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1. 圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分边BC，与边BC交于点F，则弦AE的长为
$\frac{6}{5}\sqrt{5}$
。答案
1. $\frac{6}{5}\sqrt{5}$ 提示:点 B 到弦 AE 的垂线段长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,由勾股定理或射影定理,求得弦 AE 的长为$\frac{6}{5}\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时可先从已知条件入手：首先明确正方形边长为2，弦AE平分BC可知F是BC中点。第一步先利用正方形内角为直角的性质，在Rt△ABF中用勾股定理求出AF的长度；第二步结合圆的相交弦定理，即圆内两条相交弦被交点分成的线段乘积相等，得到AF·FE=BF·FC，代入已知数值求出FE的长度；最后AE的长度为AF与FE之和，即可算出结果。也可通过建立平面直角坐标系，联立直线AE与圆的方程求解点E坐标，再用两点间距离公式计算AE长度。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2，弦AE平分边BC，
∴F为BC的中点，即BF=FC=1。
在Rt△ABF中，AB=2，BF=1，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
根据圆的相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等，可得：
$AF·FE=BF·FC$
代入数值：$\sqrt{5}·FE=1×1=1$，解得$FE=\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴弦AE的长为：$AE=AF+FE=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{6}{5}\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；相交弦定理
【点评】
本题属于基础综合题，将正方形性质与圆的相关定理结合考查，解题的关键是找到线段之间的数量关系，方法灵活多样，既可以用几何定理直接求解，也可以用坐标法计算，能很好地考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可先从已知条件入手：首先明确正方形边长为2，弦AE平分BC可知F是BC中点。第一步先利用正方形内角为直角的性质，在Rt△ABF中用勾股定理求出AF的长度；第二步结合圆的相交弦定理，即圆内两条相交弦被交点分成的线段乘积相等，得到AF·FE=BF·FC，代入已知数值求出FE的长度；最后AE的长度为AF与FE之和，即可算出结果。也可通过建立平面直角坐标系，联立直线AE与圆的方程求解点E坐标，再用两点间距离公式计算AE长度。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2，弦AE平分边BC，
∴F为BC的中点，即BF=FC=1。
在Rt△ABF中，AB=2，BF=1，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
根据圆的相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等，可得：
$AF·FE=BF·FC$
代入数值：$\sqrt{5}·FE=1×1=1$，解得$FE=\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴弦AE的长为：$AE=AF+FE=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{6}{5}\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；相交弦定理
【点评】
本题属于基础综合题，将正方形性质与圆的相关定理结合考查，解题的关键是找到线段之间的数量关系，方法灵活多样，既可以用几何定理直接求解，也可以用坐标法计算，能很好地考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 正六边形的面积是 $18\sqrt{3}$，它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为
$3π$
.(结果保留π)答案
2. $3π$ 提示:由正六边形的面积为 $18\sqrt{3}$,得正六边形的边长为 $2\sqrt{3}$,边心距为 3,从而正六边形的外接圆半径为 $2\sqrt{3}$,内切圆半径为 3,故所围成的圆环面积为 $3π$.
解析
【分析】
要求圆环面积，需先明确圆环面积公式为$S=π R^2-π r^2$（$R$为外接圆半径，$r$为内切圆半径）。正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径等于其边心距，因此解题核心是先通过正六边形的面积求出边长，再分别得到外接圆、内切圆半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
设正六边形的边长为$a$：
1. 正六边形可分割为6个全等的边长为$a$的等边三角形，因此正六边形面积为：
$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
2. 已知正六边形面积为$18\sqrt{3}$，列方程：
$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=18\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{3}{2}a^2=18$，解得$a^2=12$，即$a=2\sqrt{3}$（边长为正数）。
3. 正六边形外接圆半径$R=a=2\sqrt{3}$；内切圆半径$r$为等边三角形的高，即$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$。
4. 圆环面积：
$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2-π r^2=π×[(2\sqrt{3})^2-3^2]=π×(12-9)=3π$
【答案】
$3π$
【知识点】
正六边形的性质，正多边形与圆，圆环面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的性质，通过面积求出边长后即可快速得到内外接圆半径，进而求解圆环面积，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求圆环面积，需先明确圆环面积公式为$S=π R^2-π r^2$（$R$为外接圆半径，$r$为内切圆半径）。正六边形的外接圆半径等于其边长，内切圆半径等于其边心距，因此解题核心是先通过正六边形的面积求出边长，再分别得到外接圆、内切圆半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
设正六边形的边长为$a$：
1. 正六边形可分割为6个全等的边长为$a$的等边三角形，因此正六边形面积为：
$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
2. 已知正六边形面积为$18\sqrt{3}$，列方程：
$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=18\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{3}{2}a^2=18$，解得$a^2=12$，即$a=2\sqrt{3}$（边长为正数）。
3. 正六边形外接圆半径$R=a=2\sqrt{3}$；内切圆半径$r$为等边三角形的高，即$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$。
4. 圆环面积：
$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2-π r^2=π×[(2\sqrt{3})^2-3^2]=π×(12-9)=3π$
【答案】
$3π$
【知识点】
正六边形的性质，正多边形与圆，圆环面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的性质，通过面积求出边长后即可快速得到内外接圆半径，进而求解圆环面积，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为
$1:2:3$
.答案
3. $1:2:3$ 提示:设正三角形的边长为 $a$,则内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,外接圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,故内切圆半径、外接圆半径和高的比为 $1:2:3$.
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆正三角形的特殊性质：正三角形的角平分线、中线、高完全重合，且内切圆圆心（内心）、外接圆圆心（外心）、重心也重合在这条高上。我们可以通过两种思路解题：一是设正三角形边长为参数，分别计算出内切圆半径、外接圆半径、高的长度，再化简得到比值；二是利用重心分中线为2:1的性质直接推导比例。这里用设边长的方法更直观，适合所有同学掌握。
【解析】
设正三角形的边长为$a$：
1. 求正三角形的高$h$：正三角形的高将其分为两个全等的直角三角形，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
2. 求外接圆半径$R$：外接圆半径是外心到顶点的距离，结合重心分高的比为$2:1$（顶点到重心:重心到边$=2:1$），可得：
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
3. 求内切圆半径$r$：内切圆半径是内心到边的距离，即重心到边的距离，可得：
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
4. 化简三者的比：
$r:R:h=\frac{\sqrt{3}}{6}a:\frac{\sqrt{3}}{3}a:\frac{\sqrt{3}}{2}a$，各项同时消去公共项$\frac{\sqrt{3}a}{6}$，得到比值为$1:2:3$。
【答案】
$1:2:3$
【知识点】
正三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；比例化简
【点评】
本题是正多边形与圆板块的基础常考题，核心考查正三角形“多心重合”的特殊性质，既可以通过设参数计算线段长度求解，也可以利用重心的性质快速推导，熟练掌握正三角形的相关特性能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先回忆正三角形的特殊性质：正三角形的角平分线、中线、高完全重合，且内切圆圆心（内心）、外接圆圆心（外心）、重心也重合在这条高上。我们可以通过两种思路解题：一是设正三角形边长为参数，分别计算出内切圆半径、外接圆半径、高的长度，再化简得到比值；二是利用重心分中线为2:1的性质直接推导比例。这里用设边长的方法更直观，适合所有同学掌握。
【解析】
设正三角形的边长为$a$：
1. 求正三角形的高$h$：正三角形的高将其分为两个全等的直角三角形，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
2. 求外接圆半径$R$：外接圆半径是外心到顶点的距离，结合重心分高的比为$2:1$（顶点到重心:重心到边$=2:1$），可得：
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
3. 求内切圆半径$r$：内切圆半径是内心到边的距离，即重心到边的距离，可得：
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
4. 化简三者的比：
$r:R:h=\frac{\sqrt{3}}{6}a:\frac{\sqrt{3}}{3}a:\frac{\sqrt{3}}{2}a$，各项同时消去公共项$\frac{\sqrt{3}a}{6}$，得到比值为$1:2:3$。
【答案】
$1:2:3$
【知识点】
正三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；比例化简
【点评】
本题是正多边形与圆板块的基础常考题，核心考查正三角形“多心重合”的特殊性质，既可以通过设参数计算线段长度求解，也可以利用重心的性质快速推导，熟练掌握正三角形的相关特性能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 在半径为$R$的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为
$\sqrt{2}:1$
.答案
4. $\sqrt{2}:1$ 提示:内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$,内接正六边形的边长为 $R$,其比为$\sqrt{2}:1$.
解析
【分析】
要计算圆内接正方形与内接正六边形的边长之比，需先分别求出两者的边长和圆半径R的关系：①先根据正多边形的中心角公式“中心角=360°÷边数”算出两种正多边形的中心角；②再结合中心角的特点，利用特殊三角形（等腰直角三角形、等边三角形）的性质，分别用R表示出两种正多边形的边长，最后作比化简即可。
【解析】
设圆的半径为R：
1. 求圆内接正方形的边长：
圆内接正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，正方形的相邻两个顶点与圆心连接后，得到两条长度为R的半径，夹角为90°，构成等腰直角三角形。
由勾股定理可得，正方形的边长$a_4=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
2. 求圆内接正六边形的边长：
圆内接正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的相邻两个顶点与圆心连接后，得到两条长度为R的半径，夹角为60°，构成等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
因此正六边形的边长$a_6=R$。
3. 计算边长之比：
$a_4:a_6=\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
【答案】
$\sqrt{2}:1$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，核心是掌握圆内接正多边形的边长和圆半径的关联，通过中心角判断三角形类型，结合特殊三角形的性质求解边长，计算难度低，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要计算圆内接正方形与内接正六边形的边长之比，需先分别求出两者的边长和圆半径R的关系：①先根据正多边形的中心角公式“中心角=360°÷边数”算出两种正多边形的中心角；②再结合中心角的特点，利用特殊三角形（等腰直角三角形、等边三角形）的性质，分别用R表示出两种正多边形的边长，最后作比化简即可。
【解析】
设圆的半径为R：
1. 求圆内接正方形的边长：
圆内接正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，正方形的相邻两个顶点与圆心连接后，得到两条长度为R的半径，夹角为90°，构成等腰直角三角形。
由勾股定理可得，正方形的边长$a_4=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
2. 求圆内接正六边形的边长：
圆内接正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的相邻两个顶点与圆心连接后，得到两条长度为R的半径，夹角为60°，构成等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
因此正六边形的边长$a_6=R$。
3. 计算边长之比：
$a_4:a_6=\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
【答案】
$\sqrt{2}:1$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，核心是掌握圆内接正多边形的边长和圆半径的关联，通过中心角判断三角形类型，结合特殊三角形的性质求解边长，计算难度低，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 正三角形与它的内切圆及外接圆三者面积之比为
$3\sqrt{3}:π:4π$
.(结果保留π)答案
5. $3\sqrt{3}:π:4π$ 提示:设正三角形的边长为 $a$,则内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,外接圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,其面积分别为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$,$\frac{1}{12}π a^2$和$\frac{1}{3}π a^2$,三者之比为 $3\sqrt{3}:π:4π$.
解析
【分析】
要求正三角形、它的内切圆、外接圆的面积比，我们可以先设正三角形的边长为参数$a$，分别表示出三者的面积后再化简比值。首先回忆正三角形的性质：正三角形三心（内心、外心、重心）合一，内切圆半径是高的$\frac{1}{3}$，外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$，先求出正三角形的高，再分别计算三个图形的面积，最后消去公共参数化简比即可。
【解析】
设正三角形的边长为$a$：
1. 计算正三角形的面积：
由勾股定理可得正三角形的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则正三角形面积$S_正=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 计算外接圆的面积：
正三角形外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
则外接圆面积$S_外=π R^2=π×(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2=\frac{1}{3}π a^2$。
3. 计算内切圆的面积：
正三角形内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
则内切圆面积$S_内=π r^2=π×(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^2=\frac{1}{12}π a^2$。
4. 求三者面积比：
$S_正:S_内:S_外=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2:\frac{1}{12}π a^2:\frac{1}{3}π a^2$，
各项同时乘以$\frac{12}{a^2}$消去分母和公共参数$a^2$，得：
$S_正:S_内:S_外=3\sqrt{3}:π:4π$。
【答案】
$3\sqrt{3}:π:4π$
【知识点】
正多边形与圆，面积计算，比例化简
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础计算题，解题核心是利用正三角形三心合一的性质，快速得到内切圆、外接圆半径与边长的关系，通过设参数的方法表示面积后化简比，熟记特殊正多边形的内切、外接圆半径和边长的数量关系可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求正三角形、它的内切圆、外接圆的面积比，我们可以先设正三角形的边长为参数$a$，分别表示出三者的面积后再化简比值。首先回忆正三角形的性质：正三角形三心（内心、外心、重心）合一，内切圆半径是高的$\frac{1}{3}$，外接圆半径是高的$\frac{2}{3}$，先求出正三角形的高，再分别计算三个图形的面积，最后消去公共参数化简比即可。
【解析】
设正三角形的边长为$a$：
1. 计算正三角形的面积：
由勾股定理可得正三角形的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则正三角形面积$S_正=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 计算外接圆的面积：
正三角形外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
则外接圆面积$S_外=π R^2=π×(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2=\frac{1}{3}π a^2$。
3. 计算内切圆的面积：
正三角形内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
则内切圆面积$S_内=π r^2=π×(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^2=\frac{1}{12}π a^2$。
4. 求三者面积比：
$S_正:S_内:S_外=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2:\frac{1}{12}π a^2:\frac{1}{3}π a^2$，
各项同时乘以$\frac{12}{a^2}$消去分母和公共参数$a^2$，得：
$S_正:S_内:S_外=3\sqrt{3}:π:4π$。
【答案】
$3\sqrt{3}:π:4π$
【知识点】
正多边形与圆，面积计算，比例化简
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础计算题，解题核心是利用正三角形三心合一的性质，快速得到内切圆、外接圆半径与边长的关系，通过设参数的方法表示面积后化简比，熟记特殊正多边形的内切、外接圆半径和边长的数量关系可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 正三角形的外接圆半径为 4，以正三角形的一边为边作正方形，此正方形的外接圆半径长为
$2\sqrt{6}$
。答案
6. $2\sqrt{6}$ 提示:求得正三角形的边长即所作正方形的边长为 $4\sqrt{3}$,从而外接圆的半径长为 $2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步，先根据正三角形的外接圆半径求出正三角形的边长，正多边形的边长可通过外接圆半径、中心角结合垂径定理或三角函数计算，正三角形的中心角为120°，构造直角三角形即可求出边长；第二步，所求正三角形的边长就是新作正方形的边长，正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理求出正方形对角线后除以2，即可得到正方形的外接圆半径。
【解析】
1. 求正三角形的边长：
已知正三角形的外接圆半径$ R=4 $，正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $。
过外接圆圆心作正三角形一边的垂线，结合垂径定理可得直角三角形中，中心角的一半为$ 60° $，则正三角形的边长为：
$ a = 2× R× \sin60° = 2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} $。
2. 求正方形的外接圆半径：
由题意可知正方形的边长等于正三角形的边长，即正方形边长为$ 4\sqrt{3} $。
正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为：
$ l = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{48+48}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} $。
因此正方形的外接圆半径为$ \frac{l}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} $。
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
正多边形与圆的计算、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的综合基础题，需要先后结合正三角形、正方形两种常见正多边形的外接圆性质进行边长和半径的转化，解题关键是明确不同正多边形的边长与外接圆半径的对应关系，避免混淆内切圆和外接圆的相关性质。
【难度系数】
0.6
解题时可分两步推导：第一步，先根据正三角形的外接圆半径求出正三角形的边长，正多边形的边长可通过外接圆半径、中心角结合垂径定理或三角函数计算，正三角形的中心角为120°，构造直角三角形即可求出边长；第二步，所求正三角形的边长就是新作正方形的边长，正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理求出正方形对角线后除以2，即可得到正方形的外接圆半径。
【解析】
1. 求正三角形的边长：
已知正三角形的外接圆半径$ R=4 $，正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $。
过外接圆圆心作正三角形一边的垂线，结合垂径定理可得直角三角形中，中心角的一半为$ 60° $，则正三角形的边长为：
$ a = 2× R× \sin60° = 2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} $。
2. 求正方形的外接圆半径：
由题意可知正方形的边长等于正三角形的边长，即正方形边长为$ 4\sqrt{3} $。
正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为：
$ l = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{48+48}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} $。
因此正方形的外接圆半径为$ \frac{l}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} $。
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
正多边形与圆的计算、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的综合基础题，需要先后结合正三角形、正方形两种常见正多边形的外接圆性质进行边长和半径的转化，解题关键是明确不同正多边形的边长与外接圆半径的对应关系，避免混淆内切圆和外接圆的相关性质。
【难度系数】
0.6
7. 正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为
$(\frac{1}{2}π-1)r^2$
.(结果保留π)答案
7. $(\frac{1}{2}π-1)r^2$ 提示:由已知得正方形的边长为 $2r$,从而正方形的外接圆半径为$\sqrt{2}r$,所求弓形的面积为$(\frac{1}{2}π-1)r^2$.
解析
【分析】
要计算弓形的面积，需先理清各图形参数的关系：①正方形内切圆的半径等于正方形边长的一半，可据此求出正方形边长；②正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长，结合勾股定理可求出外接圆半径；③正方形将外接圆平均分成4个相同的弓形，每个弓形对应圆心角为90°的扇形，单个弓形的面积等于对应扇形的面积减去四分之一正方形的面积，代入参数计算即可。
【解析】
步骤1：求正方形的边长
∵正方形的内切圆半径为r，内切圆直径与正方形边长相等
∴正方形边长$a=2r$
步骤2：求正方形外接圆的半径
根据勾股定理，正方形的对角线长为：$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r$
∵正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长
∴外接圆半径$R=\frac{2\sqrt{2}r}{2}=\sqrt{2}r$
步骤3：计算单个弓形的面积
弓形面积=对应扇形面积 - 扇形内的三角形面积（即$\frac{1}{4}$正方形面积）
①扇形面积：$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}×π R^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2}r)^2=\frac{1}{2}π r^2$
②$\frac{1}{4}$正方形面积：$S_{三角形}=\frac{1}{4}× a^2=\frac{1}{4}×(2r)^2=r^2$
③弓形面积：$S_{弓形}=S_{扇形}-S_{三角形}=\frac{1}{2}π r^2 - r^2=(\frac{1}{2}π -1)r^2$
【答案】
$(\frac{1}{2}π-1)r^2$
【知识点】
正多边形与圆；扇形面积计算；弓形面积计算
【点评】
本题考查正方形与内外接圆的性质、弓形面积的计算方法，解题核心是准确推导内切圆半径、正方形边长、外接圆半径三者的数量关系，再代入对应面积公式求解，是正多边形与圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算弓形的面积，需先理清各图形参数的关系：①正方形内切圆的半径等于正方形边长的一半，可据此求出正方形边长；②正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长，结合勾股定理可求出外接圆半径；③正方形将外接圆平均分成4个相同的弓形，每个弓形对应圆心角为90°的扇形，单个弓形的面积等于对应扇形的面积减去四分之一正方形的面积，代入参数计算即可。
【解析】
步骤1：求正方形的边长
∵正方形的内切圆半径为r，内切圆直径与正方形边长相等
∴正方形边长$a=2r$
步骤2：求正方形外接圆的半径
根据勾股定理，正方形的对角线长为：$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r$
∵正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长
∴外接圆半径$R=\frac{2\sqrt{2}r}{2}=\sqrt{2}r$
步骤3：计算单个弓形的面积
弓形面积=对应扇形面积 - 扇形内的三角形面积（即$\frac{1}{4}$正方形面积）
①扇形面积：$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}×π R^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2}r)^2=\frac{1}{2}π r^2$
②$\frac{1}{4}$正方形面积：$S_{三角形}=\frac{1}{4}× a^2=\frac{1}{4}×(2r)^2=r^2$
③弓形面积：$S_{弓形}=S_{扇形}-S_{三角形}=\frac{1}{2}π r^2 - r^2=(\frac{1}{2}π -1)r^2$
【答案】
$(\frac{1}{2}π-1)r^2$
【知识点】
正多边形与圆；扇形面积计算；弓形面积计算
【点评】
本题考查正方形与内外接圆的性质、弓形面积的计算方法，解题核心是准确推导内切圆半径、正方形边长、外接圆半径三者的数量关系，再代入对应面积公式求解，是正多边形与圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如果正三角形的边长为$a$，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的
$2$
倍。答案
8. $2$ 提示:边长为 $a$ 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,其周长分别为$\frac{2\sqrt{3}}{3}π a$和$\frac{\sqrt{3}}{3}π a$,故它的外接圆周长是内切圆周长的 2 倍.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确圆的周长公式为$C=2π r$，因此两个圆的周长比等于它们的半径比，所以只需要求出正三角形外接圆半径和内切圆半径的比值即可。正三角形的外心、内心、重心、垂心重合，外接圆半径是重心到顶点的距离，内切圆半径是重心到边的距离，根据重心分高线为2:1的性质，就能快速得到两个半径的比值，进而求出周长的倍数关系。
【解析】
步骤1：计算边长为$a$的正三角形的高
根据勾股定理，正三角形的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
步骤2：求外接圆半径$R$和内切圆半径$r$
正三角形的外心与内心重合于重心，重心分高线的比为2:1，因此：
外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
步骤3：计算两个圆的周长并求倍数
外接圆周长$C_外=2π R=2π×\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2\sqrt{3}}{3}π a$
内切圆周长$C_内=2π r=2π×\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{3}π a$
倍数为$\frac{C_外}{C_内}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}π a}{\frac{\sqrt{3}}{3}π a}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
正多边形与圆；圆的周长计算；正三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题时可以利用“圆的周长比等于半径比”简化计算，不需要分别算出周长再作比，熟记正三角形各特殊点重合的性质以及重心的分线段比例能快速得出结果。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先明确圆的周长公式为$C=2π r$，因此两个圆的周长比等于它们的半径比，所以只需要求出正三角形外接圆半径和内切圆半径的比值即可。正三角形的外心、内心、重心、垂心重合，外接圆半径是重心到顶点的距离，内切圆半径是重心到边的距离，根据重心分高线为2:1的性质，就能快速得到两个半径的比值，进而求出周长的倍数关系。
【解析】
步骤1：计算边长为$a$的正三角形的高
根据勾股定理，正三角形的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
步骤2：求外接圆半径$R$和内切圆半径$r$
正三角形的外心与内心重合于重心，重心分高线的比为2:1，因此：
外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
步骤3：计算两个圆的周长并求倍数
外接圆周长$C_外=2π R=2π×\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{2\sqrt{3}}{3}π a$
内切圆周长$C_内=2π r=2π×\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{3}π a$
倍数为$\frac{C_外}{C_内}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}π a}{\frac{\sqrt{3}}{3}π a}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
正多边形与圆；圆的周长计算；正三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题时可以利用“圆的周长比等于半径比”简化计算，不需要分别算出周长再作比，熟记正三角形各特殊点重合的性质以及重心的分线段比例能快速得出结果。
【难度系数】
0.75
1. 如图，已知在正六边形ABCDEF中，$AC=2\sqrt{3}$，则它的边长是
$2$
。答案
1. $2$
解析
【分析】
解题首先利用正六边形的性质得到各边相等、各内角为120°，由此可知△ABC是顶角为120°的等腰三角形。已知AC的长度，我们可以通过作等腰三角形底边上的高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一求出直角边的长度，再结合30°角的三角函数值即可求出正六边形的边长。
【解析】
∵ 多边形ABCDEF是正六边形
∴ 内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角$∠ B=\frac{720°}{6}=120°$，且$AB=BC$
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-120°}{2}=30°$
过点B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一的性质：
$AG=GC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
在$Rt△ ABG$中，$\cos∠ BAC=\frac{AG}{AB}$
将$∠ BAC=30°$，$AG=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$
解得$AB=2$，即正六边形的边长为2。
【答案】
$2$
【知识点】
正六边形的性质；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握正六边形的内角特点及等腰三角形的性质，通过构造直角三角形将已知边长和待求边长放到同一个直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解即可。
【难度系数】
0.7
解题首先利用正六边形的性质得到各边相等、各内角为120°，由此可知△ABC是顶角为120°的等腰三角形。已知AC的长度，我们可以通过作等腰三角形底边上的高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一求出直角边的长度，再结合30°角的三角函数值即可求出正六边形的边长。
【解析】
∵ 多边形ABCDEF是正六边形
∴ 内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角$∠ B=\frac{720°}{6}=120°$，且$AB=BC$
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-120°}{2}=30°$
过点B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一的性质：
$AG=GC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
在$Rt△ ABG$中，$\cos∠ BAC=\frac{AG}{AB}$
将$∠ BAC=30°$，$AG=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}$
解得$AB=2$，即正六边形的边长为2。
【答案】
$2$
【知识点】
正六边形的性质；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握正六边形的内角特点及等腰三角形的性质，通过构造直角三角形将已知边长和待求边长放到同一个直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解即可。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知正方形ABCD内接于$\odot O$，点E在$\overset{\frown}{AD}$上，则$∠ BEC=$
$45°$
。答案
2. $45°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，结合已知条件“正方形ABCD内接于⊙O”，正方形属于正四边形，圆内接正多边形的各边所对的弧相等，因此四条边对应的弧将360°的圆周四等分，可先求出弧BC的度数；第二步，观察∠BEC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，代入弧BC的度数即可求出∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵正方形ABCD是⊙O的内接正四边形，
∴正方形的四条边所对的弧相等，
∴弧BC的度数为：$\frac{360°}{4}=90°$，
又
∵∠BEC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ BEC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质，正方形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查圆内接正多边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是明确正方形各边所对的弧的度数，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，结合已知条件“正方形ABCD内接于⊙O”，正方形属于正四边形，圆内接正多边形的各边所对的弧相等，因此四条边对应的弧将360°的圆周四等分，可先求出弧BC的度数；第二步，观察∠BEC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，代入弧BC的度数即可求出∠BEC的大小。
【解析】
解：
∵正方形ABCD是⊙O的内接正四边形，
∴正方形的四条边所对的弧相等，
∴弧BC的度数为：$\frac{360°}{4}=90°$，
又
∵∠BEC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ BEC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质，正方形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查圆内接正多边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是明确正方形各边所对的弧的度数，熟练掌握圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形$ABCD$,若$BD=10$,$DF=4$,则菱形$ABCD$的边长为 （
A.$4\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$6$
D.$9$
D
）A.$4\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$6$
D.$9$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形对角线长度和DF长度入手：首先利用菱形对角线互相平分的性质求出OD的长度，结合DF的长度算出圆的半径；再观察图形可得圆半径、OD与矩形边长的一半构成直角三角形，菱形边长也和OD、矩形边长的一半构成直角三角形，通过等量代换即可求出菱形的边长。
【解析】
设D点上方圆内接矩形的顶点为G，连接OG。
1. 由菱形性质求OD：
∵四边形ABCD是菱形，BD=10，菱形对角线互相垂直平分，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$，且$AC⊥ BD$。
2. 计算圆的半径：
∵OF、OG都是圆的半径，DF=4，
∴$OG=OF=OD+DF=5+4=9$。
3. 利用勾股定理求菱形边长：
∵G是圆内接矩形的顶点，
∴△OGD是直角三角形，由勾股定理得：
$OD^2 + DG^2 = OG^2 = 9^2=81$。
∵A是矩形上边的中点，
∴$AO=DG$。
在Rt△AOD中，菱形ABCD的边长为：
$AD=\sqrt{AO^2 + OD^2}=\sqrt{DG^2 + OD^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】D
【知识点】菱形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题是几何综合题，将菱形、圆、矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是找到两个直角三角形的边的等量关系，通过整体代换避免多余计算，能够有效提升学生的几何图形分析能力。
【难度系数】0.6
解题时先从已知的菱形对角线长度和DF长度入手：首先利用菱形对角线互相平分的性质求出OD的长度，结合DF的长度算出圆的半径；再观察图形可得圆半径、OD与矩形边长的一半构成直角三角形，菱形边长也和OD、矩形边长的一半构成直角三角形，通过等量代换即可求出菱形的边长。
【解析】
设D点上方圆内接矩形的顶点为G，连接OG。
1. 由菱形性质求OD：
∵四边形ABCD是菱形，BD=10，菱形对角线互相垂直平分，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$，且$AC⊥ BD$。
2. 计算圆的半径：
∵OF、OG都是圆的半径，DF=4，
∴$OG=OF=OD+DF=5+4=9$。
3. 利用勾股定理求菱形边长：
∵G是圆内接矩形的顶点，
∴△OGD是直角三角形，由勾股定理得：
$OD^2 + DG^2 = OG^2 = 9^2=81$。
∵A是矩形上边的中点，
∴$AO=DG$。
在Rt△AOD中，菱形ABCD的边长为：
$AD=\sqrt{AO^2 + OD^2}=\sqrt{DG^2 + OD^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】D
【知识点】菱形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题是几何综合题，将菱形、圆、矩形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是找到两个直角三角形的边的等量关系，通过整体代换避免多余计算，能够有效提升学生的几何图形分析能力。
【难度系数】0.6
4. 如图,在正六边形ABCDEF中,若阴影部分的面积是$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$,则此正六边形的边长是（
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
B
）A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
4. B
解析
【分析】
首先回忆正六边形的基本性质：正六边形各边长相等，每个内角均为120°，边长为$a$的正六边形面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。观察图形可知，空白部分是3个全等的、顶角为120°的等腰三角形，我们可以通过作高用勾股定理求出单个空白三角形的面积，再用正六边形总面积减去3个空白三角形的面积，得到阴影部分的面积表达式，结合已知阴影面积列方程，即可求出正六边形的边长。
【解析】
设正六边形的边长为$a\ \mathrm{cm}$。
1. 计算正六边形的总面积：
边长为$a$的正六边形面积为$S_{\mathrm{总}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算单个空白三角形的面积：
以$△ ABC$为例，$AB=BC=a$，$∠ ABC=120°$，过$B$作$BH⊥ AC$于$H$。
由等腰三角形三线合一得$∠ ABH=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，$∠ BAH=30°$，
因此$BH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
则$AC=2AH=\sqrt{3}a$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BH=\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 列方程求解边长：
3个空白三角形总面积$S_{\mathrm{空}}=3×\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{总}}-S_{\mathrm{空}}$，代入已知$S_{\mathrm{阴}}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2-\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=12\sqrt{3}$
化简得$\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=12\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{3a^2}{4}=12$，解得$a^2=16$，
因为$a＞0$，所以$a=4$，即正六边形边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合正六边形的性质考查面积计算，解题的关键是明确阴影部分面积与正六边形总面积、空白三角形面积的关系，掌握正六边形的面积公式和等腰三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
首先回忆正六边形的基本性质：正六边形各边长相等，每个内角均为120°，边长为$a$的正六边形面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。观察图形可知，空白部分是3个全等的、顶角为120°的等腰三角形，我们可以通过作高用勾股定理求出单个空白三角形的面积，再用正六边形总面积减去3个空白三角形的面积，得到阴影部分的面积表达式，结合已知阴影面积列方程，即可求出正六边形的边长。
【解析】
设正六边形的边长为$a\ \mathrm{cm}$。
1. 计算正六边形的总面积：
边长为$a$的正六边形面积为$S_{\mathrm{总}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算单个空白三角形的面积：
以$△ ABC$为例，$AB=BC=a$，$∠ ABC=120°$，过$B$作$BH⊥ AC$于$H$。
由等腰三角形三线合一得$∠ ABH=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，$∠ BAH=30°$，
因此$BH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
则$AC=2AH=\sqrt{3}a$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BH=\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 列方程求解边长：
3个空白三角形总面积$S_{\mathrm{空}}=3×\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{总}}-S_{\mathrm{空}}$，代入已知$S_{\mathrm{阴}}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2-\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=12\sqrt{3}$
化简得$\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}=12\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{3a^2}{4}=12$，解得$a^2=16$，
因为$a＞0$，所以$a=4$，即正六边形边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，三角形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合正六边形的性质考查面积计算，解题的关键是明确阴影部分面积与正六边形总面积、空白三角形面积的关系，掌握正六边形的面积公式和等腰三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
