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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的关系：
答案
不相等的两个 相等的两个 没有
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的本质：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次方程的根，因此交点个数与方程实数根的个数是一一对应的：
1. 若图象和x轴有2个不同的交点，说明有2个不同的x值满足y=0，对应方程就有2个不相等的实数根；
2. 若图象和x轴只有1个交点，说明两个交点重合，对应方程就有2个相等的实数根；
3. 若图象和x轴没有交点，说明不存在实数x满足y=0，对应方程就没有实数根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：
当二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$的图象与x轴有2个交点时，方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$有两个不相等的实数根；
当图象与x轴有1个交点时，方程有两个相等的实数根；
当图象与x轴有0个交点时，方程没有实数根。
因此表格三个空按从左到右的顺序依次填写即可。
【答案】
从左到右依次为：不相等的两个、相等的两个、没有
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与x轴交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的内在联系，牢记交点个数与方程根的情况的对应规律即可轻松解答，是后续利用函数求解方程类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的本质：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次方程的根，因此交点个数与方程实数根的个数是一一对应的：
1. 若图象和x轴有2个不同的交点，说明有2个不同的x值满足y=0，对应方程就有2个不相等的实数根；
2. 若图象和x轴只有1个交点，说明两个交点重合，对应方程就有2个相等的实数根；
3. 若图象和x轴没有交点，说明不存在实数x满足y=0，对应方程就没有实数根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：
当二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$的图象与x轴有2个交点时，方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$有两个不相等的实数根；
当图象与x轴有1个交点时，方程有两个相等的实数根；
当图象与x轴有0个交点时，方程没有实数根。
因此表格三个空按从左到右的顺序依次填写即可。
【答案】
从左到右依次为：不相等的两个、相等的两个、没有
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与x轴交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的内在联系，牢记交点个数与方程根的情况的对应规律即可轻松解答，是后续利用函数求解方程类问题的基础。
【难度系数】
0.8
2.一元二次方程的图象解法：
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有交点时，交点的
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有交点时，交点的
横坐标
就是当$y=0$时自变量x的值，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
。答案
横坐标 根
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考查的是二次函数与一元二次方程的对应关系，思考步骤如下：
1. 先回忆平面直角坐标系中x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点纵坐标一定是0，对应函数中$y=0$的情况，此时交点对应的自变量x的取值就是交点的横坐标，即第一个空的答案。
2. 当$y=0$时，函数式转化为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，此时对应的自变量x的值能使方程成立，也就是一元二次方程的根，即第二个空的答案。
【解析】
平面直角坐标系中x轴上点的纵坐标恒为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点可记为$(x_0, 0)$：
1. 交点的$x_0$就是$y=0$时自变量x的取值，也就是交点的横坐标；
2. 将$y=0$代入函数式可得$ax_0^2+bx_0+c=0$，说明$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
【答案】
横坐标；根
【知识点】
二次函数图象特征；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，这部分知识是后续用函数图象求解方程、不等式的基础，需要熟练掌握概念对应逻辑。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考查的是二次函数与一元二次方程的对应关系，思考步骤如下：
1. 先回忆平面直角坐标系中x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标均为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点纵坐标一定是0，对应函数中$y=0$的情况，此时交点对应的自变量x的取值就是交点的横坐标，即第一个空的答案。
2. 当$y=0$时，函数式转化为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，此时对应的自变量x的值能使方程成立，也就是一元二次方程的根，即第二个空的答案。
【解析】
平面直角坐标系中x轴上点的纵坐标恒为0，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点可记为$(x_0, 0)$：
1. 交点的$x_0$就是$y=0$时自变量x的取值，也就是交点的横坐标；
2. 将$y=0$代入函数式可得$ax_0^2+bx_0+c=0$，说明$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
【答案】
横坐标；根
【知识点】
二次函数图象特征；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，这部分知识是后续用函数图象求解方程、不等式的基础，需要熟练掌握概念对应逻辑。
【难度系数】
0.9
1. 抛物线 $ y = -3x^2 - x + 4 $ 与坐标轴的交点个数是（
A.3
B.2
C.1
D.0
A
）。A.3
B.2
C.1
D.0
答案
A
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与y轴、x轴的交点数量再求和。首先，与y轴的交点只需令x=0求解即可，所有二次函数与y轴必有1个交点；其次，与x轴的交点可通过令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数，利用根的判别式Δ判断即可，最后确认两类交点是否重合，汇总得到总个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3×0^2 -0 +4=4$，即抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令$y=0$，得到一元二次方程：$-3x^2 -x +4 = 0$。
其中二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=4$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 验证交点重合性：与x轴的交点纵坐标均为0，和y轴交点$(0,4)$不重合，因此总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，解题时需注意坐标轴包含x轴和y轴，不要遗漏与y轴的交点，借助一元二次方程根的判别式可快速判断二次函数与x轴的交点个数，是对二次函数和一元二次方程关联知识的常规考察。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与y轴、x轴的交点数量再求和。首先，与y轴的交点只需令x=0求解即可，所有二次函数与y轴必有1个交点；其次，与x轴的交点可通过令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数，利用根的判别式Δ判断即可，最后确认两类交点是否重合，汇总得到总个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3×0^2 -0 +4=4$，即抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令$y=0$，得到一元二次方程：$-3x^2 -x +4 = 0$。
其中二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=4$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 验证交点重合性：与x轴的交点纵坐标均为0，和y轴交点$(0,4)$不重合，因此总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，解题时需注意坐标轴包含x轴和y轴，不要遗漏与y轴的交点，借助一元二次方程根的判别式可快速判断二次函数与x轴的交点个数，是对二次函数和一元二次方程关联知识的常规考察。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=x^2 -3x +m$（$m$为常数）的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两实数根是(
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
B
)。A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：①先利用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，确定已知根为1；再将交点坐标代入二次函数解析式求出参数m，代入方程后求解即可得到两个根。②也可以直接利用一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于$\frac{-b}{a}$，已知一个根就能快速求出另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，第二种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：代入求参法
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象与x轴交点为$(1,0)$
∴ 将$(1,0)$代入解析式得：$1^2 - 3×1 + m = 0$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$
方法二：根与系数关系法
二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，因此$x=1$是$x^2 -3x +m=0$的一个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中$a=1,b=-3$，因此两根之和为$3$
已知一个根为$1$，则另一个根为$3-1=2$，即两实数根为$x_1=1,x_2=2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，既可以通过代入求值解方程的常规方法求解，也可以利用根与系数的关系快速得出结果，熟练掌握两种方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个方向入手：①先利用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，确定已知根为1；再将交点坐标代入二次函数解析式求出参数m，代入方程后求解即可得到两个根。②也可以直接利用一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于$\frac{-b}{a}$，已知一个根就能快速求出另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，第二种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：代入求参法
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象与x轴交点为$(1,0)$
∴ 将$(1,0)$代入解析式得：$1^2 - 3×1 + m = 0$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$
方法二：根与系数关系法
二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，因此$x=1$是$x^2 -3x +m=0$的一个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中$a=1,b=-3$，因此两根之和为$3$
已知一个根为$1$，则另一个根为$3-1=2$，即两实数根为$x_1=1,x_2=2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，既可以通过代入求值解方程的常规方法求解，也可以利用根与系数的关系快速得出结果，熟练掌握两种方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.8
3.关于$x$的函数$y=x^2+ax+b$的图象如图所示，则关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的解是（
A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x=-1$或$x=4$
D
）。A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x=-1$或$x=4$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与x轴交点的横坐标。因此解题步骤为：先从图象中找到抛物线与x轴的两个交点，读取交点的横坐标，这两个横坐标就是方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时，对应的x值就是方程$x^2+ax+b=0$的解，也就是抛物线与x轴交点的横坐标。
观察图象可知，抛物线$y=x^2+ax+b$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(4,0)$，即当$x=-1$或$x=4$时，$x^2+ax+b=0$，因此方程的解为$x=-1$或$x=4$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题是基础题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，只要能正确从图象中读取抛物线与x轴的交点坐标，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与x轴交点的横坐标。因此解题步骤为：先从图象中找到抛物线与x轴的两个交点，读取交点的横坐标，这两个横坐标就是方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时，对应的x值就是方程$x^2+ax+b=0$的解，也就是抛物线与x轴交点的横坐标。
观察图象可知，抛物线$y=x^2+ax+b$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(4,0)$，即当$x=-1$或$x=4$时，$x^2+ax+b=0$，因此方程的解为$x=-1$或$x=4$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题是基础题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，只要能正确从图象中读取抛物线与x轴的交点坐标，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.抛物线$y=x^2+x+c$与x轴只有一个公共点，则c的值为（
A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
B
）。A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
遇到抛物线与x轴交点个数的问题，首先要建立二次函数和一元二次方程的关联：抛物线与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，二者交点个数和根的个数一一对应：2个交点对应方程有2个不等实根，1个交点对应方程有2个相等实根，没有交点对应方程无实根。根的个数可以用判别式Δ=b²-4ac判断，本题抛物线和x轴只有1个公共点，说明Δ=0，代入对应系数即可求出c的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+x+c$与x轴只有一个公共点
∴ 对应的一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在$y=x^2+x+c$中，$a=1$，$b=1$，代入得：
$1^2 - 4×1× c = 0$
化简得$1-4c=0$
解得$c=\dfrac{1}{4}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数和根的判别式的对应规律，只要掌握Δ的取值和交点个数的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到抛物线与x轴交点个数的问题，首先要建立二次函数和一元二次方程的关联：抛物线与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，二者交点个数和根的个数一一对应：2个交点对应方程有2个不等实根，1个交点对应方程有2个相等实根，没有交点对应方程无实根。根的个数可以用判别式Δ=b²-4ac判断，本题抛物线和x轴只有1个公共点，说明Δ=0，代入对应系数即可求出c的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+x+c$与x轴只有一个公共点
∴ 对应的一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在$y=x^2+x+c$中，$a=1$，$b=1$，代入得：
$1^2 - 4×1× c = 0$
化简得$1-4c=0$
解得$c=\dfrac{1}{4}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数和根的判别式的对应规律，只要掌握Δ的取值和交点个数的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的部分图象如图所示，则$m=$
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察函数图象，可得到二次函数与x轴的一个交点为$(3, 0)$，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将该点坐标代入二次函数表达式，即可得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的图象经过点$(3,0)$，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0 = -3^2 + 2× 3 + m$
计算得：$0 = -9 + 6 + m$
整理得：$0 = -3 + m$
解得：$m=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象的点坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是从图象中提取有效信息（交点坐标），再利用函数图象上的点与解析式的对应关系列式计算，对学生的读图能力和基础计算能力有简单考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察函数图象，可得到二次函数与x轴的一个交点为$(3, 0)$，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将该点坐标代入二次函数表达式，即可得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2 + 2x + m$的图象经过点$(3,0)$，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0 = -3^2 + 2× 3 + m$
计算得：$0 = -9 + 6 + m$
整理得：$0 = -3 + m$
解得：$m=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象的点坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是从图象中提取有效信息（交点坐标），再利用函数图象上的点与解析式的对应关系列式计算，对学生的读图能力和基础计算能力有简单考查。
【难度系数】
0.8
6.将抛物线$y=(x+1)^2 -2$向上平移a个单位长度后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，回忆抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，写出平移后的抛物线解析式；第二步，明确抛物线与x轴只有一个交点的含义：要么对应一元二次方程有两个相等的实数根，要么顶点式抛物线的顶点落在x轴上（即顶点纵坐标为0）；第三步，根据上述等量关系列方程求解a的值即可。
【解析】
解：根据抛物线平移“上加下减”的规律，原抛物线向上平移a个单位后，所得解析式为：
$y=(x+1)^2 - 2 + a$
方法1：利用顶点性质求解
平移后抛物线的顶点坐标为$(-1, a-2)$，
∵抛物线与x轴只有一个交点，说明顶点恰好落在x轴上，顶点纵坐标为0，
∴$a - 2 = 0$，解得$a=2$。
方法2：利用根的判别式求解
当抛物线与x轴相交时$y=0$，可得方程：
$(x+1)^2 - 2 + a = 0$
整理得：$x^2 + 2x + (a - 1) = 0$
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴该方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
代入判别式公式：$\Delta = 2^2 - 4×1×(a-1) = 8 - 4a = 0$
解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点判定；根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，核心考察平移性质和抛物线与x轴交点的对应关系，选择顶点性质求解更加简便，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思考：第一步，回忆抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，写出平移后的抛物线解析式；第二步，明确抛物线与x轴只有一个交点的含义：要么对应一元二次方程有两个相等的实数根，要么顶点式抛物线的顶点落在x轴上（即顶点纵坐标为0）；第三步，根据上述等量关系列方程求解a的值即可。
【解析】
解：根据抛物线平移“上加下减”的规律，原抛物线向上平移a个单位后，所得解析式为：
$y=(x+1)^2 - 2 + a$
方法1：利用顶点性质求解
平移后抛物线的顶点坐标为$(-1, a-2)$，
∵抛物线与x轴只有一个交点，说明顶点恰好落在x轴上，顶点纵坐标为0，
∴$a - 2 = 0$，解得$a=2$。
方法2：利用根的判别式求解
当抛物线与x轴相交时$y=0$，可得方程：
$(x+1)^2 - 2 + a = 0$
整理得：$x^2 + 2x + (a - 1) = 0$
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴该方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
代入判别式公式：$\Delta = 2^2 - 4×1×(a-1) = 8 - 4a = 0$
解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点判定；根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，核心考察平移性质和抛物线与x轴交点的对应关系，选择顶点性质求解更加简便，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
7.已知二次函数 $y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$ 的图象经过 $A(0,3),B(-4,-\dfrac{9}{2})$ 两点。
(1)求 $b,c$ 的值。
(2)二次函数 $y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由。
(1)求 $b,c$ 的值。
(2)二次函数 $y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由。
答案
解:(1)把$ A(0,3),B(-4,-\dfrac{9}{2}) $的坐标分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c,$得
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}×16-4b+c=-\dfrac{9}{2},\end{cases} $解得$\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3$。$\end{cases}(2)$由(1)可得该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。$\therefore (\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{225}{64}＞0,\therefore$二次函数$ y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3 $的图象与 x 轴有交点。易得$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0 $的解为$ x_1=-2,x_2=8$。$\therefore$交点的坐标是(-2,0)和(8,0)。
$\begin{cases}c=3,\\-\dfrac{3}{16}×16-4b+c=-\dfrac{9}{2},\end{cases} $解得$\begin{cases}b=\dfrac{9}{8},\\c=3$。$\end{cases}(2)$由(1)可得该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。$\therefore (\dfrac{9}{8})^2-4×(-\dfrac{3}{16})×3=\dfrac{225}{64}＞0,\therefore$二次函数$ y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3 $的图象与 x 轴有交点。易得$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0 $的解为$ x_1=-2,x_2=8$。$\therefore$交点的坐标是(-2,0)和(8,0)。
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式中的未知系数b、c，可采用待定系数法：已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入函数表达式，就能得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) 判断二次函数图象与x轴是否有交点，只需计算对应一元二次方程的判别式Δ的值：若Δ＞0，有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ＜0，没有交点。若有交点，令y=0解对应的一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标，交点纵坐标为0。
【解析】
(1) 将$A(0,3)$、$B(-4,-\dfrac{9}{2})$分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=3 \\-\dfrac{3}{16}× (-4)^2 -4b + c = -\dfrac{9}{2}\end{cases}$
化简第二个方程：$-3 -4b +3 = -\dfrac{9}{2}$，解得$b=\dfrac{9}{8}$。
因此$\begin{cases} b=\dfrac{9}{8} \\ c=3 \end{cases}$。
(2) 由(1)得二次函数表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
计算判别式$\Delta = (\dfrac{9}{8})^2 - 4× (-\dfrac{3}{16})× 3 = \dfrac{225}{64}＞0$，因此二次函数图象与x轴有两个交点。
令$y=0$，即$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$，化简求解得$x_1=-2$，$x_2=8$。
所以交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{9}{8}$，$c=3$；
(2) 有交点，交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与x轴交点判断，一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，计算时注意系数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数解析式中的未知系数b、c，可采用待定系数法：已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入函数表达式，就能得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) 判断二次函数图象与x轴是否有交点，只需计算对应一元二次方程的判别式Δ的值：若Δ＞0，有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ＜0，没有交点。若有交点，令y=0解对应的一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标，交点纵坐标为0。
【解析】
(1) 将$A(0,3)$、$B(-4,-\dfrac{9}{2})$分别代入$y=-\dfrac{3}{16}x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=3 \\-\dfrac{3}{16}× (-4)^2 -4b + c = -\dfrac{9}{2}\end{cases}$
化简第二个方程：$-3 -4b +3 = -\dfrac{9}{2}$，解得$b=\dfrac{9}{8}$。
因此$\begin{cases} b=\dfrac{9}{8} \\ c=3 \end{cases}$。
(2) 由(1)得二次函数表达式为$y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$。
计算判别式$\Delta = (\dfrac{9}{8})^2 - 4× (-\dfrac{3}{16})× 3 = \dfrac{225}{64}＞0$，因此二次函数图象与x轴有两个交点。
令$y=0$，即$-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3=0$，化简求解得$x_1=-2$，$x_2=8$。
所以交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{9}{8}$，$c=3$；
(2) 有交点，交点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与x轴交点判断，一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，计算时注意系数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
