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五、解决问题我最棒
1.一个正方体，它的六个面分别标记为1、2、3、4、5、6。根据下图中的信息，把相对的面写出来。
1.一个正方体，它的六个面分别标记为1、2、3、4、5、6。根据下图中的信息，把相对的面写出来。
答案
1. 1对4，2对6，3对5。
解析
【分析】
要确定正方体相对的面，首先明确正方体每个面有且只有1个相对的面，其余4个都是相邻的面，相邻的面一定不相对。解题时先找出现次数最多的数字，先确定它的相对面，再依次推导其余数字的相对面即可。
【解析】
第一步：确定3的相对面。
观察三个图，数字3出现的次数最多：从第一个图可知3和1、2相邻；从第二个图可知3和1、6相邻；从第三个图可知3和4、6相邻。因此和3相邻的面有1、2、4、6，六个数字中只剩下5，所以3的相对面是5。
第二步：确定1的相对面。
从第一个图可知1和2、3相邻；从第二个图可知1和3、6相邻，因此和1相邻的面有2、3、6，又因为已经知道3的相对面是5，所以1也不可能和5相对，剩下的数字只有4，因此1的相对面是4。
第三步：确定剩下的2和6的相对面。
现在已经确定3对5、1对4，剩下的数字只有2和6，因此2的相对面是6。
【答案】
1对4，2对6，3对5。
【知识点】
1.正方体面的特征 2.排除法推理
【点评】
本题通过正方体相对面不相邻的特点，结合排除法逐步推导相对面，能够很好地锻炼空间想象能力和逻辑推理能力，是空间几何类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要确定正方体相对的面，首先明确正方体每个面有且只有1个相对的面，其余4个都是相邻的面，相邻的面一定不相对。解题时先找出现次数最多的数字，先确定它的相对面，再依次推导其余数字的相对面即可。
【解析】
第一步：确定3的相对面。
观察三个图，数字3出现的次数最多：从第一个图可知3和1、2相邻；从第二个图可知3和1、6相邻；从第三个图可知3和4、6相邻。因此和3相邻的面有1、2、4、6，六个数字中只剩下5，所以3的相对面是5。
第二步：确定1的相对面。
从第一个图可知1和2、3相邻；从第二个图可知1和3、6相邻，因此和1相邻的面有2、3、6，又因为已经知道3的相对面是5，所以1也不可能和5相对，剩下的数字只有4，因此1的相对面是4。
第三步：确定剩下的2和6的相对面。
现在已经确定3对5、1对4，剩下的数字只有2和6，因此2的相对面是6。
【答案】
1对4，2对6，3对5。
【知识点】
1.正方体面的特征 2.排除法推理
【点评】
本题通过正方体相对面不相邻的特点，结合排除法逐步推导相对面，能够很好地锻炼空间想象能力和逻辑推理能力，是空间几何类的基础题型。
【难度系数】
0.7
2.用金属条做一个长为6分米、宽为5分米、高为4分米的长方体鱼缸的框架，再用同样长的金属条做一个正方体鱼缸的框架，这个正方体鱼缸的框架的每条棱长是多少分米？
答案
2. 5分米
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确金属条的总长度是固定不变的，即长方体框架的棱长总和与正方体框架的棱长总和相等。解题思路分为两步：第一步先根据长方体棱长的特征算出金属条的总长度，第二步结合正方体12条棱长度相等的特征，用总长度除以12就能得到正方体的每条棱长。
【解析】
1. 计算金属条的总长度，也就是长方体的棱长总和：
长方体共有12条棱，包含4条长、4条宽、4条高，棱长总和公式为$\mathrm{（长+宽+高）×4}$，代入数值计算：
$\mathrm{（6+5+4）×4=15×4=60}$（分米）
2. 计算正方体框架的棱长：
正方体的12条棱长度全部相等，棱长总和公式为$\mathrm{棱长×12}$，已知总长度为60分米，因此棱长为：
$\mathrm{60÷12=5}$（分米）
【答案】
5分米
【知识点】
长方体棱长总和计算、正方体棱长总和计算
【点评】
本题是立体图形棱长相关的基础应用题，解题核心是抓住“金属条总长度不变”的隐含条件，熟练运用长方体和正方体的棱长总和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确金属条的总长度是固定不变的，即长方体框架的棱长总和与正方体框架的棱长总和相等。解题思路分为两步：第一步先根据长方体棱长的特征算出金属条的总长度，第二步结合正方体12条棱长度相等的特征，用总长度除以12就能得到正方体的每条棱长。
【解析】
1. 计算金属条的总长度，也就是长方体的棱长总和：
长方体共有12条棱，包含4条长、4条宽、4条高，棱长总和公式为$\mathrm{（长+宽+高）×4}$，代入数值计算：
$\mathrm{（6+5+4）×4=15×4=60}$（分米）
2. 计算正方体框架的棱长：
正方体的12条棱长度全部相等，棱长总和公式为$\mathrm{棱长×12}$，已知总长度为60分米，因此棱长为：
$\mathrm{60÷12=5}$（分米）
【答案】
5分米
【知识点】
长方体棱长总和计算、正方体棱长总和计算
【点评】
本题是立体图形棱长相关的基础应用题，解题核心是抓住“金属条总长度不变”的隐含条件，熟练运用长方体和正方体的棱长总和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3.一个长方体游泳池宽25米，长是宽的2倍，深2.5米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共要贴多少平方米的瓷砖？
答案
3. 1625 平方米
解析
【分析】
这道题考查长方体表面积的实际应用，解题时首先要明确贴瓷砖的部分是游泳池的底面和四个侧面，不需要计算顶面的面积。第一步先根据长和宽的倍数关系求出游泳池的长；第二步分别计算底面和四个侧面的面积，最后把这几部分面积相加，就能得到贴瓷砖的总面积。
【解析】
1. 计算游泳池的长：已知长是宽的2倍，宽为25米，因此长=25×2=50（米）
2. 计算底面面积：底面为长方形，面积=长×宽=50×25=1250（平方米）
3. 计算四周侧面的面积：侧面包含2个长×深的面和2个宽×深的面，侧面积=(长×深+宽×深)×2，代入数值可得：(50×2.5+25×2.5)×2=(125+62.5)×2=375（平方米）
4. 计算贴瓷砖总面积：总面积=底面面积+侧面积=1250+375=1625（平方米）
【答案】
1625平方米
【知识点】
长方体表面积计算、表面积的实际应用
【点评】
本题属于长方体表面积的常规应用题型，解题的核心是结合实际场景确定需要计算的面，排除不需要计算的面，避免直接套用完整表面积公式导致错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查长方体表面积的实际应用，解题时首先要明确贴瓷砖的部分是游泳池的底面和四个侧面，不需要计算顶面的面积。第一步先根据长和宽的倍数关系求出游泳池的长；第二步分别计算底面和四个侧面的面积，最后把这几部分面积相加，就能得到贴瓷砖的总面积。
【解析】
1. 计算游泳池的长：已知长是宽的2倍，宽为25米，因此长=25×2=50（米）
2. 计算底面面积：底面为长方形，面积=长×宽=50×25=1250（平方米）
3. 计算四周侧面的面积：侧面包含2个长×深的面和2个宽×深的面，侧面积=(长×深+宽×深)×2，代入数值可得：(50×2.5+25×2.5)×2=(125+62.5)×2=375（平方米）
4. 计算贴瓷砖总面积：总面积=底面面积+侧面积=1250+375=1625（平方米）
【答案】
1625平方米
【知识点】
长方体表面积计算、表面积的实际应用
【点评】
本题属于长方体表面积的常规应用题型，解题的核心是结合实际场景确定需要计算的面，排除不需要计算的面，避免直接套用完整表面积公式导致错误。
【难度系数】
0.7
4.把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的体积和表面积分别是多少？
答案
4. 体积:6.75 立方分米 表面积:22.5 平方分米
解析
【分析】
解题时可以分别从体积和表面积的变化规律入手思考：1.体积方面：两个正方体拼成长方体，只是形状发生改变，所占空间的总大小不变，因此长方体的体积等于两个正方体的体积之和，先算单个正方体体积再乘2即可。2.表面积方面：两个正方体拼接时，贴合的位置会有2个正方形面重合，不再属于长方体的表面积，因此可以先算出两个正方体的总表面积，再减去2个重合面的面积；也可以先求出拼接后长方体的长、宽、高，再用长方体表面积公式计算。
【解析】
体积计算：
正方体体积公式：$V = a× a× a$（$a$为棱长）
单个正方体体积：$1.5×1.5×1.5 = 3.375$（立方分米）
长方体体积 = 2个正方体体积之和：$3.375×2 = 6.75$（立方分米）
表面积计算：
方法一：利用拼接后表面积减少的规律计算
单个正方体表面积公式：$S_{正}=6× a× a$
单个正方体表面积：$6×1.5×1.5 = 13.5$（平方分米）
两个正方体总表面积：$13.5×2 = 27$（平方分米）
拼接后减少的2个面的面积：$2×1.5×1.5 = 4.5$（平方分米）
长方体表面积：$27 - 4.5 = 22.5$（平方分米）
方法二：用长方体表面积公式计算
拼接后长方体的长：$1.5×2 = 3$（分米），宽=高=1.5分米
长方体表面积公式：$S_{长}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$
代入得：$2×(3×1.5 + 3×1.5 + 1.5×1.5) = 2×(4.5 + 4.5 + 2.25) = 2×11.25 = 22.5$（平方分米）
【答案】
体积：6.75立方分米 表面积：22.5平方分米
【知识点】
正方体体积计算、正方体表面积计算、立体图形拼接规律
【点评】
本题重点考查立体图形拼接时体积和表面积的变化特性，需要注意拼接后体积保持不变，但表面积会减少重合面的总面积，计算表面积时不要直接相加两个正方体的表面积，避免忽略重合部分的错误。
【难度系数】
0.7
解题时可以分别从体积和表面积的变化规律入手思考：1.体积方面：两个正方体拼成长方体，只是形状发生改变，所占空间的总大小不变，因此长方体的体积等于两个正方体的体积之和，先算单个正方体体积再乘2即可。2.表面积方面：两个正方体拼接时，贴合的位置会有2个正方形面重合，不再属于长方体的表面积，因此可以先算出两个正方体的总表面积，再减去2个重合面的面积；也可以先求出拼接后长方体的长、宽、高，再用长方体表面积公式计算。
【解析】
体积计算：
正方体体积公式：$V = a× a× a$（$a$为棱长）
单个正方体体积：$1.5×1.5×1.5 = 3.375$（立方分米）
长方体体积 = 2个正方体体积之和：$3.375×2 = 6.75$（立方分米）
表面积计算：
方法一：利用拼接后表面积减少的规律计算
单个正方体表面积公式：$S_{正}=6× a× a$
单个正方体表面积：$6×1.5×1.5 = 13.5$（平方分米）
两个正方体总表面积：$13.5×2 = 27$（平方分米）
拼接后减少的2个面的面积：$2×1.5×1.5 = 4.5$（平方分米）
长方体表面积：$27 - 4.5 = 22.5$（平方分米）
方法二：用长方体表面积公式计算
拼接后长方体的长：$1.5×2 = 3$（分米），宽=高=1.5分米
长方体表面积公式：$S_{长}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$
代入得：$2×(3×1.5 + 3×1.5 + 1.5×1.5) = 2×(4.5 + 4.5 + 2.25) = 2×11.25 = 22.5$（平方分米）
【答案】
体积：6.75立方分米 表面积：22.5平方分米
【知识点】
正方体体积计算、正方体表面积计算、立体图形拼接规律
【点评】
本题重点考查立体图形拼接时体积和表面积的变化特性，需要注意拼接后体积保持不变，但表面积会减少重合面的总面积，计算表面积时不要直接相加两个正方体的表面积，避免忽略重合部分的错误。
【难度系数】
0.7
