(x-2)^2+bx=2b-2$必有一解为（
A.$x=2026$
B.$x=2025$
C.$x=2024$
D.$x=2022$
A
）A.$x=2026$
B.$x=2025$
C.$x=2024$
D.$x=2022$
答案
方程 $a(x-2)^2+bx=2b-2$ 可以变形为 $a(x-2)^2+b(x-2)+2=0$,设 $x-2=m$,
$\therefore am^2+bm+2=0$,
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+2=0(a≠ 0)$ 有一解为 $x=2\ 024$,
$\therefore am^2+bm+2=0$ 有一解为 $m=2\ 024$,
$\therefore x-2=2\ 024$,解得 $x=2\ 026$,
$\therefore$ 一元二次方程 $a(x-2)^2+bx=2b-2$ 必有一解为 $x=2\ 026$,故选 A.
$\therefore am^2+bm+2=0$,
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+2=0(a≠ 0)$ 有一解为 $x=2\ 024$,
$\therefore am^2+bm+2=0$ 有一解为 $m=2\ 024$,
$\therefore x-2=2\ 024$,解得 $x=2\ 026$,
$\therefore$ 一元二次方程 $a(x-2)^2+bx=2b-2$ 必有一解为 $x=2\ 026$,故选 A.
解析
【分析】
解题时先观察已知方程和待求方程的结构联系，先通过移项、因式分解将待求方程变形为与已知方程结构完全相同的形式，再运用换元法，将新的整体未知数对应已知方程的未知数，利用已知方程的解即可快速求出待求方程的解，无需计算a、b的具体数值，简化运算。
【解析】
首先对一元二次方程$a(x-2)^2+bx=2b-2$进行变形：
移项得$a(x-2)^2+bx-2b+2=0$，
提取公因式得$a(x-2)^2+b(x-2)+2=0$，
设$m=x-2$，则原方程可化为$am^2+bm+2=0$，
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一解为$x=2024$，
$\therefore$ 方程$am^2+bm+2=0$有一解为$m=2024$，
即$x-2=2024$，解得$x=2026$，
因此一元二次方程$a(x-2)^2+bx=2b-2$必有一解为$x=2026$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，换元法，等式变形
【点评】
本题核心考查整体代换的数学思想，解题的关键是将待求方程整理为和已知方程结构一致的形式，通过整体换元直接利用已知条件求解，避免了复杂的参数计算，是一元二次方程解的概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知方程和待求方程的结构联系，先通过移项、因式分解将待求方程变形为与已知方程结构完全相同的形式，再运用换元法，将新的整体未知数对应已知方程的未知数，利用已知方程的解即可快速求出待求方程的解，无需计算a、b的具体数值，简化运算。
【解析】
首先对一元二次方程$a(x-2)^2+bx=2b-2$进行变形：
移项得$a(x-2)^2+bx-2b+2=0$，
提取公因式得$a(x-2)^2+b(x-2)+2=0$，
设$m=x-2$，则原方程可化为$am^2+bm+2=0$，
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一解为$x=2024$，
$\therefore$ 方程$am^2+bm+2=0$有一解为$m=2024$，
即$x-2=2024$，解得$x=2026$，
因此一元二次方程$a(x-2)^2+bx=2b-2$必有一解为$x=2026$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，换元法，等式变形
【点评】
本题核心考查整体代换的数学思想，解题的关键是将待求方程整理为和已知方程结构一致的形式，通过整体换元直接利用已知条件求解，避免了复杂的参数计算，是一元二次方程解的概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
12.「2026江苏连云港东海联考，★☆」已知下面三个关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$bx^2+cx+a=0$，$cx^2+ax+b=0$恰好有一个相同的实数根$a$，则$a+b+c$的值为（
A.0
B.1
C.3
D.不确定
A
）A.0
B.1
C.3
D.不确定
答案
把 $x=a$ 代入 $ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0$,得 $a· a^2+ba+c=0,ba^2+ca+a=0,ca^2+a· a+b=0$,
相加得 $(a+b+c)a^2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0$,
$\therefore (a+b+c)(a^2+a+1)=0$,
$\because a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
$\therefore a+b+c=0$,
故选 A.
相加得 $(a+b+c)a^2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0$,
$\therefore (a+b+c)(a^2+a+1)=0$,
$\because a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
$\therefore a+b+c=0$,
故选 A.
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，公共根代入任意一个方程都能使等式成立，因此先将公共根$x=a$分别代入三个已知方程，得到三个关于$a、b、c$的等式；观察三个等式的结构特征，将它们左右两边分别相加，可提取公因式$(a+b+c)$；再通过配方法判断另一个因式$a^2+a+1$的取值范围，结合其恒大于0的性质，即可推出$a+b+c$的值。
【解析】
解：$\because x=a$是三个一元二次方程的相同实数根，
$\therefore$将$x=a$分别代入三个方程，得：
$a· a^2 + ba + c = 0$ ①，
$ba^2 + ca + a = 0$ ②，
$ca^2 + a· a + b = 0$ ③，
将①+②+③，得：
$(a+b+c)a^2 + (a+b+c)a + (a+b+c) = 0$，
提取公因式得：$(a+b+c)(a^2+a+1)=0$，
对$a^2+a+1$配方可得：$a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，
$\because (a+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore (a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ＞ 0$，即$a^2+a+1$恒为正数，
$\therefore a+b+c=0$，
故选A。
【答案】A
【知识点】
方程根的定义，因式分解，配方法
【点评】
本题解题的关键是灵活运用方程根的定义，通过将公共根代入方程后相加构造出含$a+b+c$的式子，再结合配方法判断因式的正负性即可求解，解题思路巧妙，整体难度不高。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，公共根代入任意一个方程都能使等式成立，因此先将公共根$x=a$分别代入三个已知方程，得到三个关于$a、b、c$的等式；观察三个等式的结构特征，将它们左右两边分别相加，可提取公因式$(a+b+c)$；再通过配方法判断另一个因式$a^2+a+1$的取值范围，结合其恒大于0的性质，即可推出$a+b+c$的值。
【解析】
解：$\because x=a$是三个一元二次方程的相同实数根，
$\therefore$将$x=a$分别代入三个方程，得：
$a· a^2 + ba + c = 0$ ①，
$ba^2 + ca + a = 0$ ②，
$ca^2 + a· a + b = 0$ ③，
将①+②+③，得：
$(a+b+c)a^2 + (a+b+c)a + (a+b+c) = 0$，
提取公因式得：$(a+b+c)(a^2+a+1)=0$，
对$a^2+a+1$配方可得：$a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，
$\because (a+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore (a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ＞ 0$，即$a^2+a+1$恒为正数，
$\therefore a+b+c=0$，
故选A。
【答案】A
【知识点】
方程根的定义，因式分解，配方法
【点评】
本题解题的关键是灵活运用方程根的定义，通过将公共根代入方程后相加构造出含$a+b+c$的式子，再结合配方法判断因式的正负性即可求解，解题思路巧妙，整体难度不高。
【难度系数】
0.8
13.学科特色
整体思想
(1)「★☆」若$m$是方程$x^2 -2x -1=0$的根，则$m^2 + \frac{1}{m^2}=$
(2)「2026江苏苏州昆山开发区实验学校月考，★☆」已知$m$是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，则$m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4=$
整体思想
(1)「★☆」若$m$是方程$x^2 -2x -1=0$的根，则$m^2 + \frac{1}{m^2}=$
6
.(2)「2026江苏苏州昆山开发区实验学校月考，★☆」已知$m$是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，则$m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4=$
3
.答案
答案 (1)6 (2)3
解析 (1)$\because m$ 是方程 $x^2-2x-1=0$ 的根,$\therefore m^2-2m-1=0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即 $m-\frac{1}{m}=2$,$\therefore m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2+2=2^2+2=6$.
(2)$\because m$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的一个根,$\therefore m^2-m-1=0$,$\therefore m^2=m+1$,$\therefore m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4=m(m^2+2m+1)-(m+1)(m+3)+4=m(m+1+2m+1)-(m^2+4m+3)+4=3m^2+2m-m^2-4m-3+4=2m^2-2m+1=2(m+1)-2m+1=2m+2-2m+1=3$.
解析 (1)$\because m$ 是方程 $x^2-2x-1=0$ 的根,$\therefore m^2-2m-1=0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即 $m-\frac{1}{m}=2$,$\therefore m^2+\frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2+2=2^2+2=6$.
(2)$\because m$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的一个根,$\therefore m^2-m-1=0$,$\therefore m^2=m+1$,$\therefore m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4=m(m^2+2m+1)-(m+1)(m+3)+4=m(m+1+2m+1)-(m^2+4m+3)+4=3m^2+2m-m^2-4m-3+4=2m^2-2m+1=2(m+1)-2m+1=2m+2-2m+1=3$.
解析
【分析】
本题运用整体思想求解，无需计算m的具体值：
(1) 先根据方程根的定义，将m代入方程得到关于m的等式，观察所求为m²与1/m²的和，可将等式两边同时除以非零的m，得到m-1/m的值，再利用完全平方公式变形即可求出目标式的值。
(2) 先根据方程根的定义得到m²=m+1，将所求代数式展开后，用m+1替换所有的m²实现降次，化简后可消去含m的项，直接得到结果。
【解析】
(1)
∵ m是方程$x^2 -2x -1=0$的根，
∴ $m^2 -2m -1=0$，
显然m≠0，等式两边同时除以m得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，即$m - \frac{1}{m}=2$，
由完全平方公式变形得：$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 + 2=2^2 + 2=6$。
(2)
∵ m是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，
∴ $m^2 - m -1=0$，即$m^2 = m + 1$，
化简所求代数式：
$m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4$
$=m(m^2+2m+1) - m^2(m+3)+4$
将$m^2=m+1$代入得：
$=m(m+1+2m+1) - (m+1)(m+3)+4$
$=m(3m+2) - (m^2+4m+3)+4$
$=3m^2 +2m -m^2 -4m -3 +4$
$=2m^2 -2m +1$
再次代入$m^2=m+1$得：
$=2(m+1) -2m +1=2m+2-2m+1=3$。
【答案】
(1)6；(2)3
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
这两道题是一元二次方程根的应用的典型基础题，核心考查整体代入思想，无需解方程求根，通过对已知等式和所求代数式的变形、降次即可简化计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.8
本题运用整体思想求解，无需计算m的具体值：
(1) 先根据方程根的定义，将m代入方程得到关于m的等式，观察所求为m²与1/m²的和，可将等式两边同时除以非零的m，得到m-1/m的值，再利用完全平方公式变形即可求出目标式的值。
(2) 先根据方程根的定义得到m²=m+1，将所求代数式展开后，用m+1替换所有的m²实现降次，化简后可消去含m的项，直接得到结果。
【解析】
(1)
∵ m是方程$x^2 -2x -1=0$的根，
∴ $m^2 -2m -1=0$，
显然m≠0，等式两边同时除以m得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，即$m - \frac{1}{m}=2$，
由完全平方公式变形得：$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m-\frac{1}{m})^2 + 2=2^2 + 2=6$。
(2)
∵ m是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，
∴ $m^2 - m -1=0$，即$m^2 = m + 1$，
化简所求代数式：
$m(m+1)^2 - m^2(m+3)+4$
$=m(m^2+2m+1) - m^2(m+3)+4$
将$m^2=m+1$代入得：
$=m(m+1+2m+1) - (m+1)(m+3)+4$
$=m(3m+2) - (m^2+4m+3)+4$
$=3m^2 +2m -m^2 -4m -3 +4$
$=2m^2 -2m +1$
再次代入$m^2=m+1$得：
$=2(m+1) -2m +1=2m+2-2m+1=3$。
【答案】
(1)6；(2)3
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
这两道题是一元二次方程根的应用的典型基础题，核心考查整体代入思想，无需解方程求根，通过对已知等式和所求代数式的变形、降次即可简化计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.8
14.「2026江苏南京外国语学校淮安分校月考，★☆」已知关于$x$的方程$(k-2)x^{k^2 -2}+3x-5=0$是一元二次方程，求直线$y=kx -k$与两坐标轴围成的三角形的面积.
答案
解析 $\because (k-2)x^{k^2-2}+3x-5=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,$\therefore \begin{cases} k^2-2=2,\\ k-2≠ 0, \end{cases}$ 解得 $k=-2$.$\therefore$ 直线解析式为 $y=-2x+2$.把 $x=0$ 代入 $y=-2x+2$,得 $y=2$;把 $y=0$ 代入 $y=-2x+2$,得 $x=1$.$\therefore$ 直线 $y=-2x+2$ 与两坐标轴的交点坐标分别为 $(1,0),(0,2)$,$\therefore$ 直线 $y=-2x+2$ 与两坐标轴围成的三角形的两条直角边的长分别为 1 和 2,$\therefore$ 所求面积为 $\frac{1}{2}×1×2=1$.
解析
【分析】
要解决本题需分三步思考：第一步，根据一元二次方程的定义求k的值，一元二次方程需要同时满足两个条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列不等式组求解即可，注意不要漏掉二次项系数不为0的限制条件；第二步，将求得的k代入直线解析式，分别计算直线与x轴、y轴的交点坐标；第三步，直线与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两个交点的横、纵坐标的绝对值就是直角三角形的两条直角边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 方程$(k-2)x^{k^2 -2}+3x-5=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 需满足$\begin{cases} k^2-2=2 \\ k-2≠0 \end{cases}$，
解$k^2-2=2$得$k=\pm2$，结合$k-2≠0$即$k≠2$，因此$k=-2$。
将$k=-2$代入直线$y=kx -k$，得直线解析式为$y=-2x + 2$。
令$x=0$，代入得$y=2$，即直线与y轴交点为$(0,2)$；
令$y=0$，代入得$0=-2x+2$，解得$x=1$，即直线与x轴交点为$(1,0)$。
直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为1和2，
∴ 面积$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；一次函数的图象与交点；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是准确掌握一元二次方程的定义，不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，再结合一次函数与坐标轴交点的求法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题需分三步思考：第一步，根据一元二次方程的定义求k的值，一元二次方程需要同时满足两个条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列不等式组求解即可，注意不要漏掉二次项系数不为0的限制条件；第二步，将求得的k代入直线解析式，分别计算直线与x轴、y轴的交点坐标；第三步，直线与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两个交点的横、纵坐标的绝对值就是直角三角形的两条直角边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 方程$(k-2)x^{k^2 -2}+3x-5=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 需满足$\begin{cases} k^2-2=2 \\ k-2≠0 \end{cases}$，
解$k^2-2=2$得$k=\pm2$，结合$k-2≠0$即$k≠2$，因此$k=-2$。
将$k=-2$代入直线$y=kx -k$，得直线解析式为$y=-2x + 2$。
令$x=0$，代入得$y=2$，即直线与y轴交点为$(0,2)$；
令$y=0$，代入得$0=-2x+2$，解得$x=1$，即直线与x轴交点为$(1,0)$。
直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为1和2，
∴ 面积$S=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；一次函数的图象与交点；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是准确掌握一元二次方程的定义，不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，再结合一次函数与坐标轴交点的求法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 核心 素养 推理能力 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根分别为1和$-\dfrac{1}{2}$，则关于$y$的一元二次方程$c(y-2025)^2 + b(y-4)=2021b -a(c≠0)$的两个实数根分别为
2023,2026
.答案
答案 2 023,2 026
解析 令 $x=\frac{1}{z}$,代入已知方程可得 $cz^2+bz+a=0$,
$\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 与方程 $cz^2+bz+a=0$ 的根互为倒数,即 $z_1=-2,z_2=1$,$\because c(y-2\ 025)^2+b(y-4)=2\ 021b-a(c≠ 0)$,$\therefore c(y-2\ 025)^2+b(y-2\ 025)+a=0$,
$\therefore y-2\ 025=-2$ 或 $y-2\ 025=1$,解得 $y=2\ 023$ 或 $y=2\ 026$.
解析 令 $x=\frac{1}{z}$,代入已知方程可得 $cz^2+bz+a=0$,
$\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 与方程 $cz^2+bz+a=0$ 的根互为倒数,即 $z_1=-2,z_2=1$,$\because c(y-2\ 025)^2+b(y-4)=2\ 021b-a(c≠ 0)$,$\therefore c(y-2\ 025)^2+b(y-2\ 025)+a=0$,
$\therefore y-2\ 025=-2$ 或 $y-2\ 025=1$,解得 $y=2\ 023$ 或 $y=2\ 026$.
解析
【分析】
解题核心是找到待求的关于$y$的方程和已知根的方程的联系。第一步先推导系数为$c、b、a$的一元二次方程的根：已知方程的根均不为0，将已知方程两边同时除以$x^2$，可得形如$c· (\frac{1}{x})^2 + b· \frac{1}{x} + a=0$的式子，由此可知方程$cz^2+bz+a=0$的根是已知方程根的倒数。第二步整理待求的关于$y$的方程，通过移项合并同类项，将其转化为$c(y-2025)^2 + b(y-2025)+a=0$的形式，把$y-2025$看作整体，对应$cz^2+bz+a=0$的根，最后解方程即可得到$y$的值。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$1$和$-\frac{1}{2}$，且两根均不为0，将方程两边同时除以$x^2$得：
$a + b· \frac{1}{x} + c· (\frac{1}{x})^2=0$，即$c· (\frac{1}{x})^2 + b· \frac{1}{x} + a=0$
因此方程$cz^2 + bz + a=0$的两个根是已知方程根的倒数，即$z_1=\frac{1}{1}=1$，$z_2=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$。
接下来整理关于$y$的一元二次方程：
$c(y-2025)^2 + b(y-4)=2021b -a$
移项得：$c(y-2025)^2 + b(y-4) -2021b +a=0$
合并含$b$的项：$y-4-2021=y-2025$，因此方程可化为：
$c(y-2025)^2 + b(y-2025) + a=0$
令$z=y-2025$，则方程变为$cz^2 +bz +a=0$，其根为$z=1$或$z=-2$，因此：
$y-2025=1$ 或 $y-2025=-2$
解得$y=2026$或$y=2023$。
【答案】
$2023$，$2026$
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法解方程，等式的性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的灵活应用，需要学生通过观察方程系数的特点进行变形，结合整体换元的思想将未知方程转化为已知根的方程求解，对推理变形能力有一定要求，解题的关键是找到两个方程之间的联系。
【难度系数】
0.55
解题核心是找到待求的关于$y$的方程和已知根的方程的联系。第一步先推导系数为$c、b、a$的一元二次方程的根：已知方程的根均不为0，将已知方程两边同时除以$x^2$，可得形如$c· (\frac{1}{x})^2 + b· \frac{1}{x} + a=0$的式子，由此可知方程$cz^2+bz+a=0$的根是已知方程根的倒数。第二步整理待求的关于$y$的方程，通过移项合并同类项，将其转化为$c(y-2025)^2 + b(y-2025)+a=0$的形式，把$y-2025$看作整体，对应$cz^2+bz+a=0$的根，最后解方程即可得到$y$的值。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根为$1$和$-\frac{1}{2}$，且两根均不为0，将方程两边同时除以$x^2$得：
$a + b· \frac{1}{x} + c· (\frac{1}{x})^2=0$，即$c· (\frac{1}{x})^2 + b· \frac{1}{x} + a=0$
因此方程$cz^2 + bz + a=0$的两个根是已知方程根的倒数，即$z_1=\frac{1}{1}=1$，$z_2=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$。
接下来整理关于$y$的一元二次方程：
$c(y-2025)^2 + b(y-4)=2021b -a$
移项得：$c(y-2025)^2 + b(y-4) -2021b +a=0$
合并含$b$的项：$y-4-2021=y-2025$，因此方程可化为：
$c(y-2025)^2 + b(y-2025) + a=0$
令$z=y-2025$，则方程变为$cz^2 +bz +a=0$，其根为$z=1$或$z=-2$，因此：
$y-2025=1$ 或 $y-2025=-2$
解得$y=2026$或$y=2023$。
【答案】
$2023$，$2026$
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法解方程，等式的性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的灵活应用，需要学生通过观察方程系数的特点进行变形，结合整体换元的思想将未知方程转化为已知根的方程求解，对推理变形能力有一定要求，解题的关键是找到两个方程之间的联系。
【难度系数】
0.55
16. 核心素养 推理能力 阅读理解.
定义:如果关于$x$的方程$a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1≠0,a_1,b_1,c_1$是常数)与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0(a_2≠0,a_2,b_2,c_2$是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,则这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程$2x^2 -3x +1=0$的“对称方程”,这样思考:由方程$2x^2 -3x +1=0$可知,$a_1=2,b_1=-3,c_1=1$,根据$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,可求出$a_2,b_2,c_2$,从而可确定这个方程的“对称方程”.请用以上方法解决下列问题.
(1)写出方程$x^2 -4x +3=0$的“对称方程”:
(2)若关于$x$的方程$5x^2 +(m-1)x -n =0$与$-5x^2 -x =1$互为“对称方程”,求$(m+n)^2$的值.
定义:如果关于$x$的方程$a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1≠0,a_1,b_1,c_1$是常数)与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0(a_2≠0,a_2,b_2,c_2$是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,则这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程$2x^2 -3x +1=0$的“对称方程”,这样思考:由方程$2x^2 -3x +1=0$可知,$a_1=2,b_1=-3,c_1=1$,根据$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,可求出$a_2,b_2,c_2$,从而可确定这个方程的“对称方程”.请用以上方法解决下列问题.
(1)写出方程$x^2 -4x +3=0$的“对称方程”:
$-x^2-4x-3=0$
.(2)若关于$x$的方程$5x^2 +(m-1)x -n =0$与$-5x^2 -x =1$互为“对称方程”,求$(m+n)^2$的值.
答案
(1)答案 $-x^2-4x-3=0$.
(2)解析 $-5x^2-x=1$ 可以变形为 $-5x^2-x-1=0$,
$\therefore$ 方程 $5x^2+(m-1)x-n=0$ 与 $-5x^2-x-1=0$ 互为“对称方程”,$\therefore m-1=-1,-n+(-1)=0$,
解得 $m=0,n=-1$,$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$.
(2)解析 $-5x^2-x=1$ 可以变形为 $-5x^2-x-1=0$,
$\therefore$ 方程 $5x^2+(m-1)x-n=0$ 与 $-5x^2-x-1=0$ 互为“对称方程”,$\therefore m-1=-1,-n+(-1)=0$,
解得 $m=0,n=-1$,$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$.
解析
【分析】
首先明确“对称方程”的核心定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 解决第一问时，先提取原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再按照定义求出对应对称方程的三个系数，即可写出对称方程。
(2) 解决第二问时，首先将给出的非一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x +3=0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，
根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此所求对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 -x =1$整理为一般形式：
移项得$-5x^2 -x -1=0$，
已知方程$5x^2 +(m-1)x -n =0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”，根据定义可得：
一次项系数相等：$m-1=-1$，
常数项满足和为0：$-n + (-1)=0$，
分别求解得：$m=0$，$n=-1$，
代入$(m+n)^2$得：$(0-1)^2=1$。
【答案】
(1) $-x^2-4x-3=0$
(2) $1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；新定义运算；代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确把握“对称方程”的系数对应关系，注意求解第二问时要先把方程化为一般形式再对应系数，避免因常数项判断错误失分，整体侧重对阅读理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先明确“对称方程”的核心定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 解决第一问时，先提取原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再按照定义求出对应对称方程的三个系数，即可写出对称方程。
(2) 解决第二问时，首先将给出的非一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x +3=0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，
根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此所求对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 -x =1$整理为一般形式：
移项得$-5x^2 -x -1=0$，
已知方程$5x^2 +(m-1)x -n =0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”，根据定义可得：
一次项系数相等：$m-1=-1$，
常数项满足和为0：$-n + (-1)=0$，
分别求解得：$m=0$，$n=-1$，
代入$(m+n)^2$得：$(0-1)^2=1$。
【答案】
(1) $-x^2-4x-3=0$
(2) $1$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；新定义运算；代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确把握“对称方程”的系数对应关系，注意求解第二问时要先把方程化为一般形式再对应系数，避免因常数项判断错误失分，整体侧重对阅读理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
