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2. 如图,在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板,如果光线与纸板右下方所成的角∠1=72°,那么光线与纸板左上方所成的角∠2=
72°
.答案
2. 72°
解析
【分析】
解题首先明确已知条件：所有光线互相平行，纸板对边互相平行，且∠1=72°。思考方向：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，而平行四边形的对角相等，因此我们可以先判定∠1和∠2所在的四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质推导∠2的度数；也可通过多次运用平行线的性质推导两角相等。
【解析】
解：
∵ 所有入射光线互相平行，纸板的两组对边互相平行，
∴ ∠1和∠2所在的四边形两组对边分别平行，该四边形为平行四边形，
根据平行四边形对角相等的性质可得：∠2=∠1，
又
∵ ∠1=72°，
∴ ∠2=72°。
【答案】
72°
【知识点】
平行线的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，解题的关键是从图形和题干中提取出平行关系，结合相关性质推导角的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
解题首先明确已知条件：所有光线互相平行，纸板对边互相平行，且∠1=72°。思考方向：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，而平行四边形的对角相等，因此我们可以先判定∠1和∠2所在的四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质推导∠2的度数；也可通过多次运用平行线的性质推导两角相等。
【解析】
解：
∵ 所有入射光线互相平行，纸板的两组对边互相平行，
∴ ∠1和∠2所在的四边形两组对边分别平行，该四边形为平行四边形，
根据平行四边形对角相等的性质可得：∠2=∠1，
又
∵ ∠1=72°，
∴ ∠2=72°。
【答案】
72°
【知识点】
平行线的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，解题的关键是从图形和题干中提取出平行关系，结合相关性质推导角的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
3. 如图,在四边形ABCD中,AO=OC,BD=12 cm,当OB=
6
cm时,四边形ABCD是平行四边形.答案
3. 6
解析
【分析】
要判断四边形ABCD是平行四边形，结合已知条件AO=OC，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。此时仅需要另一条对角线BD也被点O平分，即OB=OD，再结合BD的总长度即可求出OB的取值。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知AO=OC，若四边形ABCD是平行四边形，则需BD被点O平分，即OB=OD。
∵ BD=OB+OD=12 cm，且OB=OD
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×12=6 cm
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的判定；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形判定定理的应用，解题关键是熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定规则，结合已知线段长度简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要判断四边形ABCD是平行四边形，结合已知条件AO=OC，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。此时仅需要另一条对角线BD也被点O平分，即OB=OD，再结合BD的总长度即可求出OB的取值。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知AO=OC，若四边形ABCD是平行四边形，则需BD被点O平分，即OB=OD。
∵ BD=OB+OD=12 cm，且OB=OD
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×12=6 cm
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的判定；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形判定定理的应用，解题关键是熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定规则，结合已知线段长度简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4.如图,直线a和直线b相互平行,则两条平行线间的距离是
3
.答案
4. 3
解析
【分析】
解题时首先要明确平行线间距离的定义：两条平行线之间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度。接下来观察题图中的三条线段，长度为4和5的都是斜线段，不与平行线垂直，只有长度为3的线段是垂直于两条平行线的垂线段，因此该垂线段的长度就是两条平行线的距离。
【解析】
根据平行线间距离的定义：两条平行线间的垂线段的长度为两条平行线之间的距离。
观察图形可得，长度为3的线段是直线a与直线b之间的垂线段，长度为4、5的线段均为斜线段，不符合距离的定义，因此直线a和b之间的距离是3。
【答案】
3
【知识点】
平行线间的距离，垂线段的定义
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题的关键是牢记平行线间的距离特指垂线段的长度，不要误将斜线段的长度当做平行线间的距离。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平行线间距离的定义：两条平行线之间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度。接下来观察题图中的三条线段，长度为4和5的都是斜线段，不与平行线垂直，只有长度为3的线段是垂直于两条平行线的垂线段，因此该垂线段的长度就是两条平行线的距离。
【解析】
根据平行线间距离的定义：两条平行线间的垂线段的长度为两条平行线之间的距离。
观察图形可得，长度为3的线段是直线a与直线b之间的垂线段，长度为4、5的线段均为斜线段，不符合距离的定义，因此直线a和b之间的距离是3。
【答案】
3
【知识点】
平行线间的距离，垂线段的定义
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题的关键是牢记平行线间的距离特指垂线段的长度，不要误将斜线段的长度当做平行线间的距离。
【难度系数】
0.8
5.如图,小康将两根木条AC,BD的中点O重叠,并用钉子固定,使AC,BD可以绕着点O转动,无论木条怎么转动,以点A,B,C,D为顶点的四边形是
平行四边形
.答案
5. 平行四边形
解析
【分析】
首先从已知条件出发，题目明确O是AC、BD的中点，可先推出两条对角线被点O平分的结论，再结合平行四边形的判定定理，即可判断出四边形的形状。
【解析】
∵ 点O是AC的中点，
∴ OA = OC，
又
∵ 点O是BD的中点，
∴ OB = OD，
由此可得四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知无论木条如何转动，以A、B、C、D为顶点的四边形都是平行四边形。
【答案】
平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定、中点的定义
【点评】
本题是基础题，结合生活实际场景考察平行四边形的判定方法，只要熟练掌握对应判定定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件出发，题目明确O是AC、BD的中点，可先推出两条对角线被点O平分的结论，再结合平行四边形的判定定理，即可判断出四边形的形状。
【解析】
∵ 点O是AC的中点，
∴ OA = OC，
又
∵ 点O是BD的中点，
∴ OB = OD，
由此可得四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知无论木条如何转动，以A、B、C、D为顶点的四边形都是平行四边形。
【答案】
平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定、中点的定义
【点评】
本题是基础题，结合生活实际场景考察平行四边形的判定方法，只要熟练掌握对应判定定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO. 求证：四边形AECD是平行四边形.
1. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO. 求证：四边形AECD是平行四边形.
答案
证明：
在△AOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{array} $
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
在△AOE和△COD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{array} $
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
解析
【分析】
要证四边形AECD是平行四边形，已知AO=CO，即对角线AC已被点O平分，因此只需证明另一条对角线ED也被点O平分（即OE=OD）即可。观察图形可得∠AOE和∠COD是对顶角，结合题目给出的∠EAO=∠DCO、AO=CO的条件，可通过ASA判定△AOE和△COD全等，进而得到OE=OD，最后根据平行四边形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{cases}$
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又
∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
【答案】
证明：
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{cases}$
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又
∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过证明三角形全等得到对角线互相平分的条件，熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证四边形AECD是平行四边形，已知AO=CO，即对角线AC已被点O平分，因此只需证明另一条对角线ED也被点O平分（即OE=OD）即可。观察图形可得∠AOE和∠COD是对顶角，结合题目给出的∠EAO=∠DCO、AO=CO的条件，可通过ASA判定△AOE和△COD全等，进而得到OE=OD，最后根据平行四边形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{cases}$
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又
∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
【答案】
证明：
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO=∠DCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COD\end{cases}$
∴△AOE ≌ △COD（ASA）
∴OE = OD
又
∵AO = CO，即四边形AECD的对角线互相平分
∴四边形AECD是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过证明三角形全等得到对角线互相平分的条件，熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，将$△ ABC$沿$BE$平移，得到$△ DEF$，连接$CD$，$CD=BE$。
(1)若$DE ⊥ AC$，垂足为点$G$，求证：$AG=CG$。
(2)在(1)的条件下，若$∠ ACD=15°$，$∠ EBC=20°$，求$∠ ACB$的度数。
(1)若$DE ⊥ AC$，垂足为点$G$，求证：$AG=CG$。
(2)在(1)的条件下，若$∠ ACD=15°$，$∠ EBC=20°$，求$∠ ACB$的度数。
答案
(1) 证明：
∵ 将△ABC沿BE平移得到△DEF，
∴ 对应点连线AD//BE，AD=BE，且AB//DE。
又∵ CD=BE，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰三角形。
∵ DE⊥AC，垂足为G，
∴ DG⊥AC，
由等腰三角形三线合一的性质，可得G是AC的中点，
∴ AG=CG。
(2) 解：
∵ AD=CD，∠ACD=15°，
∴ ∠DAC=∠ACD=15°。
∵ AB//DE，DE⊥AC，
∴ ∠BAC=∠DGC=90°，即AB⊥AC。
∵ AD//BE，
∴ ∠BAD + ∠ABE = 180°。
∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 90° + 15° = 105°，
∴ ∠ABE = 180° - 105° = 75°。
∵ ∠ABE = ∠ABC + ∠EBC，∠EBC=20°，
∴ ∠ABC = 75° - 20° = 55°。
在△ABC中，
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 90° - 55° = 35°。
答：∠ACB的度数为35°。
∵ 将△ABC沿BE平移得到△DEF，
∴ 对应点连线AD//BE，AD=BE，且AB//DE。
又∵ CD=BE，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰三角形。
∵ DE⊥AC，垂足为G，
∴ DG⊥AC，
由等腰三角形三线合一的性质，可得G是AC的中点，
∴ AG=CG。
(2) 解：
∵ AD=CD，∠ACD=15°，
∴ ∠DAC=∠ACD=15°。
∵ AB//DE，DE⊥AC，
∴ ∠BAC=∠DGC=90°，即AB⊥AC。
∵ AD//BE，
∴ ∠BAD + ∠ABE = 180°。
∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 90° + 15° = 105°，
∴ ∠ABE = 180° - 105° = 75°。
∵ ∠ABE = ∠ABC + ∠EBC，∠EBC=20°，
∴ ∠ABC = 75° - 20° = 55°。
在△ABC中，
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 90° - 55° = 35°。
答：∠ACB的度数为35°。
解析
【分析】
(1) 要证明$AG=CG$，可先证$△ ADC$为等腰三角形，再结合垂直条件用等腰三角形三线合一的性质推导。首先根据平移的性质可得对应点连线$AD$平行且等于$BE$，结合已知$CD=BE$即可推出$AD=CD$，得到等腰$△ ADC$；再由$DE⊥ AC$可知$DG$是等腰三角形底边上的高，根据三线合一即可得$G$是$AC$中点，从而证得$AG=CG$。
(2) 求$∠ ACB$的度数可利用三角形内角和定理，需要先求出$∠ BAC$和$∠ ABC$的度数。首先由等腰三角形等边对等角得$∠ DAC=∠ ACD=15°$；再根据平移的性质得$AB// DE$，结合$DE⊥ AC$可推出$AB⊥ AC$，即$∠ BAC=90°$；再由$AD// BE$，利用同旁内角互补求出$∠ ABE$的度数，减去已知的$∠ EBC$得到$∠ ABC$，最后代入三角形内角和公式即可求出$∠ ACB$。
【解析】
(1) 证明：
∵ 将$△ ABC$沿$BE$平移得到$△ DEF$，
∴ 对应点连线$AD// BE$，$AD=BE$，且$AB// DE$。
又
∵ $CD=BE$，
∴ $AD=CD$，即$△ ADC$为等腰三角形。
∵ $DE⊥ AC$，垂足为$G$，
∴ $DG⊥ AC$，
由等腰三角形三线合一的性质，可得$G$是$AC$的中点，
∴ $AG=CG$。
(2) 解：
∵ $AD=CD$，$∠ ACD=15°$，
∴ $∠ DAC=∠ ACD=15°$。
∵ $AB// DE$，$DE⊥ AC$，
∴ $∠ BAC=∠ DGC=90°$，即$AB⊥ AC$。
∵ $AD// BE$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABE = 180°$。
∵ $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC = 90° + 15° = 105°$，
∴ $∠ ABE = 180° - 105° = 75°$。
∵ $∠ ABE = ∠ ABC + ∠ EBC$，$∠ EBC=20°$，
∴ $∠ ABC = 75° - 20° = 55°$。
在$△ ABC$中，
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 90° - 55° = 35°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
平移的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握平移的性质，结合等腰三角形三线合一、等边对等角以及三角形内角和定理逐步推导即可，解题时注意挖掘平移前后边的平行、相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AG=CG$，可先证$△ ADC$为等腰三角形，再结合垂直条件用等腰三角形三线合一的性质推导。首先根据平移的性质可得对应点连线$AD$平行且等于$BE$，结合已知$CD=BE$即可推出$AD=CD$，得到等腰$△ ADC$；再由$DE⊥ AC$可知$DG$是等腰三角形底边上的高，根据三线合一即可得$G$是$AC$中点，从而证得$AG=CG$。
(2) 求$∠ ACB$的度数可利用三角形内角和定理，需要先求出$∠ BAC$和$∠ ABC$的度数。首先由等腰三角形等边对等角得$∠ DAC=∠ ACD=15°$；再根据平移的性质得$AB// DE$，结合$DE⊥ AC$可推出$AB⊥ AC$，即$∠ BAC=90°$；再由$AD// BE$，利用同旁内角互补求出$∠ ABE$的度数，减去已知的$∠ EBC$得到$∠ ABC$，最后代入三角形内角和公式即可求出$∠ ACB$。
【解析】
(1) 证明：
∵ 将$△ ABC$沿$BE$平移得到$△ DEF$，
∴ 对应点连线$AD// BE$，$AD=BE$，且$AB// DE$。
又
∵ $CD=BE$，
∴ $AD=CD$，即$△ ADC$为等腰三角形。
∵ $DE⊥ AC$，垂足为$G$，
∴ $DG⊥ AC$，
由等腰三角形三线合一的性质，可得$G$是$AC$的中点，
∴ $AG=CG$。
(2) 解：
∵ $AD=CD$，$∠ ACD=15°$，
∴ $∠ DAC=∠ ACD=15°$。
∵ $AB// DE$，$DE⊥ AC$，
∴ $∠ BAC=∠ DGC=90°$，即$AB⊥ AC$。
∵ $AD// BE$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABE = 180°$。
∵ $∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC = 90° + 15° = 105°$，
∴ $∠ ABE = 180° - 105° = 75°$。
∵ $∠ ABE = ∠ ABC + ∠ EBC$，$∠ EBC=20°$，
∴ $∠ ABC = 75° - 20° = 55°$。
在$△ ABC$中，
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 90° - 55° = 35°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{35°}$
【知识点】
平移的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练掌握平移的性质，结合等腰三角形三线合一、等边对等角以及三角形内角和定理逐步推导即可，解题时注意挖掘平移前后边的平行、相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
