一、选择题
1. 如图1,已知$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BD$是$AC$边上的高,$DC=2$,则$BD$的长为()

A.4
B.6
C.8
D.$\sqrt{40}$

B

【分析】
解题思路如下：首先明确已知条件，BD是AC边上的高，因此△ABD是直角三角形，要计算直角边BD的长度，已知斜边AB=10，只需先求出另一条直角边AD的长度即可。AD可通过AC与DC的差计算得到，再代入勾股定理就能求出BD的长。
【解析】
1. 计算AD的长度：
已知$AC=10$，$DC=2$，因此$AD=AC-DC=10-2=8$。
2. 利用勾股定理计算BD：
因为BD是AC边上的高，所以$∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，斜边$AB=10$。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得$BD^2+AD^2=AB^2$。
代入数值：$BD^2+8^2=10^2$，
整理得$BD^2=10^2-8^2=100-64=36$，
因为线段长度为正数，所以$BD=\sqrt{36}=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形高的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是先确定直角三角形，再求出未知直角边的长度，掌握勾股定理的适用条件就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图2,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以$△ ABC$的各边为边在$△ ABC$外部作三个正方形,$S_1,S_2,S_3$分别表示这三个正方形的面积,若$S_1=81,S_3=225$,则$S_2=$()




A.12
B.100
C.124
D.144

D

【分析】
本题考查勾股定理与正方形面积的结合应用。解题时先明确：正方形的面积等于其边长的平方，而题中三个正方形分别以直角△ABC的三边为边长作得，因此三个正方形的面积恰好对应△ABC三边的平方。再结合勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），即可建立三个正方形面积的等量关系，代入已知数值计算即可得到S₂的值。
【解析】
设Rt△ABC的直角边分别为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
由正方形面积公式可知：三个正方形的面积分别对应三角形三边的平方，结合已知可得，$S_1=a^2=81$，$S_3=c^2=225$，$S_2=b^2$。
代入勾股定理的等量关系得：$S_1 + S_2 = S_3$，
因此$S_2 = S_3 - S_1 = 225 - 81 = 144$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心是将正方形面积转化为对应边长的平方，结合勾股定理直接计算即可，是勾股定理章节的常见考法。
【难度系数】
0.8

3. 如图3所示,已知在三角形纸片ABC中,$BC=6,AB=10,∠BCA=90^{\circ }$,在AC上取一点E,以BE为折痕进行折叠,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为()

A.6
B.3
C.5
D.$\sqrt{3}$

C

【分析】
遇到折叠类问题，首先要利用折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。本题给出直角三角形ABC的两条边长，首先用勾股定理算出第三条边AC的长度；再根据折叠性质得到AB与BD相等、AE与DE相等，进而求出CD的长度；最后设DE的长度为未知数，将未知边转移到直角三角形CDE中，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$BC=6$，$AB=10$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
根据折叠的性质可知：$BD=AB=10$，$DE=AE$，
因此$CD=BD-BC=10-6=4$。
设$DE=x$，则$AE=x$，$CE=AC-AE=8-x$，
$\because ∠ BCA=90°$，$\therefore ∠ ECD=90°$，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，
代入数值可得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，
展开化简得：$64-16x+x^2+16=x^2$，
整理得$16x=80$，解得$x=5$，即DE的长度为5。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程法解几何题
【点评】
本题是折叠变换与勾股定理结合的经典题型，解题关键是通过折叠找到相等的线段，把未知边集中到同一个直角三角形中，再结合勾股定理列方程求解，对几何量转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4*. 如图4,边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{2}-1$

D

【分析】
解题时先利用正方形的性质结合勾股定理求出对角线BD的长度，再根据正方形对角线互相平分的性质得到OD的长度；接着利用折叠的轴对称性得到DC=DE、∠MDC=∠MDE，通过SAS证明△DMC≌△DME，推出∠DEM=45°，判断出△OME是等腰直角三角形，得到OM=OE的等量关系，最后计算OE的长度即可得到OM的值。
【解析】
1. 求正方形对角线BD的长度
已知正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，∠BAD=90°，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$
2. 推导正方形对角线相关性质
正方形对角线互相垂直平分且相等，因此：
$OD=OC=\frac{BD}{2}=1$，$AC⊥BD$即$∠MOE=90°$，$∠DCM=45°$
3. 利用折叠性质证明三角形全等
沿DF折叠后点C落在BD上的E处，根据折叠性质得$DC=DE=\sqrt{2}$，$∠MDC=∠MDE$。
在△DMC和△DME中：
$\begin{cases}DC=DE\\∠MDC=∠MDE\\DM=DM\end{cases}$
∴$△ DMC≌△ DME(SAS)$，则$∠DEM=∠DCM=45°$
4. 计算OM的长度
在△OME中，$∠MOE=90°$，$∠OEM=45°$，因此$∠OME=45°$，△OME为等腰直角三角形，得$OM=OE$。
又$OE=DE-OD=\sqrt{2}-1$，因此$OM=\sqrt{2}-1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、折叠变换、全等三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题核心是通过折叠性质构造全等三角形，找到OM的等量关系，解题思路清晰，属于常考的中档几何题型。
【难度系数】
0.6

1. 如图5,数轴上点A所表示的数为,点B所表示的数为.

点A所表示的数为$\boldsymbol{-\sqrt{5}}$，点B所表示的数为$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。

【分析】
要确定数轴上点A、B表示的数，首先计算图中直角三角形的斜边长：观察可知直角三角形的两条直角边长度分别为2和1，可通过勾股定理算出斜边长度；而OA、OB都是半圆的半径，长度与斜边相等，再结合点A在原点左侧、点B在原点右侧，即可确定两点对应的数。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知直角边分别为2和1，因此斜边长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$。
2. 确定点B表示的数：
点B在原点右侧，且OB是半圆的半径，长度等于斜边$\sqrt{5}$，因此点B表示的数为$\sqrt{5}$。
3. 确定点A表示的数：
点A在原点左侧，且OA是半圆的半径，长度同样等于$\sqrt{5}$，因此点A表示的数为$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；同圆半径相等
【点评】
本题将勾股定理与数轴知识相结合，体现了数形结合的思想，解题时要注意区分数轴上原点左右两侧的数的符号差异，避免漏写负号。
【难度系数】
0.7

2. 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$BC = 5$，$AC = 12$，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，则$CD =$.

$\boldsymbol{\dfrac{60}{13}}$

【分析】
首先，题目给出直角△ABC的两条直角边长度，我们可以先用勾股定理求出斜边AB的长度；其次，CD是斜边AB上的高，同一个三角形的面积可以用两种方式表示：一是两条直角边乘积的一半，二是斜边与斜边上高乘积的一半，利用面积相等的关系（等面积法）就可以列出关于CD的方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5
∴ 根据勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
∵ AB为三角形边长，为正数，
∴ $AB = 13$
又
∵ CD⊥AB，△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$
代入已知数值：
$\frac{1}{2} × 12 × 5 = \frac{1}{2} × 13 × CD$
两边同时乘2消去分母得：$12 × 5 = 13 × CD$
解得：$CD = \frac{60}{13}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，解题核心是掌握直角三角形面积的两种表达形式，利用等面积法建立等量关系求解斜边上的高，该方法在直角三角形相关线段计算中十分常用。
【难度系数】
0.8

3. 在图6-1中,将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按虚线剪开,重新拼成如图6-2所示的正方形,那么所拼成的正方形的边长为.

$\sqrt{5}$

【分析】
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点。我们可以先算出原5个小正方形的总面积，该面积就是新拼成正方形的面积，再结合正方形面积与边长的关系即可求出边长；也可以观察剪开的直角三角形的直角边长度，用勾股定理直接计算斜边长度，该斜边就是新正方形的边长。
【解析】
1. 计算原图形总面积：
每个小正方形边长为1，单个小正方形面积为$1×1=1$，原图形共5个小正方形，因此总面积为$5×1=5$。
2. 确定新正方形的面积：
图形剪拼前后面积不变，因此新拼成的正方形面积等于原图形总面积，即$S_{\mathrm{正方形}}=5$。
3. 计算正方形边长：
设正方形边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=5$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{5}$。
（也可通过勾股定理验证：剪开的直角三角形两条直角边分别为1和2，斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，该斜边即为新正方形的边长，结果一致。）
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
等积变换，正方形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是剪拼类基础题型，解题关键是把握剪拼过程中面积不变的规律，既可以用面积法推导边长，也可以结合勾股定理直接计算对应线段长度，考查对基础性质和定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图7,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD、DE. 将$△ CDE$沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则$CE=$.

解：
∵ D是边AC的中点，AC=6，
∴ AD=DC=3。
∵ ∠ACB=90°，BC=4，
∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由翻折的性质可知：$CE=EF$，$∠ DFE=∠ ACB=90°$，$DF=CD=3$，
∴ $∠ BFE=90°$，$BF=BD-DF=5-3=2$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=4-x$。
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF^2+BF^2=BE^2$，
即 $x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开得 $x^2+4=16-8x+x^2$，
化简得 $8x=12$，
解得 $x=\frac{3}{2}$。
∴ $CE=\frac{3}{2}$。

【分析】
解题时首先结合已知条件，先求出线段CD的长度，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算出BD的长度；接下来根据翻折的性质，得到相等的线段、相等的角，进而求出BF的长度，同时得到△BEF是直角三角形；最后设CE的长度为x，用含x的式子表示出BE、EF的长度，在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可得到CE的长度。
【解析】
∵ D是边AC的中点，AC=6，
∴ AD=DC=3。
∵ ∠ACB=90°，BC=4，
∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由翻折的性质可知：$CE=EF$，$∠ DFE=∠ ACB=90°$，$DF=CD=3$，
∴ $∠ BFE=90°$，$BF=BD-DF=5-3=2$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=4-x$。
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF^2+BF^2=BE^2$，
即 $x^2+2^2=(4-x)^2$，
展开得 $x^2+4=16-8x+x^2$，
化简得 $8x=12$，
解得 $x=\frac{3}{2}$。
∴ $CE=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1.勾股定理 2.翻折的性质 3.方程法求线段长
【点评】
本题是几何折叠类的典型计算题，解题的核心是利用翻折的性质完成相等线段、相等角的转化，再结合勾股定理构造方程求解，掌握该思路可解决同类折叠求线段长度的问题。
【难度系数】
0.6