1. 如图，将$△ ABC$的$AB$边与刻度尺的边缘重合，点$A,D,B$分别对应刻度尺上的整数刻度.已知$DE// AC$，$EF// AB$，$AC=6$，下列结论不正确的是（）

A.$AF=4$
B.$CF=2.4$
C.$DE=3.6$
D.$EF=4$

1.A 【点拨】由题意得 AD=4,BD=6,AB=10.
∵DE//AC,EF//AB,
∴四边形 ADEF 为平行四边形,
∴AF=DE,EF=AD=4.
∵EF//AD,
∴易得△CEF∽△CBA,
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB}$,
∴$\frac{CF}{6}=\frac{4}{10}$,
∴CF=2.4,
∴AF=AC−CF=6−2.4=3.6,
∴DE=3.6. 故 A 选项符合题意. 故选 A.

2. 一题多解 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$, $AC=6$,$BC=12$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,点 $E$ 在线段 $AD$ 上,$EF⊥ AC$ 于点 $F$,$EG⊥ EF$ 交 $AB$ 于点 $G$,若 $EF=EG$,则 $CD$ 的长为.

2.4 【点拨】解法一:如图①,过点 D 作 $DM⊥BC$ 交 AB 于点 M,易证 DC=DM,设 CD=x,则 DM=x,由 $∠MDB=∠ACB=90°$,$∠B=∠B$,得 $△BDM∽△BCA$,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DM}{CA}$,即 $\frac{12-x}{12}=\frac{x}{6}$,解得 x=4.
即 CD=4.
解法二:如图②,延长 FE,交 AB 于点 N,易得 $Rt△ENG∽Rt△CBA$,
∴EN:EG=CB:CA=12:6=2:1,
又
∵EF=EG,
∴EN:EF=2:1,由题中条件易得 $△AEN∽△ADB$,
$△AEF∽△ADC$,
∴EN:BD=AE:AD,EF:CD=AE:AD,
∴EN:BD=EF:CD,
∴BD:CD=EN:EF=2:1,
∴$CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×12=4$.

3. 2025·山西 新考法·构造法 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连接DF.若DF=DC,则线段CF的长为.

3.$\frac{18}{5}$ 【点拨】如图,延长 CE,DA 交于点 G,过 D 作 $DH⊥BF$ 于点 H,则 $∠BHD=90°$.
∵DF=DC,
∴$CH=FH=\frac{1}{2}CF$.
∵AD//BC,∠B=90°,
∴∠GAE=∠BAD=90°,
∴∠B=∠BAD=∠BHD=90°,
∴四边形 ABHD 是矩形,
∴AB=DH=8,AD=BH.
∵∠AEG=∠BEC,
∴△AEG∽△BEC,
∴∠G=∠BCE,$\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{BE}$.
∵AB=8,AE=3,
∴BE=5,
∴$\frac{AG}{4}=\frac{3}{5}$,
∴$AG=\frac{12}{5}$.
∵∠DCE=∠BCE,
∴∠DCE=∠G,
∴CD=GD. 设 CH=FH=x,则 AD=BH=4+x,
∴$CD=GD=4+x+\frac{12}{5}=x+\frac{32}{5}$. 由勾股定理得 $CD^2=CH^2+DH^2$,
∴$(x+\frac{32}{5})^2=x^2+8^2$,解得 $x=\frac{9}{5}$,
即 $CH=\frac{9}{5}$,
∴$CF=2CH=\frac{18}{5}$.

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$∠ BCA=90°$,$EF$是$AD$的垂直平分线,分别与$AB$,$AD$,$AC$,$BC$的延长线交于点$E$,$M$,$F$,$N$,连接$AN$.求证:
(1)$△ AME ∽ △ NMD$;
(2)$ND^2 = NC · NB$.

4.【证明】(1)$\because ∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°$,
∵EF 是 AD 的垂直平分线,
∴$∠END+∠ADC=90°$,
∴$∠CAD=∠END$,
∵AD 是$∠BAC$的平分线,
∴$∠CAD=∠BAD$,
∴$∠BAD=∠END$,
又
∵$∠AME=∠NMD=90°$,
∴$△AME∽△NMD$.
(2)
∵EF 是 AD 的垂直平分线,
∴$NA=ND,∠ANE=∠END$,
∴$∠CAD=∠BAD=∠ANE=∠END$,
∵$∠ACB=90°,∴∠ACN=90°$,
∴$∠ANE+∠END+∠NAC=90°$,
∴$∠CAD+∠BAD+∠NAC=90°$,
∴$∠NAE=90°$,
∵$∠ANC=∠BNA,∠NAB=∠NCA=90°$,
∴$△NAC∽△NBA$,
∴$\frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NA},∴NA^2=NC·NB$,
又
∵$NA=ND,∴ND^2=NC·NB$.