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1.定义:只含有
一
个未知数,且含未知数项的最高
次数为2
的整式
方程,叫作一元二次方程。答案
1. 一 最高 2 整式
解析
【分析】
我们可以通过拆解“一元二次方程”的名称来推导定义内容：“一元”对应未知数的数量要求，“二次”对应含未知数项的次数要求，同时这类方程首先要满足整式方程的前提。按照这个逻辑依次对应空缺位置思考即可。
【解析】
根据一元二次方程的标准定义：只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程。因此四个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
一 最高 2 整式
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考查对一元二次方程定义要素的掌握，牢记“一个未知数、最高次为2、整式方程”三个核心点即可正确作答，是后续学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
我们可以通过拆解“一元二次方程”的名称来推导定义内容：“一元”对应未知数的数量要求，“二次”对应含未知数项的次数要求，同时这类方程首先要满足整式方程的前提。按照这个逻辑依次对应空缺位置思考即可。
【解析】
根据一元二次方程的标准定义：只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程。因此四个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
一 最高 2 整式
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考查对一元二次方程定义要素的掌握，牢记“一个未知数、最高次为2、整式方程”三个核心点即可正确作答，是后续学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的一般形式：
$ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)$
。答案
2. $ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)$
解析
【分析】
要写出一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的核心特征：仅含一个未知数、是整式方程、未知数的最高次数为2。为了统一规范方便后续研究，我们将一元二次方程的所有项移到等号左侧，右侧化为0，再按未知数的降幂排列，同时要保证二次项系数不为0，否则方程最高次数不足2，不再属于一元二次方程。
【解析】
结合一元二次方程的定义，我们将符合要求的方程整理为：等号左侧依次为二次项、一次项、常数项，等号右侧为0的标准形式，即$ax^2+bx+c=0$，其中a、b、c为常数；若$a=0$，则方程中二次项消失，变为一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，因此必须补充限制条件$a≠0$。
【答案】
$ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，是后续学习一元二次方程解法、应用的前提，记忆时要特别注意$a≠0$这个容易遗漏的隐含条件，这也是判断一元二次方程的核心要点之一。
【难度系数】
0.9
要写出一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的核心特征：仅含一个未知数、是整式方程、未知数的最高次数为2。为了统一规范方便后续研究，我们将一元二次方程的所有项移到等号左侧，右侧化为0，再按未知数的降幂排列，同时要保证二次项系数不为0，否则方程最高次数不足2，不再属于一元二次方程。
【解析】
结合一元二次方程的定义，我们将符合要求的方程整理为：等号左侧依次为二次项、一次项、常数项，等号右侧为0的标准形式，即$ax^2+bx+c=0$，其中a、b、c为常数；若$a=0$，则方程中二次项消失，变为一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，因此必须补充限制条件$a≠0$。
【答案】
$ax^2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，是后续学习一元二次方程解法、应用的前提，记忆时要特别注意$a≠0$这个容易遗漏的隐含条件，这也是判断一元二次方程的核心要点之一。
【难度系数】
0.9
3. 基本解法：
配方法
、公式法
、因式分解法
。答案
3. 配方法 公式法 因式分解法
解析
【分析】
本题为基础概念识记类题目，考查一元二次方程基本解法的相关知识。解题时只需回忆教材中明确给出的一元二次方程三类常用基本解法，准确对应填写即可。
【解析】
本题考查一元二次方程基本解法的概念内容，根据初中数学相关知识，一元二次方程的三种基本解法分别为配方法、公式法、因式分解法，按顺序填入即可。
【答案】
配方法 公式法 因式分解法
【知识点】
一元二次方程的基本解法
【点评】
本题属于基础识记类题型，主要考查对教材基础概念的掌握程度，牢记相关知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题为基础概念识记类题目，考查一元二次方程基本解法的相关知识。解题时只需回忆教材中明确给出的一元二次方程三类常用基本解法，准确对应填写即可。
【解析】
本题考查一元二次方程基本解法的概念内容，根据初中数学相关知识，一元二次方程的三种基本解法分别为配方法、公式法、因式分解法，按顺序填入即可。
【答案】
配方法 公式法 因式分解法
【知识点】
一元二次方程的基本解法
【点评】
本题属于基础识记类题型，主要考查对教材基础概念的掌握程度，牢记相关知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
4.根的判别式(Δ=
①当Δ
②当Δ
③当Δ
5.求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$b^2-4ac$
6.设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系：$x_1+x_2=$
$b^2-4ac$
):①当Δ
＞
0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ
=
0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ
＜
0时，方程没有实数根。5.求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$b^2-4ac$
$≥$
0）。6.设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系：$x_1+x_2=$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2=$$\frac{c}{a}$
。答案
4. $b^2-4ac$ ＞ = ＜
5. $≥$
6. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
5. $≥$
6. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本组题目均考查一元二次方程的核心基础概念，属于识记类题型，解题思路如下：
1. 第4题需回忆根的判别式的定义，以及判别式的取值和方程实数根个数的对应关系即可作答；
2. 第5题需结合二次根式有意义的条件，判断求根公式中被开方数的取值范围；
3. 第6题直接回忆根与系数关系的两根和、两根积公式填写即可。
【解析】
4. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），我们将$b^2-4ac$定义为根的判别式，记作$\Delta$：
① 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 求根公式中$\sqrt{b^2-4ac}$是二次根式，被开方数需为非负数才有意义，因此要求$b^2-4ac\ge0$。
6. 根据根与系数的关系，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
4. $b^2-4ac$；$＞$；$=$；$＜$
5. $≥$
6. $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
根的判别式；求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题为一元二次方程基础概念考查题，涉及的均是该模块必须熟练掌握的核心基础知识，是后续一元二次方程相关计算、应用的基础，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本组题目均考查一元二次方程的核心基础概念，属于识记类题型，解题思路如下：
1. 第4题需回忆根的判别式的定义，以及判别式的取值和方程实数根个数的对应关系即可作答；
2. 第5题需结合二次根式有意义的条件，判断求根公式中被开方数的取值范围；
3. 第6题直接回忆根与系数关系的两根和、两根积公式填写即可。
【解析】
4. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），我们将$b^2-4ac$定义为根的判别式，记作$\Delta$：
① 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
5. 求根公式中$\sqrt{b^2-4ac}$是二次根式，被开方数需为非负数才有意义，因此要求$b^2-4ac\ge0$。
6. 根据根与系数的关系，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
4. $b^2-4ac$；$＞$；$=$；$＜$
5. $≥$
6. $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
根的判别式；求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题为一元二次方程基础概念考查题，涉及的均是该模块必须熟练掌握的核心基础知识，是后续一元二次方程相关计算、应用的基础，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列是一元二次方程的是(
A.$2x+1=0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$\frac{1}{x}=1$
C
)。A.$2x+1=0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$\frac{1}{x}=1$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时就用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 方程$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 方程$y^2 + x = 1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
C. 方程$x^2 + 2x + 3 = 0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且等号两边都是整式，同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
D. 方程$\frac{1}{x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要素，判断时要优先确认方程是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，避免将分式方程、多元方程误判为一元二次方程。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时就用这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 方程$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 方程$y^2 + x = 1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
C. 方程$x^2 + 2x + 3 = 0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且等号两边都是整式，同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
D. 方程$\frac{1}{x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要素，判断时要优先确认方程是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，避免将分式方程、多元方程误判为一元二次方程。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的方程$(m-2)x^{|m|}+3x+2=0$是一元二次方程，则$m$的值为（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.1
B
）。A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.1
答案
2.B
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列出关于m的式子，再求解并筛选符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^{|m|}+3x+2=0$是一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|=2 \quad \mathrm{（未知数最高次数为2）} \\m-2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
由$|m|=2$解得$m=2$或$m=-2$，
由$m-2 ≠ 0$解得$m ≠ 2$，
综上，$m=-2$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项，解题时要全面考虑定义的所有要求，避免漏判条件。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项的系数不为0。我们可以根据这两个条件分别列出关于m的式子，再求解并筛选符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^{|m|}+3x+2=0$是一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义可得：
$\begin{cases}|m|=2 \quad \mathrm{（未知数最高次数为2）} \\m-2 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
由$|m|=2$解得$m=2$或$m=-2$，
由$m-2 ≠ 0$解得$m ≠ 2$，
综上，$m=-2$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项，解题时要全面考虑定义的所有要求，避免漏判条件。
【难度系数】
0.7
3.方程$2x^2=3(x-6)$化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是(
A.2,3,−6
B.2,−3,18
C.2,−3,6
D.2,3,6
B
)。A.2,3,−6
B.2,−3,18
C.2,−3,6
D.2,3,6
答案
3.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先对原方程去括号，再通过移项将所有项移到等号左侧，合并同类项化为一般形式，最后对应提取三个系数即可，注意移项要变号，去括号时不要漏乘括号内的项。
【解析】
1. 对原方程去括号：
$2x^2=3(x-6)$去括号得$2x^2=3x-18$
2. 移项化为一般形式：
将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号得$2x^2-3x+18=0$
3. 对应识别系数：
根据一元二次方程一般形式，二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为18，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号与移项法则
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查一元二次方程一般形式的识别，解题时需格外注意去括号不漏乘、移项要变号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先对原方程去括号，再通过移项将所有项移到等号左侧，合并同类项化为一般形式，最后对应提取三个系数即可，注意移项要变号，去括号时不要漏乘括号内的项。
【解析】
1. 对原方程去括号：
$2x^2=3(x-6)$去括号得$2x^2=3x-18$
2. 移项化为一般形式：
将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号得$2x^2-3x+18=0$
3. 对应识别系数：
根据一元二次方程一般形式，二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为18，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号与移项法则
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查一元二次方程一般形式的识别，解题时需格外注意去括号不漏乘、移项要变号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.85
4.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 4 = 0$的一个实数根是$x=1$，则代数式$2027 - a - b$的值为（
A.$-2023$
B.$2023$
C.$-2024$
D.$2024$
B
）。A.$-2023$
B.$2023$
C.$-2024$
D.$2024$
答案
4.B
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：第一步，根据“方程的根代入方程可使等式成立”，将x=1代入给定的一元二次方程，得到a与b的数量关系；第二步，将待求代数式变形为含有a+b的形式，采用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx - 4 = 0$的实数根，
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 4 = 0$，
化简得：$a + b = 4$。
对待求代数式变形可得：$2027 - a - b = 2027 - (a + b)$，
将$a + b = 4$代入上式得：$2027 - 4 = 2023$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握方程根的定义，将根代入方程得到参数的关系式，再通过整体代入的方法简化计算，避免单独求解a、b的值，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：第一步，根据“方程的根代入方程可使等式成立”，将x=1代入给定的一元二次方程，得到a与b的数量关系；第二步，将待求代数式变形为含有a+b的形式，采用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx - 4 = 0$的实数根，
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 4 = 0$，
化简得：$a + b = 4$。
对待求代数式变形可得：$2027 - a - b = 2027 - (a + b)$，
将$a + b = 4$代入上式得：$2027 - 4 = 2023$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握方程根的定义，将根代入方程得到参数的关系式，再通过整体代入的方法简化计算，避免单独求解a、b的值，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解方程$3x^2 -6x +2=0$，将方程变为$(x - m)^2 = \frac{1}{3}$的形式，则$m$的值为
$1$
。答案
5.1
解析
【分析】
本题要求用配方法将一元二次方程变形为指定的完全平方形式，解题思路如下：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，之后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，最后和给定的$(x - m)^2 = \frac{1}{3}$对比，即可求出$m$的值。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +2=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 2x = -\frac{2}{3}$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{2}{3} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得
$(x - 1)^2 = \frac{1}{3}$
对比$(x - m)^2 = \frac{1}{3}$，可得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，配方前注意先把二次项系数化为1，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，避免配方错误。
【难度系数】
0.8
本题要求用配方法将一元二次方程变形为指定的完全平方形式，解题思路如下：首先将原方程的二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，之后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，最后和给定的$(x - m)^2 = \frac{1}{3}$对比，即可求出$m$的值。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +2=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 2x = -\frac{2}{3}$
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$，得
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{2}{3} + 1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得
$(x - 1)^2 = \frac{1}{3}$
对比$(x - m)^2 = \frac{1}{3}$，可得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，配方前注意先把二次项系数化为1，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，避免配方错误。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的方程$mx^2 -2x +5=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是
$m＜\frac{1}{5}且m≠0$
。答案
6. $m＜\frac{1}{5}且m≠0$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的条件是判别式Δ＞0，我们先写出判别式的表达式，解出对应不等式，再结合二次项系数不为0的限制，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$mx^2 -2x +5=0$有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$\boldsymbol{m≠0}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根
本题中$a=m$，$b=-2$，$c=5$，代入得：
$\Delta=(-2)^2 -4× m×5=4-20m$
令$\Delta＞0$，即$4-20m＞0$
解不等式：
$-20m＞-4$
两边同时除以-20，不等号方向改变，得$m＜\frac{1}{5}$
结合$m≠0$的条件，最终m的取值范围是$m＜\frac{1}{5}$且$m≠0$
【答案】
$m＜\frac{1}{5}且m≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确定方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的条件是判别式Δ＞0，我们先写出判别式的表达式，解出对应不等式，再结合二次项系数不为0的限制，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$mx^2 -2x +5=0$有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$\boldsymbol{m≠0}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根
本题中$a=m$，$b=-2$，$c=5$，代入得：
$\Delta=(-2)^2 -4× m×5=4-20m$
令$\Delta＞0$，即$4-20m＞0$
解不等式：
$-20m＞-4$
两边同时除以-20，不等号方向改变，得$m＜\frac{1}{5}$
结合$m≠0$的条件，最终m的取值范围是$m＜\frac{1}{5}$且$m≠0$
【答案】
$m＜\frac{1}{5}且m≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确定方程的类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
7.已知菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程$x^2 -9x +20=0$的一个根，则菱形ABCD的面积为
$6\sqrt{7}或24$
。答案
7. $6\sqrt{7}或24$
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①先求解一元二次方程，得到边AB的两个可能取值；②结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可知半条已知对角线（长度为3）、菱形边长、半条未知对角线可构成直角三角形，且边长为斜边，据此验证两个根是否都符合几何要求；③对符合要求的边长，分别用勾股定理求出另一条对角线的长度，再代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$，即边AB的长可能为4或5。
第二步：结合菱形性质验证边长合理性
已知菱形一条对角线长为6，根据菱形对角线互相垂直平分，可得该对角线的一半长为$6÷2=3$。
菱形边长与半条两条对角线构成直角三角形，边长为斜边，斜边需大于直角边，$4＞3$、$5＞3$，因此两个边长均符合要求。
第三步：分情况计算菱形面积
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长度）。
①当AB=4时：
由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，则另一条对角线全长为$2\sqrt{7}$。
面积$S=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
②当AB=5时：
由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，则另一条对角线全长为$8$。
面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
综上，菱形ABCD的面积为$6\sqrt{7}$或$24$。
【答案】
$6\sqrt{7}或24$
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意不要遗漏符合条件的边长，同时要结合几何性质验证解的合理性，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路逐步推导：①先求解一元二次方程，得到边AB的两个可能取值；②结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可知半条已知对角线（长度为3）、菱形边长、半条未知对角线可构成直角三角形，且边长为斜边，据此验证两个根是否都符合几何要求；③对符合要求的边长，分别用勾股定理求出另一条对角线的长度，再代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=5$，即边AB的长可能为4或5。
第二步：结合菱形性质验证边长合理性
已知菱形一条对角线长为6，根据菱形对角线互相垂直平分，可得该对角线的一半长为$6÷2=3$。
菱形边长与半条两条对角线构成直角三角形，边长为斜边，斜边需大于直角边，$4＞3$、$5＞3$，因此两个边长均符合要求。
第三步：分情况计算菱形面积
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长度）。
①当AB=4时：
由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，则另一条对角线全长为$2\sqrt{7}$。
面积$S=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
②当AB=5时：
由勾股定理得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，则另一条对角线全长为$8$。
面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
综上，菱形ABCD的面积为$6\sqrt{7}$或$24$。
【答案】
$6\sqrt{7}或24$
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意不要遗漏符合条件的边长，同时要结合几何性质验证解的合理性，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.6
8. 一元二次方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的两个根为 $ x_1, x_2 $，则 $ x_1^2 - 3x_1 + x_1x_2 $ 的值为
$0$
。答案
8.0
解析
【分析】
解题时可分三步思考：①已知x₁是方程的根，根据方程根的定义，将x₁代入原方程可求出x₁²-3x₁的值；②所求代数式中包含两根之积x₁x₂，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算x₁x₂的结果；③将前两步得到的结果整体代入待求代数式，即可算出最终值，无需解方程求根，简化运算。
【解析】
∵x₁是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，
∴将x₁代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，
移项可得：$x_1^2 - 3x_1 = -1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（a≠0），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
本题中a=1，c=1，因此$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
将$x_1^2 - 3x_1 = -1$、$x_1x_2=1$代入待求式：
$x_1^2 - 3x_1 + x_1x_2 = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需解出方程的具体根，结合根的定义和韦达定理即可快速求解，运算量小，解题关键是熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：①已知x₁是方程的根，根据方程根的定义，将x₁代入原方程可求出x₁²-3x₁的值；②所求代数式中包含两根之积x₁x₂，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算x₁x₂的结果；③将前两步得到的结果整体代入待求代数式，即可算出最终值，无需解方程求根，简化运算。
【解析】
∵x₁是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，
∴将x₁代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，
移项可得：$x_1^2 - 3x_1 = -1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（a≠0），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
本题中a=1，c=1，因此$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
将$x_1^2 - 3x_1 = -1$、$x_1x_2=1$代入待求式：
$x_1^2 - 3x_1 + x_1x_2 = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需解出方程的具体根，结合根的定义和韦达定理即可快速求解，运算量小，解题关键是熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.8
