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2. 如图1,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B. 则下列结论中不一 定 成立的是()
A.$PA=PB$
B.$OP$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
A.$PA=PB$
B.$OP$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质，再通过全等三角形判定证明△OPA和△OPB全等，推导各选项是否成立，最后判断垂直平分的结论是否必然成立。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接判断PA=PB；接着利用HL证明两个直角三角形全等，得到对应角、对应边相等，判断B、C选项；最后结合等腰三角形性质分析垂直平分线的关系，判断D选项是否一定成立。
【解析】
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：PA=PB，故A选项结论成立，不符合题意；
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
∴OP平分∠APB，故B、C选项结论成立，不符合题意；
由OA=OB，OP平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，但没有条件能证明AB垂直平分OP，该结论仅在特殊角度下成立，不是必然成立的，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的性质 2.全等三角形的判定与性质 3.垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题的关键是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，注意区分谁垂直平分谁的逻辑关系，避免概念颠倒导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质，再通过全等三角形判定证明△OPA和△OPB全等，推导各选项是否成立，最后判断垂直平分的结论是否必然成立。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接判断PA=PB；接着利用HL证明两个直角三角形全等，得到对应角、对应边相等，判断B、C选项；最后结合等腰三角形性质分析垂直平分线的关系，判断D选项是否一定成立。
【解析】
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：PA=PB，故A选项结论成立，不符合题意；
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
∴OP平分∠APB，故B、C选项结论成立，不符合题意；
由OA=OB，OP平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，但没有条件能证明AB垂直平分OP，该结论仅在特殊角度下成立，不是必然成立的，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的性质 2.全等三角形的判定与性质 3.垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题的关键是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，注意区分谁垂直平分谁的逻辑关系，避免概念颠倒导致出错。
【难度系数】
0.7
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AM$平分$∠ BAC$交$BC$于$M$，若$CM=15\ \mathrm{cm}$，则$M$到$AB$的距离为cm.
答案
解：过点M作MD⊥AB于D。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥AC。
∵ AM平分∠BAC，MD⊥AB，MC⊥AC，
∴ MD = CM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CM=15 cm，
∴ MD=15 cm。
即M到AB的距离为$\boldsymbol{15}$ cm。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥AC。
∵ AM平分∠BAC，MD⊥AB，MC⊥AC，
∴ MD = CM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CM=15 cm，
∴ MD=15 cm。
即M到AB的距离为$\boldsymbol{15}$ cm。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确所求为点M到AB的距离，需要先过M作AB的垂线段。已知AM是∠BAC的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点M在角平分线上，它到AC的距离就是已知的CM（因为∠C=90°，CM垂直于AC），因此它到AB的距离和CM长度相等，即可求出结果。
【解析】
过点M作MD⊥AB于D。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥AC。
∵ AM平分∠BAC，MD⊥AB，MC⊥AC，
∴ MD = CM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CM=15 cm，
∴ MD=15 cm。
即M到AB的距离为15 cm。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是准确作出点到直线的垂线段，明确角平分线上的点到角两边的距离对应的线段，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确所求为点M到AB的距离，需要先过M作AB的垂线段。已知AM是∠BAC的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点M在角平分线上，它到AC的距离就是已知的CM（因为∠C=90°，CM垂直于AC），因此它到AB的距离和CM长度相等，即可求出结果。
【解析】
过点M作MD⊥AB于D。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥AC。
∵ AM平分∠BAC，MD⊥AB，MC⊥AC，
∴ MD = CM（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CM=15 cm，
∴ MD=15 cm。
即M到AB的距离为15 cm。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是准确作出点到直线的垂线段，明确角平分线上的点到角两边的距离对应的线段，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图2，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=25°，则∠AOB=。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键条件：点P到∠AOB两边的距离相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，可知∠AOB等于2倍的∠POB，最后代入已知的∠POB的度数即可计算出结果。
【解析】
∵点P到∠AOB两边的距离相等
∴OP是∠AOB的角平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∴∠AOB = 2∠POB
又
∵∠POB=25°
∴∠AOB=2×25°=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
角平分线的判定、角的运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查角平分线判定定理的应用，牢记角平分线的判定和定义即可快速解题，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键条件：点P到∠AOB两边的距离相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，可知∠AOB等于2倍的∠POB，最后代入已知的∠POB的度数即可计算出结果。
【解析】
∵点P到∠AOB两边的距离相等
∴OP是∠AOB的角平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∴∠AOB = 2∠POB
又
∵∠POB=25°
∴∠AOB=2×25°=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
角平分线的判定、角的运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查角平分线判定定理的应用，牢记角平分线的判定和定义即可快速解题，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 如图3，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE=AF。
求证：点P在∠BAC的平分线上。
1. 如图3，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE=AF。
求证：点P在∠BAC的平分线上。
答案
证明：连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
解析
【分析】
要证明点P在∠BAC的平分线上，只需证明AP平分∠BAC，即证∠EAP=∠FAP。已知PE⊥AB、PF⊥AC，可得△AEP和△AFP均为直角三角形，又已知AE=AF，且两个三角形有公共斜边AP，因此可先连接AP，通过证明两个直角三角形全等得到对应角相等，进而推导结论。
【解析】
证明：连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过证明角相等推导点在角平分线上，能帮助巩固直角三角形全等判定和角平分线判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明点P在∠BAC的平分线上，只需证明AP平分∠BAC，即证∠EAP=∠FAP。已知PE⊥AB、PF⊥AC，可得△AEP和△AFP均为直角三角形，又已知AE=AF，且两个三角形有公共斜边AP，因此可先连接AP，通过证明两个直角三角形全等得到对应角相等，进而推导结论。
【解析】
证明：连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：连接AP。
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AP = AP\end{array} $
∴ Rt△AEP ≌ Rt△AFP（H.L.）。
∴ ∠EAP = ∠FAP，
即AP是∠BAC的平分线，
∴ 点P在∠BAC的平分线上。
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过证明角相等推导点在角平分线上，能帮助巩固直角三角形全等判定和角平分线判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
2*. 如图4，已知∠A=∠B=90°，∠ADC的平分线DE交AB于E，且E是AB的中点. 求证:CE平分∠DCB. 
图4
图4答案
证明：
过点E作EF⊥CD，垂足为F。
∵ DE平分∠ADC，∠A=90°即EA⊥AD，EF⊥CD，
∴ EA = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE，
∴ BE = EF。
又∵ ∠B=90°即EB⊥BC，EF⊥CD，
∴ 点E在∠DCB的平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
∴ CE平分∠DCB。
过点E作EF⊥CD，垂足为F。
∵ DE平分∠ADC，∠A=90°即EA⊥AD，EF⊥CD，
∴ EA = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE，
∴ BE = EF。
又∵ ∠B=90°即EB⊥BC，EF⊥CD，
∴ 点E在∠DCB的平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
∴ CE平分∠DCB。
解析
【分析】
要证明CE平分∠DCB，可依据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点E到∠DCB的两边BC、CD的距离相等即可。已知∠B=90°，则E到BC的距离为线段EB的长度，接下来只需证明E到CD的距离等于EB即可。已知DE是∠ADC的平分线，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此作辅助线EF⊥CD于F，可得到EA=EF；再结合E是AB中点的条件，推出AE=BE，即可得到BE=EF，满足角平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F。
∵ DE平分∠ADC，∠A=90°即EA⊥AD，EF⊥CD，
∴ EA = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE，
∴ BE = EF。
又
∵ ∠B=90°即EB⊥BC，EF⊥CD，
∴ 点E在∠DCB的平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
∴ CE平分∠DCB。
【答案】
CE平分∠DCB，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；中点的性质
【点评】
本题核心考查角平分线性质与判定的综合应用，作垂直于角边的辅助线是解决这类角平分线相关证明题的常用技巧，解题时要注意区分角平分线性质和判定的适用场景，灵活转化线段相等关系。
【难度系数】
0.6
要证明CE平分∠DCB，可依据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点E到∠DCB的两边BC、CD的距离相等即可。已知∠B=90°，则E到BC的距离为线段EB的长度，接下来只需证明E到CD的距离等于EB即可。已知DE是∠ADC的平分线，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此作辅助线EF⊥CD于F，可得到EA=EF；再结合E是AB中点的条件，推出AE=BE，即可得到BE=EF，满足角平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F。
∵ DE平分∠ADC，∠A=90°即EA⊥AD，EF⊥CD，
∴ EA = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE，
∴ BE = EF。
又
∵ ∠B=90°即EB⊥BC，EF⊥CD，
∴ 点E在∠DCB的平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
∴ CE平分∠DCB。
【答案】
CE平分∠DCB，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；中点的性质
【点评】
本题核心考查角平分线性质与判定的综合应用，作垂直于角边的辅助线是解决这类角平分线相关证明题的常用技巧，解题时要注意区分角平分线性质和判定的适用场景，灵活转化线段相等关系。
【难度系数】
0.6
3*. 公路$ l_1 $同侧、$ l_2 $异侧有两个城镇A,B,如图5. 电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路$ l_1,l_2 $的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置? 请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置(保留作图痕迹,不要求写出画法).
答案
解：
根据题意，点C需要同时满足：
1. 到点A、B的距离相等，因此点C在线段AB的垂直平分线上；
2. 到直线$l_1$、$l_2$的距离相等，因此点C在$l_1$与$l_2$夹角的角平分线上。
作图操作：
1. 连接AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作出直线$l_1$、$l_2$相交形成的两个夹角的角平分线；
线段AB的垂直平分线与两条角平分线的2个交点，就是所有符合条件的发射塔位置，分别标注为$C_1$、$C_2$，保留所有尺规作图的圆弧痕迹即可。
根据题意，点C需要同时满足：
1. 到点A、B的距离相等，因此点C在线段AB的垂直平分线上；
2. 到直线$l_1$、$l_2$的距离相等，因此点C在$l_1$与$l_2$夹角的角平分线上。
作图操作：
1. 连接AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作出直线$l_1$、$l_2$相交形成的两个夹角的角平分线；
线段AB的垂直平分线与两条角平分线的2个交点，就是所有符合条件的发射塔位置，分别标注为$C_1$、$C_2$，保留所有尺规作图的圆弧痕迹即可。
解析
【分析】
解题时先将题目要求拆分为两个独立条件分别分析：①要求发射塔到A、B距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知符合该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；②要求发射塔到两条公路$l_1$、$l_2$距离相等，根据角平分线的性质，可知符合该条件的点都在$l_1$和$l_2$夹角的角平分线上，两条相交直线形成2组对顶角，因此角平分线有2条。同时满足两个条件的点就是两类线的交点，找到所有交点即可。
【解析】
点C需要同时满足两个条件，我们分别推导对应轨迹：
1. 到点A、B的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，所有到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，因此先用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 到直线$l_1$、$l_2$的距离相等：根据角平分线的性质，所有到两条相交直线距离相等的点都在直线夹角的角平分线上，$l_1$和$l_2$相交形成两个夹角，因此用尺规作出两条角平分线；
线段AB的垂直平分线与这两条角平分线的2个交点，就是全部符合条件的发射塔位置，标注为$C_1$、$C_2$，保留尺规作图的所有圆弧痕迹即可。
【答案】
作线段AB的垂直平分线，作$l_1$与$l_2$的两个夹角的角平分线，两组线的2个交点即为符合条件的点$C_1$、$C_2$（保留作图痕迹即可）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何基本性质的综合应用，解题关键是将“距离相等”的约束条件转化为对应点的轨迹，再通过找轨迹的交点确定目标点，注意两条相交直线的角平分线有2条，不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先将题目要求拆分为两个独立条件分别分析：①要求发射塔到A、B距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知符合该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；②要求发射塔到两条公路$l_1$、$l_2$距离相等，根据角平分线的性质，可知符合该条件的点都在$l_1$和$l_2$夹角的角平分线上，两条相交直线形成2组对顶角，因此角平分线有2条。同时满足两个条件的点就是两类线的交点，找到所有交点即可。
【解析】
点C需要同时满足两个条件，我们分别推导对应轨迹：
1. 到点A、B的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，所有到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，因此先用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 到直线$l_1$、$l_2$的距离相等：根据角平分线的性质，所有到两条相交直线距离相等的点都在直线夹角的角平分线上，$l_1$和$l_2$相交形成两个夹角，因此用尺规作出两条角平分线；
线段AB的垂直平分线与这两条角平分线的2个交点，就是全部符合条件的发射塔位置，标注为$C_1$、$C_2$，保留尺规作图的所有圆弧痕迹即可。
【答案】
作线段AB的垂直平分线，作$l_1$与$l_2$的两个夹角的角平分线，两组线的2个交点即为符合条件的点$C_1$、$C_2$（保留作图痕迹即可）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何基本性质的综合应用，解题关键是将“距离相等”的约束条件转化为对应点的轨迹，再通过找轨迹的交点确定目标点，注意两条相交直线的角平分线有2条，不要漏解。
【难度系数】
0.6
