9 (2025扬州)已知$m^{2025}+2025m=2025$，则一次函数$y=(1-m)x+m$的图象不经过 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

9.D

【分析】
解题时首先要根据给定的等式推导m的取值范围：先通过奇数次幂的符号性质和不等式性质判断m的正负，再比较m与1的大小，确定m的范围后，再根据一次函数的斜率k和截距b的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出答案。
【解析】
解：第一步，推导m的取值范围：
① 若$m≤0$，2025是奇数，故$m^{2025}≤0$，同时$2025m≤0$，可得$m^{2025}+2025m≤0$，与已知$m^{2025}+2025m=2025$矛盾，因此$m＞0$；
② 若$m≥1$，则$m^{2025}≥1^{2025}=1$，$2025m≥2025×1=2025$，可得$m^{2025}+2025m≥1+2025=2026＞2025$，与已知矛盾，因此$m＜1$；
综上可得$0＜m＜1$。
第二步，分析一次函数$y=(1-m)x+m$的图象：
一次函数的斜率$k=1-m$，因为$m＜1$，所以$k=1-m＞0$，函数图象从左到右上升；
一次函数的y轴截距$b=m$，因为$m＞0$，所以图象与y轴交于正半轴；
因此该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数图象与性质 2.代数式取值范围判断
【点评】
本题是一次函数性质的常考题型，解题核心是先通过反证思路推导m的取值范围，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限，很好地考查了逻辑推导能力和知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

10（2025徐州沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(2,1),C(1,3)$.若直线$y=3x+b$与$△ ABC$至少有两个交点，则$b$的取值范围是（）

A.$-5＜b＜0$
B.$-5＜b＜-3$
C.$-5＜b＜3$
D.$-5＜b＜5$

10.A

【分析】
直线$y=3x+b$的斜率固定为3，属于平行平移的直线系，要使它与$△ ABC$至少有两个交点，可先计算直线经过三角形三个顶点时对应的$b$的边界值，再结合直线平移时$b$的变化规律，判断满足交点数≥2的$b$的范围即可。
【解析】
已知$△ ABC$三个顶点坐标为$A(1,1)$、$B(2,1)$、$C(1,3)$，分别将三点代入直线$y=3x+b$计算边界$b$值：
1. 当直线过点$C(1,3)$时：$3=3×1 + b$，解得$b=0$，此时直线仅与$△ ABC$交于$C$点，只有1个交点，不符合要求；
2. 当直线过点$A(1,1)$时：$1=3×1 + b$，解得$b=-2$，此时直线与$△ ABC$交于$A$点和$BC$边上一点，共2个交点，符合要求；
3. 当直线过点$B(2,1)$时：$1=3×2 + b$，解得$b=-5$，此时直线仅与$△ ABC$交于$B$点，只有1个交点，不符合要求。
结合一次函数平移规律：$b$越大直线位置越靠上，$b$越小直线位置越靠下。可得当$-5＜b＜0$时，直线位于过$C$点的直线和过$B$点的直线之间，会与$△ ABC$的两条边相交，至少有2个交点，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的平移性质、一次函数与几何图形交点、待定系数法求参数
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是抓住固定斜率直线平移时参数$b$的变化规律，通过边界点的参数值快速确定取值范围，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

11 易错题（2025南通海门月考）已知一次函数$y=kx+b$，当$1≤x≤4$时，$3≤y≤6$，则$\frac{b}{k}$的值是。

11. 2或－7

【分析】
首先回忆一次函数的性质：一次函数$y=kx+b$的增减性由$k$的符号决定，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目仅给出$x$的取值范围和对应$y$的取值范围，未说明$k$的正负，因此需要分$k＞0$和$k＜0$两种情况分类讨论，分别代入区间端点值列二元一次方程组求解$k$和$b$，再计算$\frac{b}{k}$的值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，一次函数$y=kx+b$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y$取最小值3，$x=4$时$y$取最大值6。
代入函数得方程组：
$\begin{cases}k+b=3\\4k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k+b=3$得$b=2$，此时$\frac{b}{k}=\frac{2}{1}=2$。
2. 当$k＜0$时，一次函数$y=kx+b$随$x$的增大而减小，因此$x=1$时$y$取最大值6，$x=4$时$y$取最小值3。
代入函数得方程组：
$\begin{cases}k+b=6\\4k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=6$得$b=7$，此时$\frac{b}{k}=\frac{7}{-1}=-7$。
【答案】
2或－7
【知识点】
一次函数的性质；分类讨论思想；解二元一次方程组
【点评】
本题为易错题，解题核心是明确一次函数的增减性由$k$的符号决定，注意不要遗漏$k＜0$的情况，需要全面分析所有可能的情况后再求解。
【难度系数】
0.6

12 (2025南通启东期中)已知一次函数$y=(k-1)x+2$，若当$-1≤ x≤ 2$时，函数有最小值$-2$，则$k$的值为。

12. 5或－1

【分析】
一次函数的最值与函数的增减性相关，增减性由一次项系数的符号决定，因此需分情况讨论：①当一次项系数大于0时，函数随x增大而增大，最小值在x取最小值处取得；②当一次项系数小于0时，函数随x增大而减小，最小值在x取最大值处取得；③当一次项系数等于0时，函数为常函数，无最值变化，可直接排除。再分别代入对应x值和函数最小值列方程求解，最后验证解是否符合前提条件即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$k-1＞0$，即$k＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=-1$时，$y$取得最小值$-2$，
代入解析式得：$-2=(k-1)×(-1)+2$，
解得：$k=5$，符合$k＞1$的条件；
2. 当$k-1＜0$，即$k＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值$-2$，
代入解析式得：$-2=(k-1)×2+2$，
解得：$k=-1$，符合$k＜1$的条件；
3. 当$k-1=0$，即$k=1$时，函数为$y=2$，是常函数，函数值恒为2，不存在最小值$-2$，舍去。
综上，$k$的值为$5$或$-1$。
【答案】
5或－1
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题考查一次函数性质的应用，解题核心是根据一次项系数的符号判断函数增减性，进而确定取最小值时对应的自变量取值，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

13 已知一次函数$y=(1-m)x+3-m$的图象不经过第三象限，则正整数$m$的值为。

13. 2或3

【分析】
本题考查一次函数的图象性质，解题思路如下：首先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象所在象限由$k$、$b$的符号共同决定：若图象不经过第三象限，说明函数从左到右下降（即斜率$k＜0$），且与$y$轴的交点在原点或$y$轴正半轴（即截距$b≥0$）。据此列出关于$m$的不等式组，再结合$m$是正整数的限制条件，即可求出$m$的取值。
【解析】
已知函数是一次函数，且图象不经过第三象限，根据一次函数图象与系数的关系可得：
$\begin{cases}1-m ＜ 0 \\3-m ≥ 0\end{cases}$
解不等式$1-m ＜ 0$，得$m ＞ 1$；
解不等式$3-m ≥ 0$，得$m ≤ 3$；
所以$m$的取值范围是$1 ＜ m ≤ 3$。
又因为$m$是正整数，所以$m$可取2或3。
【答案】
2或3
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题属于一次函数性质的基础应用题，解题时需注意不要遗漏$b=0$（即函数为正比例函数，图象过二、四象限）的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14 易错题（2025连云港东海月考）已知关于$x$的一次函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$。
（1）当$k$满足什么条件时，函数值$y$随$x$的增大而增大？
（2）当$k$取何值时，$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象经过原点？
（3）当$k$满足什么条件时，函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象与$y$轴的交点在$x$轴的上方？

14. 解:(1) 对于一次函数 $ y=(2k-1)x+(2k+1) $,
当 $ 2k-1＞0 $ 时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,
所以 $ 2k-1＞0 $,解得 $ k＞\dfrac{1}{2} $.
(2) 由题意,得 $ 0=(2k-1)×0+(2k+1) $,即 $ 2k+1=0 $,
且一次函数中 $ x $ 的系数不能为 0,即 $ 2k-1≠0 $,
解得 $ k=-\dfrac{1}{2} $,
当 $ k=-\dfrac{1}{2} $ 时,$ 2k-1=2×(-\dfrac{1}{2})-1=-2≠0 $,符合一次函数定义,所以 $ k=-\dfrac{1}{2} $.
(3) 由题意可知函数与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,2k+1) $.
因为交点在 $ x $ 轴上方,所以 $ 2k+1＞0 $,
且一次函数中 $ x $ 的系数不能为 0,即 $ 2k-1≠0 $,
所以 $ 2k+1＞0 $,解得 $ k＞-\dfrac{1}{2} $;
$ 2k-1≠0 $,解得 $ k≠\dfrac{1}{2} $.
所以 $ k＞-\dfrac{1}{2} $ 且 $ k≠\dfrac{1}{2} $.

【分析】
本题围绕一次函数的性质与图象特征设置3个小问，解题思路如下：
（1）一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＞0$时$y$随$x$的增大而增大，因此只需令一次项系数$2k-1＞0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
（2）函数图象过原点$(0,0)$，将坐标代入函数解析式可得常数项为0，同时要注意一次函数的一次项系数不能为0，联立求解即可得到$k$的值；
（3）函数与$y$轴的交点在$x$轴上方，即$x=0$时$y$值大于0，也就是常数项$2k+1＞0$，同时需保证一次项系数不为0，两个条件结合即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 对于一次函数 $ y=(2k-1)x+(2k+1) $，当一次项系数大于0时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
列不等式：$ 2k-1＞0 $，
解得 $ k＞\dfrac{1}{2} $。
(2) 函数图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$ 0=(2k-1)×0+(2k+1) $，即 $ 2k+1=0 $，
又因为该函数为一次函数，所以一次项系数不为0，即 $ 2k-1≠0 $，
解方程$2k+1=0$得 $ k=-\dfrac{1}{2} $，
验证：当 $ k=-\dfrac{1}{2} $ 时，$ 2k-1=2×(-\dfrac{1}{2})-1=-2≠0 $，符合一次函数定义，因此$ k=-\dfrac{1}{2} $。
(3) 函数与$y$轴的交点为$x=0$时的点，代入$x=0$得$y=2k+1$，即交点坐标为$ (0,2k+1) $，
因为交点在$x$轴上方，所以纵坐标大于0，即$ 2k+1＞0 $，
同时函数为一次函数，一次项系数不为0：$ 2k-1≠0 $，
解$2k+1＞0$得 $ k＞-\dfrac{1}{2} $，
解$2k-1≠0$得 $ k≠\dfrac{1}{2} $，
综上，$ k＞-\dfrac{1}{2} $ 且 $ k≠\dfrac{1}{2} $。
【答案】
(1) $k＞\dfrac{1}{2}$；(2) $k=-\dfrac{1}{2}$；(3) $k＞-\dfrac{1}{2}$且$k≠\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于一次函数的基础易错题，主要考查一次函数的相关性质和图象特征，解题时容易忽略“一次项系数不为0”这个隐含条件，做题时要结合一次函数的定义，根据题目要求准确列方程或不等式求解，避免漏条件出错。
【难度系数】
0.7

15（2025盐城东台月考）如图，直线$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}$与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C，D在直线$x=2$（直线上所有点的横坐标均为2）上，且$CD=\dfrac{3}{2}$。
（1）求A，B两点的坐标；
（2）四边形OACD的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

15. 解:(1) 因为直线 $ y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2} $,
令 $ x=0 $,则 $ y=\dfrac{9}{2} $,所以点 $ A(0,\dfrac{9}{2}) $;
令 $ y=0 $,即 $ -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}=0 $,解得 $ x=6 $,所以点 $ B(6,0) $.
(2) 如图,将线段 $ AC $ 向下平移 $ \dfrac{3}{2} $ 个单位长度到 $ A'D $,作出点 $ O $ 关于直线 $ x=2 $ 的对称点 $ O' $,连接 $ DO' $,当点 $ A' $,$ D $,$ O' $ 三点在同一直线上时,此时四边形 $ OACD $ 的周长最小.
由图象,得 $ AA'=CD=\dfrac{3}{2} $,$ AC=A'D $,
所以点 $ A'(0,3) $.
由对称可知点 $ O'(4,0) $,$ OD=O'D $,
所以 $ A'O'=5 $,
所以四边形 $ OACD $ 周长的最小值为 $ \dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}+5=11 $.

【分析】
（1）求坐标轴上交点坐标可利用坐标轴上点的坐标特征：y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，分别代入一次函数解析式计算即可得到A、B两点坐标。
（2）先分析四边形OACD的周长组成：OA、CD是固定长度，仅AC、OD为动态线段，因此求周长最小值等价于求AC+OD的最小值。通过平移将AC转化为等长的A'D，再利用轴对称性质将OD转化为等长的O'D，根据两点之间线段最短，当A'、D、O'三点共线时，A'D+O'D的和最小，即AC+OD的和最小，最后加上固定边的长度即可得到周长最小值。
【解析】
(1) 对于直线$ y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2} $：
令$ x=0 $，代入得$ y=\dfrac{9}{2} $，故点$ A(0,\dfrac{9}{2}) $；
令$ y=0 $，代入得$ -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}=0 $，解得$ x=6 $，故点$ B(6,0) $。
(2) 四边形OACD的周长存在最小值，求解如下：
四边形OACD的周长为$ OA+AC+CD+OD $，其中$ OA=\dfrac{9}{2} $、$ CD=\dfrac{3}{2} $为固定值，只需使$ AC+OD $的值最小即可。
如图，将线段$ AC $向下平移$ \dfrac{3}{2} $个单位长度得到$ A'D $，由平移性质得$ AC=A'D $，$ AA'=CD=\dfrac{3}{2} $，因此$ A' $坐标为$ (0,3) $；
作点O关于直线$ x=2 $的对称点$ O' $，由轴对称性质得$ OD=O'D $，因此$ O' $坐标为$ (4,0) $。
此时$ AC+OD=A'D+O'D $，根据两点之间线段最短，当$ A' $、$ D $、$ O' $三点共线时，$ A'D+O'D $的最小值为线段$ A'O' $的长度。
由勾股定理得$ A'O'=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=5 $。
因此四边形OACD周长的最小值为$ \dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}+5=11 $。
【答案】
(1) $ A(0,\dfrac{9}{2}) $，$ B(6,0) $；
(2) 存在，最小值为11。
配图：
【知识点】
一次函数点坐标求解，轴对称最短路径，平移的性质
【点评】
本题结合一次函数基础性质与几何最短路径问题，解题核心是分离周长中的固定部分，通过平移、轴对称将动态线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，考察了数形结合与转化思想的应用。
【难度系数】
0.6