9.「2026江苏淮安淮阴月考，★☆」如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，适当的长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为$(b+3,2b-1)$，则$b=$。

根据作图可知点$P$在第二象限的角平分线上,
$\because$角平分线上的点到角两边的距离相等,$\therefore |b+3|=|2b-1|$,$\because$点$P$在第二象限,$\therefore b+3＜0,2b-1＞0$,$\therefore -b-3=2b-1$,解得$b=-\frac{2}{3}$.

10.「2026江苏盐城盐都月考，★☆」如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(8,12)，点C的坐标是(8,2)，AB=AC=13，则点A的坐标是。

如图,过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,
$\because AB=AC$,且$AM⊥ BC$,$\therefore BM=CM$.
$\because$点$B$的坐标是$(8,12)$,点$C$的坐标是$(8,2)$,$\therefore BC// y$轴,$\therefore BC=12-2=10$,$\therefore BM=CM=5$,$\therefore$点$M$的纵坐标为$12-5=7$,$\therefore$点$A$的纵坐标为7.
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,$8-12=-4$,$\therefore$点$A$的坐标为$(-4,7)$.

11.「2026河南平顶山宝丰期中，★??」平面直角坐标系中，已知$A(-5,0)$，点$P$在第三象限，$△ AOP$是以$OA$为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的$P$点坐标为。

$\because A(-5,0)$,$\therefore OA=5$,设$P(m,n)$,$\because △ AOP$的面积为10,$\therefore \frac{1}{2}×5×|n|=10$,解得$|n|=4$,$\because$点$P$在第三象限,$\therefore n=-4$,
$\because △ AOP$是以$OA$为腰的等腰三角形,$\therefore$有两种情况:
①当点$O$为等腰三角形顶角的顶点时,$OP=OA=5$,如图1,过点$P$作$PB⊥ OA$于点$B$,则$PB=4$,在$\mathrm{Rt}△ OPB$中,由勾股定理得$OB=\sqrt{OP^2-PB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore P(-3,-4)$.
②当点$A$为等腰三角形顶角的顶点时,$PA=OA=5$,又有以下两种情况:
(i)如图2,当$∠ OAP$为锐角时,过点$P$作$PC⊥ OA$于点$C$,则$PC=4$,
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中,$AC=\sqrt{PA^2-PC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
$\therefore OC=OA-AC=5-3=2$,
$\therefore P(-2,-4)$.
(ii)如图3,当$∠ OAP$为钝角时,过点$P$作$PC⊥ OA$交$OA$的延长线于点$C$,则$PC=4$,
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中,$AC=\sqrt{PA^2-PC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
$\therefore OC=OA+AC=8$,$\therefore P(-8,-4)$.
综上所述,满足条件的$P$点坐标为$(-3,-4)$或$(-2,-4)$或$(-8,-4)$.

12. 核心素养运算能力 在平面直角坐标系$xOy$中,给出如下定义:点$A$到$x$轴、$y$轴距离的较大值称为点$A$的“长距”,当点$P$的“长距”等于点$Q$的“长距”时,称$P,Q$两点为“等距点”.
(1)已知点$A$的坐标为$(-3,1)$.
①点$A$的“长距”是.
②在点$E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)$中,为点$A$的“等距点”的是.
③若点$B$的坐标为$(2,m+6)$,且$A,B$两点为“等距点”,则$m$的值为.
(2)若$T_1(-1,-k-3),T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”,求$k$的值.

(1)①3. ②点$E$和点$F$.
③$-9$或$-3$.
详解:由题意得$|m+6|=3$,解得$m=-9$或$-3$.
(2)①若$|4k-3|≤4$,则$|-k-3|=4$,解得$k=-7$或$k=1$,
当$k=-7$时,$|4k-3|=31＞4$,不合题意,舍去.
当$k=1$时,$|4k-3|=1＜4$,符合题意.
②若$|4k-3|＞4$,则$|4k-3|=|-k-3|$,解得$k=0$或$k=2$,
当$k=0$时,$|4k-3|=3＜4$,不合题意,舍去.
当$k=2$时,$|4k-3|=5＞4$,符合题意.
综上所述,$k$的值为1或2.

1. 学科特色多解法 如图,已知$△ ABC$.
(1)分别写出$A,B,C$三点的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.

(1)$A(2,-1)$,$B(4,3)$,$C(1,2)$.
(2)【解法一】由题意得$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$.
$\because BC^2+AC^2=20=AB^2$,
$\therefore △ ABC$是以$AB$为斜边的直角三角形,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}=5$.
【解法二】$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4=5$.

2.如图.
(1)请写出点A,B,C,D的坐标.
(2)求四边形EHGF的面积.

(1)$A(10,10)$,$B(20,30)$,$C(40,40)$,$D(50,20)$.
(2)$S_{\mathrm{四边形}EHGF}=60×50-\frac{1}{2}×10×60-\frac{1}{2}×20×50-\frac{1}{2}×10×50=3000-300-500-250=1950$.