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2. 先化简,再求值:
(1) $(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)$, 其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = -1$;
(2) $[(xy + 2)(xy - 2) - 2(x^2y^2 - 2)] ÷ xy$, 其中 $x = 10$, $y = -\frac{1}{2}$.
(1) $(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)$, 其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = -1$;
(2) $[(xy + 2)(xy - 2) - 2(x^2y^2 - 2)] ÷ xy$, 其中 $x = 10$, $y = -\frac{1}{2}$.
答案
解：
(1)
原式 = $a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
原式 $= -2 × \frac{1}{2} × (-1) = 1$
(2)
原式 $= [x^2y^2 - 4 - 2x^2y^2 + 4] ÷ xy$
$= (-x^2y^2) ÷ xy$
$= -xy$
当$x = 10$，$y = -\frac{1}{2}$时，
原式 $= -10 × (-\frac{1}{2}) = 5$
(1)
原式 = $a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
原式 $= -2 × \frac{1}{2} × (-1) = 1$
(2)
原式 $= [x^2y^2 - 4 - 2x^2y^2 + 4] ÷ xy$
$= (-x^2y^2) ÷ xy$
$= -xy$
当$x = 10$，$y = -\frac{1}{2}$时，
原式 $= -10 × (-\frac{1}{2}) = 5$
解析
【分析】
这两道题均为整式化简求值题，解题遵循“先化简、再代值计算”的原则，避免直接代入数值导致运算繁琐出错。第(1)题先分别计算多项式除以单项式、用平方差公式计算整式乘法，再去括号合并同类项得到最简式，最后代入数值计算；第(2)题先用平方差公式计算小括号内的乘法，再去括号合并同类项，之后计算单项式除法得到最简式，最后代入数值计算。
【解析】
(1)
原式 = $a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
原式 $= -2 × \frac{1}{2} × (-1) = 1$
(2)
原式 $= [x^2y^2 - 4 - 2x^2y^2 + 4] ÷ xy$
$= (-x^2y^2) ÷ xy$
$= -xy$
当$x = 10$，$y = -\frac{1}{2}$时，
原式 $= -10 × (-\frac{1}{2}) = 5$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
多项式除以单项式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是熟练掌握整式乘除运算法则和乘法公式，先化简后代入求值的思路能有效降低计算复杂度，减少运算错误，是整式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
这两道题均为整式化简求值题，解题遵循“先化简、再代值计算”的原则，避免直接代入数值导致运算繁琐出错。第(1)题先分别计算多项式除以单项式、用平方差公式计算整式乘法，再去括号合并同类项得到最简式，最后代入数值计算；第(2)题先用平方差公式计算小括号内的乘法，再去括号合并同类项，之后计算单项式除法得到最简式，最后代入数值计算。
【解析】
(1)
原式 = $a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
原式 $= -2 × \frac{1}{2} × (-1) = 1$
(2)
原式 $= [x^2y^2 - 4 - 2x^2y^2 + 4] ÷ xy$
$= (-x^2y^2) ÷ xy$
$= -xy$
当$x = 10$，$y = -\frac{1}{2}$时，
原式 $= -10 × (-\frac{1}{2}) = 5$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
多项式除以单项式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是熟练掌握整式乘除运算法则和乘法公式，先化简后代入求值的思路能有效降低计算复杂度，减少运算错误，是整式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
3*. 小明在计算一个多项式除以单项式$-\frac{1}{3}x$时，不小心算成乘$-\frac{1}{3}x$，得到的结果为$6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y$，你能帮他求出正确的结果吗？
答案
解：
先求出原多项式：
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
再计算正确结果：
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
答：正确的结果是$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$。
先求出原多项式：
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
再计算正确结果：
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
答：正确的结果是$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$。
解析
【分析】
本题属于错中求解类整式运算题，解题思路分为两步：第一步逆推原多项式，小明误把除法算成乘法，即原多项式乘$-\frac{1}{3}x$得到错误结果，因此原多项式等于错误结果除以$-\frac{1}{3}x$，运用多项式除以单项式法则即可求出；第二步用求出的原多项式除以$-\frac{1}{3}x$，再次运用多项式除以单项式法则计算，就能得到正确结果，计算时需注意符号和同底数幂的运算规则。
【解析】
第一步：求原多项式
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
根据多项式除以单项式法则，将多项式每一项分别除以单项式，再把商相加：
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
计算每一项的商：
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
第二步：计算正确结果
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
同理按多项式除以单项式法则计算：
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
【答案】
$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；乘除互逆运算
【点评】
本题是整式运算的典型错中求解题型，既考查了逆运算的逻辑思维，又考查了整式除法的计算能力，解题时需重点关注运算符号和同底数幂的指数变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.6
本题属于错中求解类整式运算题，解题思路分为两步：第一步逆推原多项式，小明误把除法算成乘法，即原多项式乘$-\frac{1}{3}x$得到错误结果，因此原多项式等于错误结果除以$-\frac{1}{3}x$，运用多项式除以单项式法则即可求出；第二步用求出的原多项式除以$-\frac{1}{3}x$，再次运用多项式除以单项式法则计算，就能得到正确结果，计算时需注意符号和同底数幂的运算规则。
【解析】
第一步：求原多项式
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
根据多项式除以单项式法则，将多项式每一项分别除以单项式，再把商相加：
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
计算每一项的商：
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
第二步：计算正确结果
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
同理按多项式除以单项式法则计算：
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
【答案】
$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；乘除互逆运算
【点评】
本题是整式运算的典型错中求解题型，既考查了逆运算的逻辑思维，又考查了整式除法的计算能力，解题时需重点关注运算符号和同底数幂的指数变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.6
