1.如图是中国传统建筑的月亮门，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，射线MO交⊙O于点E，并且CD=4，EM=6，求⊙O的半径.

解:连接$OC$,设$\odot O$半径为$R$,
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中,
$R^2=2^2+(6-R)^2$,$R=\frac{10}{3}$.
答:$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.

2.中国传统玩具不倒翁(如图 1),它的主体截面图是由两个大小不同的圆构成的轴对称图形(如图 2),测得不倒翁的高度 $AB=9\ \mathrm{cm}$,上部分小圆半径 $r=2\ \mathrm{cm}$,$EF=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,则底部大圆半径 $R$ 的长是 cm.

$\frac{13}{4}$
解:连接$EO_1,EO_2$,则由对称性可得$O_1O_2⊥ EF$,
且$EH=\frac{1}{2}EF=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
又$\because O_1H=\sqrt{O_1E^2-EH^2}=1(\mathrm{cm})$,
$\therefore BH=AB-AH=9-2-1=6(\mathrm{cm})$,
在$\mathrm{Rt}△ EHO_2$中,
$O_2E^2=EH^2+O_2H^2$,
$\therefore R^2=3+(6-R)^2$,
$\therefore R=\frac{13}{4}\ \mathrm{cm}$.

3.动手操作:如图,在正方形网格中,$\odot O$过格点$A,B,C$,$AB$为$\odot O$的直径,在$\overset{\frown}{AB}$上作点$D$,使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$.(用无刻度直尺作图)
作法:(1)将点$C$向左平移5格向下平移3格得点$M$；
(2)连接$CM$交$\odot O$于点$D$,则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$.
完成作图并说明理由.

证明:$\because △ ACB≌△ MNC$,
$\therefore ∠ NCM=∠ ABC$,
$\therefore CM⊥ AB$,
又$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$.

4.(2025秋·郑州月考)如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示，已知桥面跨径AB=20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD=BC=14米，则该圆的半径长为米。

解:过点$O$作$OM⊥ AB$交$AB$于点$M$,过点$D$作$DN⊥ OM$于点$N$.
设$ON=x$,
$\therefore OM=x+14$,
又$\because AM=BM=10$,$\therefore CM=24$,
在$\mathrm{Rt}△ OND$中,$x^2+24^2=OD^2$,
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中,$10^2+(x+14)^2=OA^2$,
$\therefore x^2+24^2=10^2+(x+14)^2$,
$\therefore x=10$,$\therefore R=26$.