【知识推导】设$AP=m$，$PB=n$，按照定义$\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}=x(m＞n＞0)$恒成立，请你推导黄金比$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$(参考数据:$\sqrt{5}\approx2.236$)。

$\because \frac{n}{m}=\frac{m}{m+n},\therefore n(m+n)=m^2$,整理,得$n^2 + mn - m^2=0.\because m＞0,\therefore (\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$,此时$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5,\therefore \frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(负值舍去),即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$

【分析】
我们的目标是推导黄金比$x$的取值，已知给出了比例式$\frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}=x$，首先可以利用比例的基本性质将比例式转化为整式方程；由于所求的$x$就是$\frac{n}{m}$，因此可以将整式方程两边同时除以不为0的$m^2$，得到关于$x$的一元二次方程；再用一元二次方程求根公式求解，结合$x$是线段长度的比值为正数，舍去不符合题意的负根，即可得到黄金比的结果。
【解析】
$\because \frac{n}{m}=\frac{m}{m+n}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：$n(m+n)=m^2$
整理得：$n^2 + mn - m^2=0$
$\because m＞0$，方程两边同时除以$m^2$可得：$(\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$
令$x=\frac{n}{m}$，则方程变为$x^2+x-1=0$
计算判别式：$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$
由求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
$\because m＞n＞0$，$\therefore x=\frac{n}{m}＞0$，故舍去负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
$\therefore x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算得$x\approx0.618$
【答案】
$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程求解，黄金比
【点评】
本题是黄金比推导的基础题型，将比例式转化为一元二次方程求解的思路具有典型性，既考察了比例的基本运算能力，也强化了一元二次方程的实际应用，有助于理解黄金分割的数学本质。
【难度系数】
0.7

【拓展应用】如图②，已知线段AC，按下列步骤画图：① 过点C画$CD⊥ AC$，使$CD=\frac{1}{2}AC$；② 连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；③ 以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B。在所画图中，B是线段AC的黄金分割点吗？请说明理由。

B是线段AC的黄金分割点 理由:依题意,画出图形如图①所示.设$CD=t(t＞0)$,由画图可知,$DE=CD=t$.$\because CD=\frac{1}{2}AC,\therefore AC=2CD=2t$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$,$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$.由画图可知,$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore B$是线段$AC$的黄金分割点.

【分析】
要判断点B是否为线段AC的黄金分割点，核心是验证较长线段AB与原线段AC的比值是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以先设参数表示CD的长度，结合作图给出的等量关系，利用勾股定理求出AD的长度，再依次推导AE、AB的长度，最后计算AB与AC的比值，对照黄金分割的定义即可得出结论。
【解析】
设$CD=t(t＞0)$，
由作图规则可得：$DE=CD=t$，$AB=AE$，
$\because CD=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2CD=2t$，
$\because CD⊥ AC$，$\therefore △ ACD$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(2t)^2+t^2}=\sqrt{5}t$，
$\therefore AE=AD-DE=\sqrt{5}t-t=(\sqrt{5}-1)t$，
$\therefore AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义，故B是线段AC的黄金分割点。
【答案】
B是线段AC的黄金分割点 理由:依题意,画出图形如图①所示.设$CD=t(t＞0)$,由画图可知,$DE=CD=t$.$\because CD=\frac{1}{2}AC,\therefore AC=2CD=2t$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$,$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$.由画图可知,$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore B$是线段$AC$的黄金分割点.
【知识点】
黄金分割、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查黄金分割的判定，需要灵活运用勾股定理表示各线段长度，通过计算线段比值判断是否符合黄金分割的特征，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7

【折纸探究】如图③，按下列步骤折纸：① 将一张边长为1的正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF，再展开；② 折出矩形BCFE的对角线BF；③ 将边AB折到BF上，点A的对应点为A'，得到折痕BG。求证：G为线段AD的黄金分割点(AG＞GD)。

如图②,连接GF.$\because$ 正方形$ABCD$的边长为1,EF为折痕,$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$,$∠ C=∠ A=∠ D=90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.$\because BG$是折痕,$\therefore AG=A'G$,$A'B=AB=1$,$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$,$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$.设$AG=A'G=a$,则$DG=1-a$.在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中,$A'F^2+A'G^2=FG^2$;在$\mathrm{Rt}△ DGF$中,$DF^2+DG^2=FG^2$,$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$,即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$,解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore G$是线段$AD$的黄金分割点($AG＞GD$).

【分析】
要证明G是AD的黄金分割点，需满足AG与AD的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此核心是求出AG的长度。首先利用正方形对折的性质得到CF的长度，借助勾股定理计算出BF的长；再根据折叠的性质得到相等线段$AG=A'G$、$AB=A'B$，进而求出$A'F$的长度；最后设AG为a，利用GF是$\mathrm{Rt}△ GA'F$和$\mathrm{Rt}△ DGF$的公共斜边，结合勾股定理列方程求解a，验证AG与AD的比值即可完成证明。
【解析】
连接GF。
∵ 正方形ABCD的边长为1，EF为折痕，
∴ $DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，$∠C=∠A=∠D=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
∵ BG是折痕，
∴ $AG=A'G$，$A'B=AB=1$，$∠A=∠GA'B=∠GA'F=90°$，
∴ $A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
设$AG=A'G=a$，则$DG=1-a$。
在$\mathrm{Rt}△ GA'F$中，$A'F^2+A'G^2=FG^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$DF^2+DG^2=FG^2$，
∴ $A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$，即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$，
解得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $\frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ G是线段AD的黄金分割点($AG＞GD$)。
【答案】
，G为线段AD的黄金分割点(AG＞GD)
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题结合折纸操作考查黄金分割的判定，解题关键是利用折叠的性质找到相等的线段与角，再通过公共斜边结合勾股定理建立方程求解线段长度，最后结合黄金分割的定义验证即可，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6