登录
1 如图，AB//CD，则下列结论一定正确的是 （
A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠1=∠4
D.∠3=∠4
C
）A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠1=∠4
D.∠3=∠4
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先结合平行线的性质，先明确已知平行的两条直线是AB和CD，截线是AC，再判断各选项中角的位置关系：首先回忆两直线平行，内错角相等的性质，逐一排查选项：
1. 先找AB、CD被AC所截形成的内错角：∠1和∠4在截线AC两侧，且分别在AB、CD之间，属于内错角，因此二者相等；
2. 其余选项中的角，要么是AD、BC平行时才相等的内错角（∠1和∠2、∠2和∠3），要么无必然相等关系（∠3和∠4），题目未给出AD//BC的条件，因此都不成立。
【解析】
已知AB//CD，直线AC为截线，∠1和∠4是AB、CD被AC所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=∠4。
对其余选项分析：
A. ∠1和∠2是AD、BC被AC所截的内错角，只有AD//BC时才相等，题目无此条件，错误；
B. ∠2和∠3是AD、BC被AC所截的内错角，只有AD//BC时才相等，题目无此条件，错误；
D. ∠3和∠4没有对应的平行线性质可推出相等，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是准确区分不同截线所对应的内错角，不要混淆不同组平行线对应的角的关系。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合平行线的性质，先明确已知平行的两条直线是AB和CD，截线是AC，再判断各选项中角的位置关系：首先回忆两直线平行，内错角相等的性质，逐一排查选项：
1. 先找AB、CD被AC所截形成的内错角：∠1和∠4在截线AC两侧，且分别在AB、CD之间，属于内错角，因此二者相等；
2. 其余选项中的角，要么是AD、BC平行时才相等的内错角（∠1和∠2、∠2和∠3），要么无必然相等关系（∠3和∠4），题目未给出AD//BC的条件，因此都不成立。
【解析】
已知AB//CD，直线AC为截线，∠1和∠4是AB、CD被AC所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=∠4。
对其余选项分析：
A. ∠1和∠2是AD、BC被AC所截的内错角，只有AD//BC时才相等，题目无此条件，错误；
B. ∠2和∠3是AD、BC被AC所截的内错角，只有AD//BC时才相等，题目无此条件，错误；
D. ∠3和∠4没有对应的平行线性质可推出相等，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是准确区分不同截线所对应的内错角，不要混淆不同组平行线对应的角的关系。
【难度系数】
0.85
2 [2026 沭阳一模]将一副三角尺(厚度不计)按如图所示的方式摆放.若$AB// CD$,则图中$∠1$的度数为（
A.$100°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$120°$
B
）A.$100°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$120°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确三角尺的固有角度，再结合平行线的性质得到相关内错角的度数，最后利用三角形内角和定理与对顶角相等的性质即可求出∠1的度数。首先回忆常见三角尺的角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°；再由AB//CD找到相等的内错角，结合已知角即可计算目标角。
【解析】
解：由三角尺的性质可知，∠B=45°，∠C=30°。
∵AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠BAC=∠C=30°。
与∠1成对顶角的角在含∠B和∠BAC的小三角形中，根据三角形内角和为180°，可得该对顶角的度数为：$180°-∠ B-∠ BAC=180°-45°-30°=105°$。
又
∵对顶角相等，
∴$∠1=105°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题考查平行线的性质与三角尺角度的结合应用，解题关键是熟记三角尺的固定角度，准确找到平行线形成的相等内错角，结合三角形内角和与对顶角的性质求解即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角尺的固有角度，再结合平行线的性质得到相关内错角的度数，最后利用三角形内角和定理与对顶角相等的性质即可求出∠1的度数。首先回忆常见三角尺的角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的较小锐角为30°；再由AB//CD找到相等的内错角，结合已知角即可计算目标角。
【解析】
解：由三角尺的性质可知，∠B=45°，∠C=30°。
∵AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠BAC=∠C=30°。
与∠1成对顶角的角在含∠B和∠BAC的小三角形中，根据三角形内角和为180°，可得该对顶角的度数为：$180°-∠ B-∠ BAC=180°-45°-30°=105°$。
又
∵对顶角相等，
∴$∠1=105°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题考查平行线的性质与三角尺角度的结合应用，解题关键是熟记三角尺的固定角度，准确找到平行线形成的相等内错角，结合三角形内角和与对顶角的性质求解即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
3 [2024凉山]将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当$DF// AB$时，$∠ EDB$的度数为
15°
。答案
3.15°
解析
【分析】
解题时首先明确一副直角三角尺的特殊角度：等腰直角三角尺的锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的最小锐角为30°。已知$DF// AB$，可结合平行线内错角相等的性质，得到$∠ BDF$与$∠ ABD$的等量关系，再观察$∠ EDB$与$∠ BDF$、$∠ EDF$的和差关系，代入角度计算即可求解。
【解析】
解：由直角三角尺的特征得：$∠ ABD=45°$，$∠ EDF=30°$。
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ BDF=∠ ABD=45°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ EDB=∠ BDF-∠ EDF=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质，角度的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查平行线性质的应用，解题关键是熟记三角尺的特殊角度，准确识别图形中角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确一副直角三角尺的特殊角度：等腰直角三角尺的锐角均为45°，含30°角的直角三角尺的最小锐角为30°。已知$DF// AB$，可结合平行线内错角相等的性质，得到$∠ BDF$与$∠ ABD$的等量关系，再观察$∠ EDB$与$∠ BDF$、$∠ EDF$的和差关系，代入角度计算即可求解。
【解析】
解：由直角三角尺的特征得：$∠ ABD=45°$，$∠ EDF=30°$。
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ BDF=∠ ABD=45°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ EDB=∠ BDF-∠ EDF=45°-30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质，角度的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查平行线性质的应用，解题关键是熟记三角尺的特殊角度，准确识别图形中角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.7
4 [2025 沭阳三模]如图，直线$a// b$，直线$AB⊥ AC$.若$∠ 1=50°$，则$∠ 2=$
40°
.答案
4.40°
解析
【分析】
本题需结合垂直的定义和平行线的性质求解，解题思路如下：1. 首先根据AB⊥AC，由垂直的定义可得∠BAC=90°；2. 再根据直线a//b，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1、∠BAC与∠2的和为180°；3. 最后代入已知的∠1=50°，计算即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°（垂直的定义），
∵直线a//b，
∴∠1 + ∠BAC + ∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠1=50°，代入得：
50° + 90° + ∠2 = 180°，
解得∠2 = 180° - 50° - 90° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
1. 平行线的性质；2. 垂直的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查平行线性质与垂直定义的综合运用，解题的关键是准确识别平行线截得的同旁内角，结合已知条件列式计算即可。
【难度系数】
0.8
本题需结合垂直的定义和平行线的性质求解，解题思路如下：1. 首先根据AB⊥AC，由垂直的定义可得∠BAC=90°；2. 再根据直线a//b，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1、∠BAC与∠2的和为180°；3. 最后代入已知的∠1=50°，计算即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°（垂直的定义），
∵直线a//b，
∴∠1 + ∠BAC + ∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠1=50°，代入得：
50° + 90° + ∠2 = 180°，
解得∠2 = 180° - 50° - 90° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
1. 平行线的性质；2. 垂直的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查平行线性质与垂直定义的综合运用，解题的关键是准确识别平行线截得的同旁内角，结合已知条件列式计算即可。
【难度系数】
0.8
5 [2024 甘孜]如图，$AB// CD$，$AD$ 平分$∠ BAC$，$∠ 1=30°$，则$∠ 2=$
6 如图，点 $D$，$E$ 分别在 $AB$，$BC$ 上，$DE// AC$，$AF// BC$，$∠ 1=70°$，则$∠ 2$ 的度数为
30
$°$.6 如图，点 $D$，$E$ 分别在 $AB$，$BC$ 上，$DE// AC$，$AF// BC$，$∠ 1=70°$，则$∠ 2$ 的度数为
70°
.答案
5.30 6.70°
解析
【分析】
第5题：解题时先利用平行线的性质得到内错角相等，求出∠BAD的度数，再结合角平分线的定义即可推导∠2的度数。步骤：①由AB//CD，得∠BAD=∠1；②根据AD平分∠BAC，可知∠2=∠BAD，代入数值计算即可。
第6题：解题时两次运用平行线的性质，分别找到∠1、∠2与∠C的等量关系，通过等量代换求出∠2的度数。步骤：①由DE//AC得∠C=∠1；②由AF//BC得∠2=∠C，代换后得到∠2的度数。
【解析】
第5题
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ 1 = 30°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $AD$ 平分 $∠ BAC$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD = 30°$。
第6题
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ C = ∠ 1 = 70°$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $AF// BC$，
∴ $∠ 2 = ∠ C = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
5. $30$；6. $70°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
这两道题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线被截线所形成的相等角，结合已知条件推导角度关系，只要熟练掌握平行线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.85
第5题：解题时先利用平行线的性质得到内错角相等，求出∠BAD的度数，再结合角平分线的定义即可推导∠2的度数。步骤：①由AB//CD，得∠BAD=∠1；②根据AD平分∠BAC，可知∠2=∠BAD，代入数值计算即可。
第6题：解题时两次运用平行线的性质，分别找到∠1、∠2与∠C的等量关系，通过等量代换求出∠2的度数。步骤：①由DE//AC得∠C=∠1；②由AF//BC得∠2=∠C，代换后得到∠2的度数。
【解析】
第5题
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ 1 = 30°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $AD$ 平分 $∠ BAC$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD = 30°$。
第6题
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ C = ∠ 1 = 70°$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $AF// BC$，
∴ $∠ 2 = ∠ C = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
5. $30$；6. $70°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
这两道题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线被截线所形成的相等角，结合已知条件推导角度关系，只要熟练掌握平行线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.85
7 已知三条不同的直线$a,b,c$在同一平面内，给出下列说法：① 如果$a// b$，$a⊥ c$，那么$b⊥ c$；② 如果$b// a$，$c// a$，那么$b// c$；③ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，那么$b⊥ c$；④ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，那么$b// c$。其中，正确的是
①②④
（填序号）。答案
7.①②④
解析
【分析】
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题思路是逐一验证4个说法是否符合平行线、垂线的相关判定及性质：首先回忆相关结论：①若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则也垂直于另一条；②平行于同一直线的两条直线互相平行；③同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，结合上述结论逐个判断即可。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：一条直线垂直于一组平行线中的一条，必然垂直于另一条，可得$b⊥ c$，故①正确；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②正确；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，不是$b⊥ c$，故③错误；
④ 结合③中的结论，$b⊥ a$，$c⊥ a$时$b// c$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直与平行的判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查同一平面内直线平行、垂直的相关结论，解题时注意题干给出的“三条不同直线在同一平面内”的前提，熟练掌握相关性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查同一平面内直线平行与垂直的相关性质，解题思路是逐一验证4个说法是否符合平行线、垂线的相关判定及性质：首先回忆相关结论：①若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则也垂直于另一条；②平行于同一直线的两条直线互相平行；③同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，结合上述结论逐个判断即可。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
① 已知$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质：一条直线垂直于一组平行线中的一条，必然垂直于另一条，可得$b⊥ c$，故①正确；
② 已知$b// a$，$c// a$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，故②正确；
③ 已知$b⊥ a$，$c⊥ a$，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$b// c$，不是$b⊥ c$，故③错误；
④ 结合③中的结论，$b⊥ a$，$c⊥ a$时$b// c$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、垂直与平行的判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查同一平面内直线平行、垂直的相关结论，解题时注意题干给出的“三条不同直线在同一平面内”的前提，熟练掌握相关性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8 [2024呼和浩特改编]如图，直线a，b被直线c，d所截.若$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 3=104°$，求$∠ 4$的度数. 
（第8题）
（第8题）答案
8. 如图，因为$∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1+∠ 5=180°$,所以$∠ 2=∠ 5$.所以$a// b$.所以$∠ 4=∠ 6$.因为$∠ 3=104°,∠ 3+∠ 6=180°$,所以$∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$.所以$∠ 4=76°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠1+∠2=180°入手，结合邻补角和为180°的性质，可推出∠2与∠1的邻补角∠5相等，根据同位角相等可判定直线a与b平行；再利用平行线的性质得到∠4与∠6相等，最后结合∠3和∠6是邻补角、和为180°的关系，代入∠3的度数即可求出∠4的度数。
【解析】
解：如图，
∵ ∠1+∠2=180°，∠1+∠5=180°（邻补角的定义），
∴ ∠2=∠5（同角的补角相等），
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠4=∠6（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠3+∠6=180°（邻补角的定义），∠3=104°，
∴ ∠6=180°-∠3=180°-104°=76°，
∴ ∠4=76°。
【答案】
如图，因为$∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1+∠ 5=180°$,所以$∠ 2=∠ 5$.所以$a// b$.所以$∠ 4=∠ 6$.因为$∠ 3=104°,∠ 3+∠ 6=180°$,所以$∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$.所以$∠ 4=76°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，需要结合补角的相关性质完成直线平行的判定，再利用平行线的性质传递角的等量关系求解角度，解题时要注意判定定理和性质定理的应用场景，不要混淆二者的条件和结论。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件∠1+∠2=180°入手，结合邻补角和为180°的性质，可推出∠2与∠1的邻补角∠5相等，根据同位角相等可判定直线a与b平行；再利用平行线的性质得到∠4与∠6相等，最后结合∠3和∠6是邻补角、和为180°的关系，代入∠3的度数即可求出∠4的度数。
【解析】
解：如图，
∵ ∠1+∠2=180°，∠1+∠5=180°（邻补角的定义），
∴ ∠2=∠5（同角的补角相等），
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠4=∠6（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠3+∠6=180°（邻补角的定义），∠3=104°，
∴ ∠6=180°-∠3=180°-104°=76°，
∴ ∠4=76°。
【答案】
如图，因为$∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1+∠ 5=180°$,所以$∠ 2=∠ 5$.所以$a// b$.所以$∠ 4=∠ 6$.因为$∠ 3=104°,∠ 3+∠ 6=180°$,所以$∠ 6=180°-∠ 3=180°-104°=76°$.所以$∠ 4=76°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，需要结合补角的相关性质完成直线平行的判定，再利用平行线的性质传递角的等量关系求解角度，解题时要注意判定定理和性质定理的应用场景，不要混淆二者的条件和结论。
【难度系数】
0.85
9 新情境 生活实际 一辆汽车第一次向右拐$50°$，要使行驶方向与原来的方向相同，第二次应该（
A.向左拐$130°$
B.向右拐$50°$
C.向右拐$130°$
D.向左拐$50°$
D
）A.向左拐$130°$
B.向右拐$50°$
C.向右拐$130°$
D.向左拐$50°$
答案
9.D
解析
【分析】
首先提取题干关键信息：两次拐弯后行驶方向与原方向相同，该条件对应的数学本质是两次拐弯后的行驶路线与原行驶路线平行且同向。接下来结合平行线的判定定理思考：要使两条直线平行，需满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。第一次是向右拐50°，为了让拐弯后形成的同位角相等，保证路线平行，第二次拐弯的方向应与第一次相反，角度大小相等，据此即可匹配选项。
【解析】
我们可通过模型分析：将汽车原行驶路线看作直线，第一次向右拐50°后，新路线与原路线形成50°的夹角。要使最终行驶方向和原方向一致，即最终路线与原路线平行且同向，根据“同位角相等，两直线平行”，第二次需向左拐50°，此时两次拐弯形成的同位角大小相等，最终路线与原路线平行，行驶方向和原来相同。
对其余选项排除：A.向左拐130°会使最终行驶方向与原方向相反；B、C选项均为向右拐，会让行驶方向持续向右偏移，无法与原方向一致，故均错误。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线的判定 2.方向角的应用
【点评】
本题结合汽车拐弯的生活情境，考查平行线判定的实际应用，解题关键是将“行驶方向与原来相同”的生活表述转化为“路线平行且同向”的数学模型，难度较低，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
首先提取题干关键信息：两次拐弯后行驶方向与原方向相同，该条件对应的数学本质是两次拐弯后的行驶路线与原行驶路线平行且同向。接下来结合平行线的判定定理思考：要使两条直线平行，需满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。第一次是向右拐50°，为了让拐弯后形成的同位角相等，保证路线平行，第二次拐弯的方向应与第一次相反，角度大小相等，据此即可匹配选项。
【解析】
我们可通过模型分析：将汽车原行驶路线看作直线，第一次向右拐50°后，新路线与原路线形成50°的夹角。要使最终行驶方向和原方向一致，即最终路线与原路线平行且同向，根据“同位角相等，两直线平行”，第二次需向左拐50°，此时两次拐弯形成的同位角大小相等，最终路线与原路线平行，行驶方向和原来相同。
对其余选项排除：A.向左拐130°会使最终行驶方向与原方向相反；B、C选项均为向右拐，会让行驶方向持续向右偏移，无法与原方向一致，故均错误。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线的判定 2.方向角的应用
【点评】
本题结合汽车拐弯的生活情境，考查平行线判定的实际应用，解题关键是将“行驶方向与原来相同”的生活表述转化为“路线平行且同向”的数学模型，难度较低，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
