登录
8.学校组织校外实践活动，安排给九年级3辆车，小明与小红都可以从这3辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）。A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
8.C
解析
【分析】
这是两步独立事件的概率计算问题，可采用列表法列举出所有等可能的结果，再找出小明和小红同车的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。首先明确两人选车互不影响，各有3种选择，先统计总结果数，再统计同车的结果数，代入公式求解。
【解析】
设三辆车分别记为A、B、C，列出两人选车的所有可能情况如下表：
| 小明\小红 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中小明和小红同车的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得，两人同车的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，通过列表法可以清晰、不重不漏地列举出所有等可能的结果，熟练掌握列举法求概率的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是两步独立事件的概率计算问题，可采用列表法列举出所有等可能的结果，再找出小明和小红同车的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。首先明确两人选车互不影响，各有3种选择，先统计总结果数，再统计同车的结果数，代入公式求解。
【解析】
设三辆车分别记为A、B、C，列出两人选车的所有可能情况如下表：
| 小明\小红 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中小明和小红同车的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得，两人同车的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，通过列表法可以清晰、不重不漏地列举出所有等可能的结果，熟练掌握列举法求概率的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A,B,C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲。抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字。
(1)从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是
(2)按照抽签规则，请你用表格或树状图表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A,B两名志愿者同时被抽中的概率。
(1)从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)按照抽签规则，请你用表格或树状图表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A,B两名志愿者同时被抽中的概率。
答案
9.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:方法一:根据题意画树状图如图所示。
由树状图可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
方法二:根据题意列表如下。
| | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
由表格可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 第一问是单步概率问题，抽取一张卡片时，总共有3种等可能的结果，恰好抽到B的结果仅1种，直接用“概率=所求情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可。
(2) 第二问是不放回的两步抽取概率问题，首先要通过树状图或列表法，不重不漏地列举出两次抽签的所有等可能结果，再从中筛选出A、B同时被抽中的结果数，最后代入概率公式计算。注意两次抽取是不放回的，第二次抽取的卡片不会和第一次重复。
【解析】
(1) 从三张相同的卡片中随机抽取1张，共有抽到A、B、C3种等可能的结果，其中恰好抽到“B志愿者”的结果有1种，因此对应概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 方法一：画树状图列举所有结果：
由树状图可知，两次抽签共有6种等可能的结果：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，其中A、B同时被选中的结果有(A,B)、(B,A)共2种，因此$P$(A、B同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
方法二：列表列举所有结果：
| | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中A、B同时被选中的结果有2种，因此$P$(A、B同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:方法一:根据题意画树状图如图所示。
由树状图可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
方法二:根据题意列表如下。
| | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
由表格可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，考查用列举法求解不放回事件的概率，解题时需注意两次抽取为不放回抽取，避免出现重复计数，熟练掌握列表、树状图两种列举方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是单步概率问题，抽取一张卡片时，总共有3种等可能的结果，恰好抽到B的结果仅1种，直接用“概率=所求情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可。
(2) 第二问是不放回的两步抽取概率问题，首先要通过树状图或列表法，不重不漏地列举出两次抽签的所有等可能结果，再从中筛选出A、B同时被抽中的结果数，最后代入概率公式计算。注意两次抽取是不放回的，第二次抽取的卡片不会和第一次重复。
【解析】
(1) 从三张相同的卡片中随机抽取1张，共有抽到A、B、C3种等可能的结果，其中恰好抽到“B志愿者”的结果有1种，因此对应概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 方法一：画树状图列举所有结果：
由树状图可知，两次抽签共有6种等可能的结果：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，其中A、B同时被选中的结果有(A,B)、(B,A)共2种，因此$P$(A、B同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
方法二：列表列举所有结果：
| | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中A、B同时被选中的结果有2种，因此$P$(A、B同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:方法一:根据题意画树状图如图所示。
由树状图可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
方法二:根据题意列表如下。
| | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | |
由表格可知共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中A,B两名志愿者同时被选中的结果有2种,
$\therefore P$(A,B两名志愿者同时被选中)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，考查用列举法求解不放回事件的概率，解题时需注意两次抽取为不放回抽取，避免出现重复计数，熟练掌握列表、树状图两种列举方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
10.如图①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4。如图②,正方形ABCD顶点处各有一个圈。跳圈游戏的规则:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长。
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B……
设游戏者从圈A起跳。
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率$P_1$;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率$P_2$,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样。
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B……
设游戏者从圈A起跳。
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率$P_1$;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率$P_2$,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样。
答案
10.解:(1)$P_1=\frac{1}{4}$。
(2)列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
| 2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) |
| 3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
| 4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
由表可知所有等可能的结果共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回圈A,共4种。
$\therefore P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\therefore$淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
(2)列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
| 2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) |
| 3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
| 4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
由表可知所有等可能的结果共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回圈A,共4种。
$\therefore P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\therefore$淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
解析
【分析】
(1) 第一问是单次掷骰子的简单概率问题：首先明确掷正四面体骰子共有1、2、3、4四种等可能结果，要从A出发落回A，顺时针跳的步数需为4的倍数，1~4中只有数字4满足该条件，代入概率公式即可求解$P_1$。
(2) 第二问是两次掷骰子的两步概率问题：先通过列表法列举出两次掷骰子的所有等可能结果，总共有$4×4=16$种；要落回A需要两次掷出的数字和为4的倍数（总步数除以4余0时回到起点A），统计满足该条件的结果数后代入概率公式求出$P_2$，最后比较$P_1$和$P_2$的大小即可判断两人落回A的可能性是否相同。
【解析】
(1) 掷一次骰子，向上一面的数字可能为1、2、3、4，共4种等可能的结果。
若落回到圈A，需顺时针跳4个边长，即掷得数字为4，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式得：$P_1=\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示两次掷骰子的所有等可能结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
由表可知，所有等可能的结果共有16种。当两次掷得的数字和为4的倍数时可落回圈A，满足条件的结果有(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,4)，共4种。
$\therefore P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\because P_1=P_2=\frac{1}{4}$，因此淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【答案】
(1) $P_1=\frac{1}{4}$；
(2) $P_2=\frac{1}{4}$，淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【知识点】
简单概率计算；列表法求概率；等可能事件
【点评】
本题结合趣味跳圈游戏考查概率的求解，解题核心是明确落回起点的条件为总步数是4的倍数，既考查了基础概率公式的应用，也考查了用列表法求解两步事件概率的方法，场景贴近生活，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是单次掷骰子的简单概率问题：首先明确掷正四面体骰子共有1、2、3、4四种等可能结果，要从A出发落回A，顺时针跳的步数需为4的倍数，1~4中只有数字4满足该条件，代入概率公式即可求解$P_1$。
(2) 第二问是两次掷骰子的两步概率问题：先通过列表法列举出两次掷骰子的所有等可能结果，总共有$4×4=16$种；要落回A需要两次掷出的数字和为4的倍数（总步数除以4余0时回到起点A），统计满足该条件的结果数后代入概率公式求出$P_2$，最后比较$P_1$和$P_2$的大小即可判断两人落回A的可能性是否相同。
【解析】
(1) 掷一次骰子，向上一面的数字可能为1、2、3、4，共4种等可能的结果。
若落回到圈A，需顺时针跳4个边长，即掷得数字为4，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式得：$P_1=\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示两次掷骰子的所有等可能结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
由表可知，所有等可能的结果共有16种。当两次掷得的数字和为4的倍数时可落回圈A，满足条件的结果有(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,4)，共4种。
$\therefore P_2=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\because P_1=P_2=\frac{1}{4}$，因此淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【答案】
(1) $P_1=\frac{1}{4}$；
(2) $P_2=\frac{1}{4}$，淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。
【知识点】
简单概率计算；列表法求概率；等可能事件
【点评】
本题结合趣味跳圈游戏考查概率的求解，解题核心是明确落回起点的条件为总步数是4的倍数，既考查了基础概率公式的应用，也考查了用列表法求解两步事件概率的方法，场景贴近生活，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
