三、解答题
12 [2025天津]已知小华家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离小华家0.6 km，公园离小华家1.8 km. 小华从家出发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家. 如图所示的图象反映了这个过程中小华离家的距离 y(km)与时间 x(min)之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题：
(1) ① 填表：

② 填空：小华从公园返回家的速度为 km/min；
③ 当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离 y(km)关于时间 x(min)的函数表达式.
(2) 若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中，对于同一个 x 的值，小华离家的距离为 y₁ km，小华的妈妈离家的距离为 y₂ km. 当 y₁＜y₂时，x 的取值范围是.

12. (1) ① 0.1 0.6 1.8 ② 0.12 ③ 当$0≤ x≤ 6$时，$y=0.1x$; 当$6＜x≤ 18$时，$y=0.6$; 当$18＜x≤ 30$时，$y=0.1x-1.2$
(2) $12＜x＜24$ 【解析】妈妈从家到公园所用时间为 $1.8÷0.05=36(\min)$,则小华的妈妈离家的距离 $y_2(\mathrm{km})$ 与时间 $x(\min)$ 之间的函数表达式为 $y_2=0.05x(0≤ x≤ 36)$,其图象如图所示。当$6＜x≤ 18$时,令 $y_1=y_2$,得 $0.05x=0.6$,解得 $x=12$. 当 $18＜x≤ 30$ 时,令 $y_1=y_2$,得 $0.1x-1.2=0.05x$,解得 $x=24$. 结合图象可知,当 $y_1＜y_2$ 时, $x$ 的取值范围是 $12＜x＜24$.

【分析】
这是一道结合行程场景的分段函数图像应用题，解题思路如下：1. 先明确横纵坐标分别表示离家时间和离家距离，结合题干描述拆分小华的行程阶段：前往书店、书店停留、前往公园、公园停留、返家五个阶段，每个阶段对应图像的不同线段。2. 解决（1）的小问：①根据速度=路程÷时间计算对应阶段的速度，结合停留阶段距离不变填写对应距离；②返家速度用公园到家的路程除以返家时间即可；③0≤x≤30涵盖了小华到书店、停留、到公园三个阶段，分别对每个区间用行程公式或待定系数法求函数解析式。3. 解决（2）的小问：先求出妈妈的行程对应的函数解析式，再在小华到公园的各个阶段分别联立两个函数找到y₁=y₂的交点，结合图像判断y₁＜y₂的区间即可。
【解析】
(1) ① 小华步行到书店的速度为$0.6÷6=0.1\ \mathrm{km/min}$；x=10min时小华在书店停留，离家距离为0.6km；x=30min时小华到达公园，离家距离为1.8km。
② 小华从公园返家路程为1.8km，用时15min，速度为$1.8÷15=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③ 分三段讨论：
当$0\le x\le6$时，小华匀速步行，速度为0.1km/min，故$y=0.1x$；
当$6＜x\le18$时，小华在书店停留，离家距离不变，故$y=0.6$；
当$18＜x\le30$时，设解析式为$y=kx+b$，代入$(18,0.6)$、$(30,1.8)$，解得$k=0.1,b=-1.2$，故$y=0.1x-1.2$。
(2) 妈妈到公园总时间为$1.8÷0.05=36\ \mathrm{min}$，故$0\le x\le36$时$y_2=0.05x$。
当$6＜x\le18$时，令$y_1=y_2$，得$0.05x=0.6$，解得$x=12$，此时段$y_1＜y_2$对应$12＜x\le18$；
当$18＜x\le30$时，令$y_1=y_2$，得$0.1x-1.2=0.05x$，解得$x=24$，此时段$y_1＜y_2$对应$18＜x＜24$；
合并得x的取值范围为$12＜x＜24$。
【答案】
12. (1) ① 0.1 0.6 1.8 ② 0.12 ③ 当$0≤ x≤ 6$时，$y=0.1x$; 当$6＜x≤ 18$时，$y=0.6$; 当$18＜x≤ 30$时，$y=0.1x-1.2$
(2) $12＜x＜24$ 【解析】妈妈从家到公园所用时间为 $1.8÷0.05=36(\min)$,则小华的妈妈离家的距离 $y_2(\mathrm{km})$ 与时间 $x(\min)$ 之间的函数表达式为 $y_2=0.05x(0≤ x≤ 36)$,其图象如图所示。当$6＜x≤ 18$时,令 $y_1=y_2$,得 $0.05x=0.6$,解得 $x=12$. 当 $18＜x≤ 30$ 时,令 $y_1=y_2$,得 $0.1x-1.2=0.05x$,解得 $x=24$. 结合图象可知,当 $y_1＜y_2$ 时, $x$ 的取值范围是 $12＜x＜24$.

【知识点】
分段函数应用，一次函数解析式，行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查函数图像的识别与应用，核心是读懂分段函数每一段对应的实际意义，掌握分区间讨论函数关系的方法，能通过联立方程求交点，结合图像判断函数值大小关系，对读图能力和分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.65

13 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y=k_1x+b(k_1≠0) $ 经过点 $ A(4,0),B(0,2) $,与直线 $ l_2: y=k_2x(k_2≠0) $ 交于点 $ P(a,1) $.
(1) 求直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式;
(2) 当 $ x=m $ 时,有 $ k_1m+b＞k_2m $,则 $ m $ 的取值范围是 ;
(3) $ C $ 为直线 $ l_2 $ 上一点,且 $ △ ABC $ 的面积为 3,求点 $ C $ 的坐标.

13. (1) $\because$ 直线 $l_1: y=k_1x+b(k_1≠ 0)$ 经过点 $A(4,0)$, $B(0,2)$,$\therefore \begin{cases}b=2,\\0=4k_1+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$. $\because$ 直线 $l_1$ 经过点 $P(a,1)$,$\therefore 1=-\dfrac{1}{2}a+2$,解得 $a=2$,$\therefore P(2,1)$. $\because$ 直线 $l_2: y=k_2x(k_2≠ 0)$ 也经过点 $P(2,1)$,$\therefore 1=2k_2$,解得 $k_2=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x$ (2) $m＜2$ (3) 设点 $C$ 的坐标为 $(t,\dfrac{1}{2}t)$. $\because A(4,0),B(0,2)$,$\therefore OA=4$,$OB=2$. ① 如图①,当 $t＞2$,即点 $C$ 在 $AB$ 上方时, $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}-S_{△ OAB}=3$, $\therefore \dfrac{1}{2}× 2t+\dfrac{1}{2}× 4× \dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{2}× 4× 2=3$,解得 $t=\dfrac{7}{2}$. 此时点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4})$. ② 如图②,当 $t＜2$,即点 $C$ 在 $AB$ 下方时, $\because S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× 4× 2=4＞3$,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=3$,$\therefore 4-\dfrac{1}{2}× 2t-\dfrac{1}{2}× 4× \dfrac{1}{2}t=3$,解得 $t=\dfrac{1}{2}$. 此时点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$. 综上所述,点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4})$ 或 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$

【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式需先求其经过的点$P$的坐标：首先用待定系数法，将$A$、$B$两点坐标代入$l_1$的解析式，求出$l_1$的函数表达式；再将$P(a,1)$代入$l_1$的解析式求出$a$，得到$P$点坐标；最后将$P$点坐标代入$l_2$的解析式求出$k_2$即可。
(2) 不等式$k_1m+b＞k_2m$的几何意义是直线$l_1$的函数值大于直线$l_2$的函数值，结合两直线交点的横坐标，观察图像即可得到$m$的取值范围。
(3) 设点$C$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t)$，用割补法表示$△ ABC$的面积：分点$C$在$AB$上方和$AB$下方两种情况，通过$△ OBC$、$△ OAC$、$△ OAB$的面积和差列方程求解$t$，即可得到$C$点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 直线 $l_1: y=k_1x+b(k_1≠ 0)$ 经过点 $A(4,0)$, $B(0,2)$，
$\therefore \begin{cases}b=2\\0=4k_1+b\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$ 直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$。
$\because$ 直线 $l_1$ 经过点 $P(a,1)$，代入得$1=-\dfrac{1}{2}a+2$，解得 $a=2$，$\therefore P(2,1)$。
$\because$ 直线 $l_2: y=k_2x(k_2≠ 0)$ 经过点 $P(2,1)$，代入得$1=2k_2$，解得 $k_2=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$ 直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x$。
(2) 不等式$k_1m+b＞k_2m$表示直线$l_1$的函数值大于$l_2$的函数值，由图像可知两直线交点为$P(2,1)$，当$x＜2$时$l_1$位于$l_2$上方，故$m$的取值范围是$m＜2$。
(3) 设点 $C$ 的坐标为 $(t,\dfrac{1}{2}t)$，$\because A(4,0),B(0,2)$，$\therefore OA=4$，$OB=2$，$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$。
① 当 $t＞2$，即点 $C$ 在 $AB$ 上方时， $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}-S_{△ OAB}=3$，
$\therefore \dfrac{1}{2}× 2t+\dfrac{1}{2}× 4× \dfrac{1}{2}t-4=3$，解得 $t=\dfrac{7}{2}$，此时点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4})$。
② 当 $t＜2$，即点 $C$ 在 $AB$ 下方时，$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}-S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=3$，
$\therefore 4-\dfrac{1}{2}× 2t-\dfrac{1}{2}× 4× \dfrac{1}{2}t=3$，解得 $t=\dfrac{1}{2}$，此时点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x$
(2) $m＜2$
(3) $(\dfrac{7}{2},\dfrac{7}{4})$ 或 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$

【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与不等式；一次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，需熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能结合函数图像的几何意义快速求解不等式，计算坐标系内三角形面积时可通过割补法简化运算，解题时要注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6