23. (10分)我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫作等邻边四边形.

(1)如图①,四边形ABCD的顶点A,B,C在网格格点(小正方形的顶点)上,请你在图①的5×7网格中画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD,要求顶点D在网格格点上;
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB = $\frac{20}{7}$,BC=5,点E在BC边上,连接DE,作AF⊥DE于点F,若DE = $\frac{5}{4}$ CD,找出图中的等邻边四边形,并说明理由;
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠B=30°,D是BC的中点,M是AB边上一点,当四边形ACDM是等邻边四边形时,直接写出BM的长.

(1)3个不同形状的等邻边四边形$ABCD$如图①所示.(3分)

(2)四边形$ABEF$和四边形$ABED$都是等邻边四边形.(4分)
理由如下: $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=5,CD=AB= \frac{20}{7} .$
$\therefore DE= \frac{5}{4} CD= \frac{25}{7} .$
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由勾股定理，得
$CE= \sqrt{DE^2-DC^2} = \frac{15}{7} .$
$\therefore BE=BC-CE=5- \frac{15}{7} = \frac{20}{7} . \therefore BE=AB.$
$\therefore$ 四边形$ABEF$和四边形$ABED$都是等邻边四边形.(7分)
(3)2或3或$\frac{13}{5}$.(10分)
【解析】①当$AM=AC$时，$BM=2.$
②当$DM=DC$时，如图②，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$.
$\because ∠ ACB=90°,AB=4,∠ B=30°,$
$\therefore AC=2,BC= \sqrt{AB^2-AC^2} = 2\sqrt{3} .$
$\because D$为$BC$的中点，$\therefore BD=CD= \sqrt{3} .$
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$\because ∠ B=30°, \therefore DH= \frac{\sqrt{3}}{2} .$
$\therefore BH= \sqrt{BD^2-DH^2} = \sqrt{3-\frac{3}{4}} = \frac{3}{2} .$
$\because DM=DC=DB,DH⊥ AB, \therefore BM=2BH=3.$

③当$MA=MD$时，如图③，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$.
设$MA=MD=x.$
由②，得$BH= \frac{3}{2} ,DH= \frac{\sqrt{3}}{2} .$
$\therefore MH=4-x- \frac{3}{2} = \frac{5}{2} -x.$
在$\mathrm{Rt}△ MDH$中，$DM^2=MH^2+DH^2,$
即$x^2= (\frac{5}{2}-x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 ,$
解得$x= \frac{7}{5}$，即$AM= \frac{7}{5} . \therefore BM=4- \frac{7}{5} = \frac{13}{5} .$

综上所述，当$BM$为2或3或$\frac{13}{5}$时，四边形$ACDM$是等邻边四边形.