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11.一根长 20 cm 的蜡烛被点燃后,其剩余长度 y(cm)是燃烧时间 x(min)的一次函数.若燃烧 5 min 后,其剩余长度是18 cm,则燃烧 20 min 后,其剩余长度为
12
cm.答案
11.12
解析
【分析】
题目明确剩余长度y是燃烧时间x的一次函数，解题时首先回忆一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。我们可以先找到两个已知的x、y对应值：未燃烧时（$x=0$）蜡烛长度为20cm，燃烧5min时（$x=5$）剩余长度18cm，用这两组值通过待定系数法求出k和b，得到完整的函数解析式，最后把$x=20$代入解析式就能算出对应的剩余长度。
【解析】
设y与x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 代入初始条件：当$x=0$时，$y=20$，代入解析式得：
$20 = k × 0 + b$，解得$b = 20$。
2. 代入已知燃烧条件：当$x=5$时，$y=18$，把$b=20$代入解析式得：
$18 = 5k + 20$，移项计算得$5k = -2$，解得$k = -0.4$。
3. 得到函数解析式：$y = -0.4x + 20$。
4. 求燃烧20min后的剩余长度：把$x=20$代入解析式，
$y = -0.4 × 20 + 20 = -8 + 20 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是利用待定系数法确定一次函数的解析式，再代入对应自变量求解，只要掌握一次函数的基本性质和待定系数法的用法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
题目明确剩余长度y是燃烧时间x的一次函数，解题时首先回忆一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。我们可以先找到两个已知的x、y对应值：未燃烧时（$x=0$）蜡烛长度为20cm，燃烧5min时（$x=5$）剩余长度18cm，用这两组值通过待定系数法求出k和b，得到完整的函数解析式，最后把$x=20$代入解析式就能算出对应的剩余长度。
【解析】
设y与x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 代入初始条件：当$x=0$时，$y=20$，代入解析式得：
$20 = k × 0 + b$，解得$b = 20$。
2. 代入已知燃烧条件：当$x=5$时，$y=18$，把$b=20$代入解析式得：
$18 = 5k + 20$，移项计算得$5k = -2$，解得$k = -0.4$。
3. 得到函数解析式：$y = -0.4x + 20$。
4. 求燃烧20min后的剩余长度：把$x=20$代入解析式，
$y = -0.4 × 20 + 20 = -8 + 20 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是利用待定系数法确定一次函数的解析式，再代入对应自变量求解，只要掌握一次函数的基本性质和待定系数法的用法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12. 小颖准备到甲、乙两商场去应聘，图2中的$l_1$，$l_2$分别表示了甲、乙两商场每月付给员工工资$y_1$，$y_2$（元）与销售商品的件数$x$（件）的关系。
(1)根据图象，分别求出$y_1$，$y_2$与$x$的函数关系式；
(2)根据图象回答：如果小颖决定应聘，她可能选择甲商场还是乙商场？
(1)根据图象，分别求出$y_1$，$y_2$与$x$的函数关系式；
(2)根据图象回答：如果小颖决定应聘，她可能选择甲商场还是乙商场？
答案
12.(1)$y_1=15x,y_2=5x+400$.
(2)如果销售商品的件数小于 40 件,选乙商场;如果销售商品的件数等于 40 件,两个商场都可以;如果销售商品的件数大于 40 件,选甲商场.
(2)如果销售商品的件数小于 40 件,选乙商场;如果销售商品的件数等于 40 件,两个商场都可以;如果销售商品的件数大于 40 件,选甲商场.
解析
【分析】
解决第(1)问时，我们使用待定系数法求函数解析式：观察图象可得$l_1$是过原点的正比例函数，仅需代入一个已知点即可求出系数；$l_2$是普通一次函数，代入图象上两个已知点就能求出解析式的系数。解决第(2)问时，选择商场的本质是比较相同销售件数下两个商场工资的高低，结合两函数的交点分三种情况讨论即可得出结论。
【解析】
(1) 设$y_1$的函数关系式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
由图象可知$l_1$经过点$(40,600)$，代入得：
$600=40k_1$，解得$k_1=15$，
因此$y_1=15x$（$x≥0$且为整数）。
设$y_2$的函数关系式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
由图象可知$l_2$经过点$(0,400)$和$(40,600)$，
将$(0,400)$代入得$b=400$，
再将$(40,600)$、$b=400$代入得：
$600=40k_2+400$，解得$k_2=5$，
因此$y_2=5x+400$（$x≥0$且为整数）。
(2) 分三种情况比较工资高低：
① 当$y_1=y_2$时，$15x=5x+400$，解得$x=40$，此时两个商场工资相同，任选即可；
② 当$y_1＜y_2$时，$15x＜5x+400$，解得$x＜40$，此时乙商场工资更高，选择乙商场；
③ 当$y_1＞y_2$时，$15x＞5x+400$，解得$x＞40$，此时甲商场工资更高，选择甲商场。
【答案】
(1)$y_1=15x$，$y_2=5x+400$；
(2)如果销售商品的件数小于 40 件,选乙商场;如果销售商品的件数等于 40 件,两个商场都可以;如果销售商品的件数大于 40 件,选甲商场。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数的基础应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求解析式，再通过比较函数值大小给出合理决策，兼顾了对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，我们使用待定系数法求函数解析式：观察图象可得$l_1$是过原点的正比例函数，仅需代入一个已知点即可求出系数；$l_2$是普通一次函数，代入图象上两个已知点就能求出解析式的系数。解决第(2)问时，选择商场的本质是比较相同销售件数下两个商场工资的高低，结合两函数的交点分三种情况讨论即可得出结论。
【解析】
(1) 设$y_1$的函数关系式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
由图象可知$l_1$经过点$(40,600)$，代入得：
$600=40k_1$，解得$k_1=15$，
因此$y_1=15x$（$x≥0$且为整数）。
设$y_2$的函数关系式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
由图象可知$l_2$经过点$(0,400)$和$(40,600)$，
将$(0,400)$代入得$b=400$，
再将$(40,600)$、$b=400$代入得：
$600=40k_2+400$，解得$k_2=5$，
因此$y_2=5x+400$（$x≥0$且为整数）。
(2) 分三种情况比较工资高低：
① 当$y_1=y_2$时，$15x=5x+400$，解得$x=40$，此时两个商场工资相同，任选即可；
② 当$y_1＜y_2$时，$15x＜5x+400$，解得$x＜40$，此时乙商场工资更高，选择乙商场；
③ 当$y_1＞y_2$时，$15x＞5x+400$，解得$x＞40$，此时甲商场工资更高，选择甲商场。
【答案】
(1)$y_1=15x$，$y_2=5x+400$；
(2)如果销售商品的件数小于 40 件,选乙商场;如果销售商品的件数等于 40 件,两个商场都可以;如果销售商品的件数大于 40 件,选甲商场。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数的基础应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求解析式，再通过比较函数值大小给出合理决策，兼顾了对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13.商场为刺激消费推出了两种购物方案.方案一:非会员购物,所有商品价格可获九五折优惠;方案二:交纳300元会费成为该商场会员,所有商品价格可获九折优惠.
(1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示顾客支出金额,分别写出两种购物方案中y与x的函数关系式;
(2)若某人计划在商场购买价格为7000元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱.
(1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示顾客支出金额,分别写出两种购物方案中y与x的函数关系式;
(2)若某人计划在商场购买价格为7000元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱.
答案
13.(1)方案一:$y=0.95x$
方案二:$y=0.9x+300$
(2)方案二
方案二:$y=0.9x+300$
(2)方案二
解析
【分析】
(1) 要推导两种方案的函数关系式，需先明确每种方案的支出构成：方案一无额外费用，仅商品价格打九五折，支出金额等于商品价格乘折扣率；方案二需固定交纳300元会费，再对商品价格打九折，支出金额为会费加打折后的商品价格，分别整理即可得到对应函数式。
(2) 判断购买7000元的电视机哪种方案更省钱，只需将x=7000分别代入两个函数关系式，计算出两种方案的支出金额，再比较金额大小，支出更少的方案更省钱。
【解析】
(1) 方案一：非会员购物无额外费用，所有商品享九五折优惠，因此支出金额y与商品价格x的函数关系式为：
$y = 0.95x$
方案二：需先交纳300元会费，所有商品享九折优惠，因此支出金额y与商品价格x的函数关系式为：
$y = 0.9x + 300$
(2) 当商品价格$x=7000$元时：
代入方案一的函数式，得$y_1=0.95×7000=6650$（元）
代入方案二的函数式，得$y_2=0.9×7000 + 300 = 6300 + 300 = 6600$（元）
因为$6600 ＜ 6650$，所以选择方案二更省钱。
【答案】
(1) 方案一：$y=0.95x$；方案二：$y=0.9x+300$
(2) 方案二
【知识点】
一次函数的应用，列函数解析式，代数式大小比较
【点评】
本题结合日常消费优惠的实际场景命题，解题核心是准确理解不同优惠方案的费用构成，正确列出函数关系式后通过代入求值、比较大小即可得到结论，注重考查学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.9
(1) 要推导两种方案的函数关系式，需先明确每种方案的支出构成：方案一无额外费用，仅商品价格打九五折，支出金额等于商品价格乘折扣率；方案二需固定交纳300元会费，再对商品价格打九折，支出金额为会费加打折后的商品价格，分别整理即可得到对应函数式。
(2) 判断购买7000元的电视机哪种方案更省钱，只需将x=7000分别代入两个函数关系式，计算出两种方案的支出金额，再比较金额大小，支出更少的方案更省钱。
【解析】
(1) 方案一：非会员购物无额外费用，所有商品享九五折优惠，因此支出金额y与商品价格x的函数关系式为：
$y = 0.95x$
方案二：需先交纳300元会费，所有商品享九折优惠，因此支出金额y与商品价格x的函数关系式为：
$y = 0.9x + 300$
(2) 当商品价格$x=7000$元时：
代入方案一的函数式，得$y_1=0.95×7000=6650$（元）
代入方案二的函数式，得$y_2=0.9×7000 + 300 = 6300 + 300 = 6600$（元）
因为$6600 ＜ 6650$，所以选择方案二更省钱。
【答案】
(1) 方案一：$y=0.95x$；方案二：$y=0.9x+300$
(2) 方案二
【知识点】
一次函数的应用，列函数解析式，代数式大小比较
【点评】
本题结合日常消费优惠的实际场景命题，解题核心是准确理解不同优惠方案的费用构成，正确列出函数关系式后通过代入求值、比较大小即可得到结论，注重考查学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.9
14.为支援灾区的灾后重建,甲、乙两县分别筹集了200吨和300吨水泥支援灾区,现需要调往灾区A镇100吨水泥,调往灾区B镇400吨水泥.已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元,从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元.
(1)设从甲县调往A镇x吨水泥,求总运费y与x的函数关系式;
(2)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
(1)设从甲县调往A镇x吨水泥,求总运费y与x的函数关系式;
(2)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
答案
14.(1)$y=-20x+29000(0≤ x≤100)$
(2)从甲县分别调往 A 镇和 B 镇各 100 吨水泥,从乙县将 300 吨水泥全部调往 B 镇,可使总运费最低,最低运费是 27 000 元.
(2)从甲县分别调往 A 镇和 B 镇各 100 吨水泥,从乙县将 300 吨水泥全部调往 B 镇,可使总运费最低,最低运费是 27 000 元.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据甲县调往A镇的水泥吨数x，依次用含x的代数式表示出甲县调往B镇、乙县调往A镇、乙县调往B镇的水泥吨数，再根据“总运费=各段调运运费之和”列出关系式，化简后结合调运吨数非负的实际要求确定x的取值范围，即可得到函数解析式。
(2) 解题思路：第一问得到的是一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围找到使总运费最小的x值，代入计算最低运费，再反推对应的调运方案即可。
【解析】
(1) 设从甲县调往A镇x吨水泥，则：
甲县调往B镇的水泥为$(200-x)$吨，
乙县调往A镇的水泥为$(100-x)$吨，
乙县调往B镇的水泥为$300-(100-x)=(200+x)$吨。
根据总运费计算规则列等式：
$\begin{aligned}y&=40x+80(200-x)+30(100-x)+50(200+x)\\&=40x+16000-80x+3000-30x+10000+50x\\&=-20x+29000\end{aligned}$
结合实际调运吨数非负，可得：$\begin{cases}x≥0\\100-x≥0\\200-x≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤100$。
因此总运费y与x的函数关系式为$y=-20x+29000(0≤ x≤100)$。
(2) 对于一次函数$y=-20x+29000$，$k=-20＜0$，因此y随x的增大而减小。
要使总运费最低，需x取最大值，即$x=100$。
将$x=100$代入解析式得：$y=-20×100+29000=27000$元。
此时调运方案为：
甲县调往A镇100吨，调往B镇$200-100=100$吨；
乙县调往A镇0吨，300吨全部调往B镇。
【答案】
(1)$y=-20x+29000(0≤ x≤100)$
(2)从甲县分别调往 A 镇和 B 镇各 100 吨水泥,从乙县将 300 吨水泥全部调往 B 镇,可使总运费最低,最低运费是 27 000 元。
【知识点】
一次函数解析式、一次函数的性质、最优方案设计
【点评】
本题结合物资调运的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是正确梳理各调运量的数量关系，列出符合实际的函数解析式，再利用一次函数的增减性求解最值，需注意自变量的取值范围必须符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据甲县调往A镇的水泥吨数x，依次用含x的代数式表示出甲县调往B镇、乙县调往A镇、乙县调往B镇的水泥吨数，再根据“总运费=各段调运运费之和”列出关系式，化简后结合调运吨数非负的实际要求确定x的取值范围，即可得到函数解析式。
(2) 解题思路：第一问得到的是一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围找到使总运费最小的x值，代入计算最低运费，再反推对应的调运方案即可。
【解析】
(1) 设从甲县调往A镇x吨水泥，则：
甲县调往B镇的水泥为$(200-x)$吨，
乙县调往A镇的水泥为$(100-x)$吨，
乙县调往B镇的水泥为$300-(100-x)=(200+x)$吨。
根据总运费计算规则列等式：
$\begin{aligned}y&=40x+80(200-x)+30(100-x)+50(200+x)\\&=40x+16000-80x+3000-30x+10000+50x\\&=-20x+29000\end{aligned}$
结合实际调运吨数非负，可得：$\begin{cases}x≥0\\100-x≥0\\200-x≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤100$。
因此总运费y与x的函数关系式为$y=-20x+29000(0≤ x≤100)$。
(2) 对于一次函数$y=-20x+29000$，$k=-20＜0$，因此y随x的增大而减小。
要使总运费最低，需x取最大值，即$x=100$。
将$x=100$代入解析式得：$y=-20×100+29000=27000$元。
此时调运方案为：
甲县调往A镇100吨，调往B镇$200-100=100$吨；
乙县调往A镇0吨，300吨全部调往B镇。
【答案】
(1)$y=-20x+29000(0≤ x≤100)$
(2)从甲县分别调往 A 镇和 B 镇各 100 吨水泥,从乙县将 300 吨水泥全部调往 B 镇,可使总运费最低,最低运费是 27 000 元。
【知识点】
一次函数解析式、一次函数的性质、最优方案设计
【点评】
本题结合物资调运的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是正确梳理各调运量的数量关系，列出符合实际的函数解析式，再利用一次函数的增减性求解最值，需注意自变量的取值范围必须符合实际意义。
【难度系数】
0.7
