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1. 下列说法正确的是()
A.已知$a,b,c$是三角形的三边长，则$a^2 + b^2 = c^2$
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则$a^2 + b^2 = c^2$
D.在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则$a^2 + b^2 = c^2$
A.已知$a,b,c$是三角形的三边长，则$a^2 + b^2 = c^2$
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则$a^2 + b^2 = c^2$
D.在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则$a^2 + b^2 = c^2$
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是准确掌握勾股定理的内容及适用条件：勾股定理仅适用于直角三角形，且公式中是两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为直角所对的边。解题时需逐个核对选项是否满足勾股定理的前提，以及边与角的对应关系是否正确。
【解析】
结合勾股定理逐一分析选项：
1. 分析A选项：勾股定理仅适用于直角三角形，该选项未说明三角形是直角三角形，直接给出三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，不符合要求，A错误。
2. 分析B选项：直角三角形中，是两条直角边的平方和等于斜边的平方，该选项未明确第三边是否为斜边，表述不严谨，B错误。
3. 分析C选项：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$c$是直角$∠ C$对的斜边，$a、b$为两条直角边，符合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，C正确。
4. 分析D选项：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，则$b$是斜边，正确的表达式应为$a^2 + c^2 = b^2$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对勾股定理适用前提和边、角对应关系的理解，做题时要注意先确认直角的位置，明确斜边，避免因混淆斜边位置或忽略适用前提失分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是准确掌握勾股定理的内容及适用条件：勾股定理仅适用于直角三角形，且公式中是两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边为直角所对的边。解题时需逐个核对选项是否满足勾股定理的前提，以及边与角的对应关系是否正确。
【解析】
结合勾股定理逐一分析选项：
1. 分析A选项：勾股定理仅适用于直角三角形，该选项未说明三角形是直角三角形，直接给出三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，不符合要求，A错误。
2. 分析B选项：直角三角形中，是两条直角边的平方和等于斜边的平方，该选项未明确第三边是否为斜边，表述不严谨，B错误。
3. 分析C选项：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$c$是直角$∠ C$对的斜边，$a、b$为两条直角边，符合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，C正确。
4. 分析D选项：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，则$b$是斜边，正确的表达式应为$a^2 + c^2 = b^2$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对勾股定理适用前提和边、角对应关系的理解，做题时要注意先确认直角的位置，明确斜边，避免因混淆斜边位置或忽略适用前提失分。
【难度系数】
0.8
2. 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是()
A.7
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}$或5
A.7
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}$或5
答案
D
解析
【分析】
这道题考查勾股定理的应用，解题的核心是注意题目未明确说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。首先回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，接下来分两类计算：第一类是4为斜边、3为直角边，求另一条直角边；第二类是3和4均为直角边，求斜边，分别计算即可得到第三边的所有可能值。
【解析】
需分两种情况计算第三边长：
① 当长为4的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
$\mathrm{第三边长}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
② 当长为3和4的边都是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
$\mathrm{第三边长}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
综上，第三边长为$\sqrt{7}$或5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的易错题，不少同学会默认3和4都是直角边，直接算出5后漏解，做题时若题干没有明确直角边、斜边的对应关系，一定要记得分类讨论。
【难度系数】
0.7
这道题考查勾股定理的应用，解题的核心是注意题目未明确说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。首先回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，接下来分两类计算：第一类是4为斜边、3为直角边，求另一条直角边；第二类是3和4均为直角边，求斜边，分别计算即可得到第三边的所有可能值。
【解析】
需分两种情况计算第三边长：
① 当长为4的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
$\mathrm{第三边长}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
② 当长为3和4的边都是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
$\mathrm{第三边长}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
综上，第三边长为$\sqrt{7}$或5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的易错题，不少同学会默认3和4都是直角边，直接算出5后漏解，做题时若题干没有明确直角边、斜边的对应关系，一定要记得分类讨论。
【难度系数】
0.7
3. 如图1，在由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在小正方形的顶点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为()
A.2
B.3
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{18}{5}$
A.2
B.3
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{18}{5}$
答案
C
解析
【分析】
要求AC边上的高BD的长度，可采用等面积法求解：首先通过网格求出△ABC的面积，再利用勾股定理算出AC的长度，最后根据三角形面积公式，建立关于BD的等式，即可求出BD的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：观察网格可知，BC的长度为4，BC边上的高为4，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
2. 用勾股定理求AC的长度：点A到点C的横向距离为3，纵向距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
3. 因为BD⊥AC，BD是AC边上的高，所以三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，将已知数值代入得：
$8=\frac{1}{2} × 5 × BD$，
解得$BD=\frac{16}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是灵活运用等面积法，将未知高和已知的三角形面积、边长联系起来，计算过程中需要准确读取网格中的线段长度信息。
【难度系数】
0.7
要求AC边上的高BD的长度，可采用等面积法求解：首先通过网格求出△ABC的面积，再利用勾股定理算出AC的长度，最后根据三角形面积公式，建立关于BD的等式，即可求出BD的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：观察网格可知，BC的长度为4，BC边上的高为4，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
2. 用勾股定理求AC的长度：点A到点C的横向距离为3，纵向距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
3. 因为BD⊥AC，BD是AC边上的高，所以三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，将已知数值代入得：
$8=\frac{1}{2} × 5 × BD$，
解得$BD=\frac{16}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是灵活运用等面积法，将未知高和已知的三角形面积、边长联系起来，计算过程中需要准确读取网格中的线段长度信息。
【难度系数】
0.7
4. 意大利著名画家达芬奇用图2、图3所示的方法证明了勾股定理，图3是将图2沿直线FD剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形AFEG，四边形CDBG与四边形A'E'B'C'均为正方形，若图2中空白部分面积为37，线段AB的长为7，则图3中两个直角三角形的面积和为()
A.6
B.12
C.15
D.25
A.6
B.12
C.15
D.25
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要抓住图形剪拼的核心性质：剪拼前后图形的总面积不变，因此图2和图3的空白部分面积相等，均为37。其次，已知AB是正方形A'E'B'C'的边长，可先求出这个正方形的面积。最后观察图3的面积关系，用正方形面积减去空白面积即可得到两个直角三角形的面积和。
【解析】
∵ 图3是将图2沿直线FD剪开后翻转得到的，
∴ 两图的空白部分面积相等，即图3的空白面积也为37。
由题意可知，AB是正方形A'E'B'C'的边长，AB=7，
∴ 正方形A'E'B'C'的面积 = $AB^2 = 7^2 = 49$。
观察图3可得：正方形A'E'B'C'的面积 = 图3空白面积 + 两个直角三角形的面积和，
∴ 两个直角三角形的面积和 = $49 - 37 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，图形剪拼等积性，正方形面积计算
【点评】
本题结合勾股定理的经典证明背景，考查了图形剪拼中的面积不变性，解题的关键是明确翻折前后空白面积不变，结合边长求出对应正方形的面积，再通过作差得到结果，较好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先要抓住图形剪拼的核心性质：剪拼前后图形的总面积不变，因此图2和图3的空白部分面积相等，均为37。其次，已知AB是正方形A'E'B'C'的边长，可先求出这个正方形的面积。最后观察图3的面积关系，用正方形面积减去空白面积即可得到两个直角三角形的面积和。
【解析】
∵ 图3是将图2沿直线FD剪开后翻转得到的，
∴ 两图的空白部分面积相等，即图3的空白面积也为37。
由题意可知，AB是正方形A'E'B'C'的边长，AB=7，
∴ 正方形A'E'B'C'的面积 = $AB^2 = 7^2 = 49$。
观察图3可得：正方形A'E'B'C'的面积 = 图3空白面积 + 两个直角三角形的面积和，
∴ 两个直角三角形的面积和 = $49 - 37 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，图形剪拼等积性，正方形面积计算
【点评】
本题结合勾股定理的经典证明背景，考查了图形剪拼中的面积不变性，解题的关键是明确翻折前后空白面积不变，结合边长求出对应正方形的面积，再通过作差得到结果，较好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边.
(1)若$a=5,b=12$,则$c=$;
(2)若$a=16,c=20$,则$b=$;
(3)若$a:b=3:4,c=40$,则$a=$.
1. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边.
(1)若$a=5,b=12$,则$c=$;
(2)若$a=16,c=20$,则$b=$;
(3)若$a:b=3:4,c=40$,则$a=$.
答案
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) $\boldsymbol{24}$。
解析
【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，已知△ABC中∠C为直角，故斜边为c，满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。解题思路如下：(1)已知两直角边a、b，直接代入公式计算斜边c；(2)已知直角边a和斜边c，将公式变形为$b^2 = c^2 - a^2$计算b；(3)已知a与b的比例关系和斜边c，先按比例设参数，再代入勾股定理列方程求解参数，最终得到a的值。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，c为斜边，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 当$a=5,b=12$时：
$c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
∵ 边长为正数，
∴ $c = \sqrt{169} = 13$
(2) 当$a=16,c=20$时：
$b^2 = c^2 - a^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
∵ 边长为正数，
∴ $b = \sqrt{144} = 12$
(3) 当$a:b=3:4,c=40$时：
设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），代入勾股定理得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 40^2$
$9k^2 + 16k^2 = 1600$
$25k^2 = 1600$
$k^2 = 64$，解得$k=8$（k为正数，舍去负根）
∴ $a = 3k = 3×8 = 24$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理变形应用；参数法解题
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题型，前两问侧重勾股定理的直接套用和变形使用，第三问结合比例关系考查设参求解的常用技巧，熟练掌握勾股定理公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查直角三角形勾股定理的应用，已知△ABC中∠C为直角，故斜边为c，满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。解题思路如下：(1)已知两直角边a、b，直接代入公式计算斜边c；(2)已知直角边a和斜边c，将公式变形为$b^2 = c^2 - a^2$计算b；(3)已知a与b的比例关系和斜边c，先按比例设参数，再代入勾股定理列方程求解参数，最终得到a的值。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，c为斜边，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 当$a=5,b=12$时：
$c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
∵ 边长为正数，
∴ $c = \sqrt{169} = 13$
(2) 当$a=16,c=20$时：
$b^2 = c^2 - a^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
∵ 边长为正数，
∴ $b = \sqrt{144} = 12$
(3) 当$a:b=3:4,c=40$时：
设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），代入勾股定理得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 40^2$
$9k^2 + 16k^2 = 1600$
$25k^2 = 1600$
$k^2 = 64$，解得$k=8$（k为正数，舍去负根）
∴ $a = 3k = 3×8 = 24$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理变形应用；参数法解题
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题型，前两问侧重勾股定理的直接套用和变形使用，第三问结合比例关系考查设参求解的常用技巧，熟练掌握勾股定理公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 如图4,某住宅小区有一块长方形草地,一些人为了避开拐角走“捷径”,在草地内踩出了一条“路”. 请算算他们仅仅少走了米路,却踩坏了草地.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先观察图形可知，走拐角的路线和抄的“捷径”刚好构成直角三角形：原来沿拐角走的路程是直角三角形两条直角边的长度和，“捷径”的长度是直角三角形的斜边长度。解题时第一步先根据图中标注的直角边长度，用勾股定理求出斜边的长度，第二步计算原路程和捷径路程的差值，即可得到少走的路程。
【解析】
解：由题图可知，拐角为直角，两条直角边的长度分别为3m、4m。
根据勾股定理，“捷径”（斜边）的长度为：
$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m}$
原来沿拐角走的总路程为：
$3+4=7\ \mathrm{m}$
因此少走的路程为：
$7-5=2\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，考查勾股定理的基础应用，解题难度较低，同时兼具教育意义，引导大家爱护公共绿化，不要为了抄近路破坏公共环境。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，走拐角的路线和抄的“捷径”刚好构成直角三角形：原来沿拐角走的路程是直角三角形两条直角边的长度和，“捷径”的长度是直角三角形的斜边长度。解题时第一步先根据图中标注的直角边长度，用勾股定理求出斜边的长度，第二步计算原路程和捷径路程的差值，即可得到少走的路程。
【解析】
解：由题图可知，拐角为直角，两条直角边的长度分别为3m、4m。
根据勾股定理，“捷径”（斜边）的长度为：
$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m}$
原来沿拐角走的总路程为：
$3+4=7\ \mathrm{m}$
因此少走的路程为：
$7-5=2\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，考查勾股定理的基础应用，解题难度较低，同时兼具教育意义，引导大家爱护公共绿化，不要为了抄近路破坏公共环境。
【难度系数】
0.8
3. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图5所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形的面积为5，$(m+n)^2=21$，则大正方形的面积为.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
首先明确赵爽弦图中的数量关系：小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于两条直角边的平方和，即$m^2+n^2$。接下来结合已知的$(m+n)^2=21$和小正方形面积为5，利用完全平方公式的变形即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意得，小正方形的边长为$m-n$，因此：
$(m-n)^2=5 \quad ①$
已知：
$(m+n)^2=21 \quad ②$
将①展开得：$m^2-2mn+n^2=5$
将②展开得：$m^2+2mn+n^2=21$
把两个展开后的式子相加，消去$2mn$项：
$(m^2-2mn+n^2)+(m^2+2mn+n^2)=5+21$
化简得：
$2(m^2+n^2)=26$
解得：
$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 勾股定理
3. 面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查了勾股定理和完全平方公式的综合应用，解题核心是找到各图形边长与直角三角形直角边的关系，灵活运用完全平方公式的变形消去中间项$mn$，是勾股定理相关的经典基础题型。
【难度系数】
0.7
首先明确赵爽弦图中的数量关系：小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于两条直角边的平方和，即$m^2+n^2$。接下来结合已知的$(m+n)^2=21$和小正方形面积为5，利用完全平方公式的变形即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意得，小正方形的边长为$m-n$，因此：
$(m-n)^2=5 \quad ①$
已知：
$(m+n)^2=21 \quad ②$
将①展开得：$m^2-2mn+n^2=5$
将②展开得：$m^2+2mn+n^2=21$
把两个展开后的式子相加，消去$2mn$项：
$(m^2-2mn+n^2)+(m^2+2mn+n^2)=5+21$
化简得：
$2(m^2+n^2)=26$
解得：
$m^2+n^2=13$
根据勾股定理，大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，即$m^2+n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 勾股定理
3. 面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查了勾股定理和完全平方公式的综合应用，解题核心是找到各图形边长与直角三角形直角边的关系，灵活运用完全平方公式的变形消去中间项$mn$，是勾股定理相关的经典基础题型。
【难度系数】
0.7
